# Не только о математике

Александр Иванович Бородулин

Говорят, что вызов к доске на уроке математики по нервному напряжению приравнивается к вызову на допрос в качестве подозреваемого. Взрослые, пожалуй, улыбнутся и скажут: "Да. Все мы через это проходили". Но это не есть хорошо! Вернее – это очень плохо! Так быть не должно! Задача данной книжки – исправить это и научиться решать практически любые задачи с помощью простых рассуждений.

Здравствуйте, Ребята!


Представьте, что в вашей школе проводят социологический опрос. В анкете всего два вопроса:

1. Какой предмет вы считаете самым лёгким?

2. Какой предмет вы считаете самым трудным?

В ответе на первый вопрос, пожалуй, даже отличники не дерзнут назвать математику. А вот в ответе на второй вопрос, математика, наверняка, будет самым частым ответом.

Но почему так? Ведь математика изучает количественные отношения, только и всего! И, учитывая тот факт, что числа и действия с ними мы применяем в нашей жизни, повсеместно и постоянно, математика для всех нас могла быть самым простым предметом.

Возможно ли такое? Давайте разбереемся.

Для начала рассмотрим, какие же задачи задают на математических олимпиадах.

Вот например, задача математической олимпиады для учеников 7‐х классов:

Имеется дробь 1/n. Семиклассник Семёнов каждую минуту прибавляет к её числителю и знаменателю по 1 и смотрит, можно ли сократить полученную дробь. Семёнов утверждает, что первый раз сократимая дробь получилась после 1000 шагов. Стоит ли ему верить?

А вот задача математической олимпиады для учеников 8-х классов:

Имеется дробь 1/n. Восьмиклассник Вася каждую минуту прибавляет к её числителю и знаменателю по 1 и смотрит, можно ли сократить полученную дробь. Вася утверждает, что первый раз сократимая дробь получилась после 1000 шагов. Стоит ли ему верить?

Очевидно, что для чиновников нет никаких различий, между уровнем знаний семиклассников и восьмиклассников.

Так стоит ли верить Васе Семёнову?

Разумеется, нет! И никогда не верьте вымышленным персонажам!

Мальчика, который 16 часов и 40 минут (1000 / 60 = 16 целых и 2/3 часа) без перерыва на поиграть, на покушать, на попить, на туалет, будет тупо прибавлять к числителю и знаменателю какой-то дроби по единичке и проверять дробь на сократимость просто не бывает!

Даже, если бы некий реальный мальчик или девочка вдруг заинтересовались такими действиями, то легко могли бы установить, что дробь ½ не будет сократима никогда, а дробь 1/3 будет сократима через раз, дробь ¼ будет сократима через два раза, и так далее. Причём, первая гарантированно сократимая дробь будет сокращаться в ½, вторая гарантированно сократимая дробь будет сократимой в 2/3, и дальше также для любого начального знаменателя n. Ну и какой в этом смысл? Не стоит на это тратить драгоценные минуты жизни!

Если вычисления проводят только ради вычислений, то это совсем уже не математика! Это – уже философия получается. Вы, наверняка слышали, Ребята, это шепелявое слово. Что же оно означает? «Фило» – по гречески «мания, страсть», а «софи» – по гречески – «запутанное изречение». А вместе, это значит «пристрастие к словоблудию».

В древней Греции одуревшие от пьянства бездельники собирались на симпозиумы (отнюдь не научные конференции, а разнузданные попойки) и высказывали свои софизмы. Вот пример такого софизма:

«Сократ – человек. Человек – не то же самое, что Сократ; значит, Сократ – это нечто иное, чем Сократ»

К настоящему времени написано сотни тысяч толстенных томов содержащих подобную ахинею. Десятки тысяч лоботрясов в различных странах мира получили научную степень по философии и получают за это немалые ежемесячные выплаты из государственных бюджетов.

Невольно возникает вопрос: "Почему же такая чепуха как философия, признана наукой?"

Ответ на этот вопрос можно найти в сказке Ганса Христиана Андерсена "Новый наряд короля". Вы, наверняка, читали или слышали о том, как двое мошенников "сшили" для короля наряд из ничего. При этом ни королевские придворные, ни подданные королевства, не смотря на всю очевидность обмана не посмели признаться в том, что не видят никакой прекрасной ткани, из которой был, якобы, изготовлен новый наряд короля. Вот концовка этой сказки:

«Ни один человек не хотел признаться, что он ничего не видит, ведь это означало бы, что он либо глуп, либо не на своем месте сидит. Ни одно платье короля не вызывало еще такого восторга.

– Да ведь король голый! – сказал вдруг какой-то ребенок.

– Господи боже, послушайте-ка, что говорит невинный младенец! – сказал его отец.

И все стали шепотом передавать друг другу слова ребенка.

– Он голый! Вот ребенок говорит, что он голый!

– Он голый! – закричал наконец весь народ. И королю стало не по себе: ему казалось, что люди правы, но он думал про себя: “Надо же выдержать процессию до конца”.

И он выступал еще величавее, а камергеры шли за ним, неся шлейф, которого не было.»


Даже тогда, когда ребёнок открыл людям и королю истину, король и придворные упрямо и чванливо продолжали свое идиотское шествие. Шоу должно продолжаться?

Именно так происходит и в нашей, совсем не сказочной жизни. Несмотря на полную абсурдность некоторых положений, взрослые поддерживают их лишь потому, что так принято, так полагается, так делали всегда, это не нами заведено, традиции надо чтить, и тому подобное.

Но не нужно быть слугой традиций и бессмысленных ритуалов. Мы же всё-таки разумные люди, а не зомбированные и покорные холуи!

Ещё одна лженаука, которая, просто как пиявка, присосалась к математике – это теория вероятностей. Сама по себе теория вероятностей возникла среди азартных игроков, которые пытались просчитать выигрыш. Всех азартных игроков можно смело назвать лохами. Ибо, только лохи надеются баснословно разбогатеть, ничего не делая и не прилагая усилий. Но, как можно убедиться, выигрывают всегда только те, кто эти игры устраивает и заманивает в эти сети самонадеянных любителей халявы.

Однако, задачки на вероятность непременно будут Вам встречаться в ходе изучения математики. Поэтому, давайте научимся их решать. Для начала разберёмся, что же такое "вероятность?"

Итак, представьте: обычный уютный вечер. Все свои уже дома. Даже уже поужинали. И уже разлит в чашки горячий ароматный чай. К чаю мама открыла коробку шоколадных конфет "Ореховое ассорти." На коробке написано, что каждая конфета содержит внутри цельный орех. Это может быть миндаль, фундук или фисташка. Ульяне очень захотелось отведать конфету с фундуком. Но как узнать, которая конфета именно с этой начинкой? Ведь на вид конфеты совершенно одинаковые. И Ульяна стала думать. Каждая конфетка лежит в своей ячейке. По шесть штук в четыре ряда. Значит, всего конфет двадцать четыре штуки. Три сорта. Значит, восемь конфет должны содержать фундук. Значит, в восьми из двадцати четырёх случаях Ульяна сможет достичь желаемого. А если короче, то в любых трёх, взятых наугад, конфетах, хотя бы в одной содержится фундук. Чтобы проверить свои расчёты, Ульяна попросила взять сразу три конфеты. Все улыбнулись, и ответили, чтобы Ульяна кушала на здоровье. Ульяна взяла две конфеты с противоположных углов, и ещё одну из середины. Надкусила первую. Та оказалась с миндалём. Вторая конфета тоже оказалась с миндалём. Ульяна задумалась, вдруг третья конфета окажется с фисташкой, и тогда она не отведает желаемого лесного орешка, и вынуждена будет признать, что её расчёт оказался не верным. Ульяна смотрела на третью конфетку, но не решалась её проверить. Домашние заметили замешательство Ульяны и с любопытством наблюдали за девочкой. Даже кот, который по обыкновению безмятежно дремал во время вечерней трапезы, был удивлен внезапно наступившей тишиной, и лениво приоткрыл один глаз, чтобы убедиться, что всё в порядке и все на месте. Ульяна глубоко вздохнула и решительно надкусила конфету. Ура! Показался кругленький бочок лесного орешка. Ульяна сначала обкусала шоколадную оболочку, и затем с удовольствием захрустела, разгрызая спелое и упругое ядрышко. Потом она подумала, что если оставшиеся конфеты разделить на группы по три штуки, то в одной из групп непременно окажутся две конфеты с фисташками, а в одной из групп точно не будет конфеты с миндалём. Братик, не скрывая удивления, спросил почему Ульяна съела только третью конфетку, а первые две только слегка надкусила? И Ульяна пояснила свои расчёты и предположения. Все сидящие за столом улыбнулись, а папа похвалил Ульяну за любознательность, и добавил, что всякие орехи и вкусны, и полезны. Затем, подмигнув дочери, взял ближайшую конфету, и, словно мячик, целиком отправил её себе в рот.

Теперь, Ребята, можно сказать, что вероятность – это предположение, основанное на некотором расчёте. Почему же на некотором? Потому, что расчёта, который сделала Ульяна, оказалось недостаточно, чтобы быть уверенной, что из трёх, наугад взятых, конфет одна будет с фундуком. Но могла ли Ульяна, на основании тех данных, которые у неё имелись, сделать более точный расчёт? Нет! Не могла! Поэтому вероятность и уверенность – совсем разные понятия. С уверенностью можно лишь утверждать, что в любой конфете есть орешек. На современных кондитерских фабриках каждый этап производственного процесса проходит под контролем не только внимательных операторов, но и высокоточной электроники. Так, что возможность брака настолько мизерна, что её смело можно считать ничтожной.

И вот, правило первое: вероятность возможного события равна единице (или 100%, если угодно).

Соответственно, вероятность невозможного события равна нулю.

Таким образом вероятность условного события находится в пределах от нуля до единицы, и, в общем случае, выражается дробью, знаменателем которой является количество всех возможных вариантов события, а числителем – количество условных (желательных) вариантов события.

У кубика, как известно, шесть граней. Грани игральных кубиков пронумерованы точками. Теперь, мысленно, прокрутим кубик и бросим его на поверхность стола. На верхней грани стоит пять точек. Теперь, хитрый вопрос: стоит ли загадывать число пять перед следующим броском?

Многие скажут, что не стоит. Потому, что пять только что выпало и вряд-ли повторится. Проверим! На этот раз выпало число два. А теперь, какое число следует загадать? Не два и не пять. Проверим! Выпало число шесть. А сейчас, вероятнее всего, выпадет либо один, либо три, либо четыре. Проверим! Выпало число два. Но почему? У нас же так классно получалось. Да ничего у нас не получалось! Потому, что любой последующий бросок кубика не может, каким-либо образом, зависеть от результатов предшествующих бросков. Иными словами вероятность выпадения каждой грани, каждый раз одинаковая. В данном случае 1/6.

Если бы мы бросали сразу два кубика, то вероятность загаданного числа (загадано, что хотя бы на одном из кубиков выпадет желаемое число) увеличится.

А если бы мы бросали сразу два кубика, то вероятность загаданных чисел (загадано, что на обоих кубиках выпадет желаемое число) уменьшится.

В первом случае (назовём его сложением условий) вероятности следует сложить. Получится 2/6 или 1/3.

При этом, следует помнить, что даже если бросать сразу шесть кубиков (при этом вероятность будет уже равна единице), это вовсе не гарантирует желаемого результата. Помните, Ребята, что вероятность далека от уверенности!

А во втором случае (назовём его наложением условий) вероятности следует перемножить. Получится 1/36.

Самым простым и надёжным способом решения задач на вероятность является способ выбора и подсчёта. Для этого нужно взять листок, и выписать или нарисовать все возможные варианты события. Это трудоёмко, но не надо лениться! Затем, отметить те варианты, которые соответствуют условию задачи. Осталось только подсчитать и записать правильный ответ.

Ну, а теперь, попробуем решить пару задач из тестовых вариантов ЕГЭ по базовой математике.

В чемпионате по гимнастике участвуют 30 спортсменок: 10 из Японии, 14 из Китая, остальные – из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием.

Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи.


Вот такая простейшая задачка. Знаменатель нам уже известен. А вот числитель мы легко вычислим: 30 – 10 – 14 = 6. Вероятность того, что первая гимнастка, которая выступит на этом чемпионате будет кореянка составит 6/30, или короче 0,2. Гимнасток из Кореи в пять раз меньше общего количества гимнасток.

Следующая задачка.

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,2. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две такие батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся неисправными.

Эта задачка чуть посложнее. Тут мы сначала переведём вероятность из десятичной дроби в обычную. 0,2 = 1/5.

То есть каждая пятая батарейка бракованная. Нарисуем на краешке одного листочка вертикально пять кружочков, один из которых пометим крестиком. Это будет только иллюстрация заданного условия задачи. Затем, нарисуем на краешке другого листочка горизонтально также пять кружочков, один из которых пометим крестиком. И теперь к каждому кружочку на первом листочке будем прикладывать по одному кружочку на втором листочке. Подсчитаем, что вариантов получилось 25, и только в одном, помеченные крестиком кружочки совпали. Следовательно, из двадцати пяти возможных вариантов только один окажется желательным. На самом деле вовсе не желательным!

1/25 = 0,04.

Точно такой же результат мы получили бы если просто перемножили вероятности. Но, решение контрольных задач сопровождается некоторым стрессом, из-за которого вы можете перепутать какие действия или какие формулы следует применить. Поэтому способ выбора и подсчёта, хоть и более длительный, но более надёжный. Впрочем, как кому удобно!

В качестве комментария к вышеприведённой задаче можно лишь выразить недоверие к её правдоподобности. Почему? Батарейки включены в список товаров, которые не принимаются к возврату. Представьте теперь, что двадцать человек купили такие батарейки (пусть даже совсем не дорого), и четыре покупателя обратились в торговую точку с жалобой на неисправность купленных батареек. Продавец, конечно, извинился, но сказал, что батарейки возврату не подлежат. Покупатели могут обидеться и предпочесть для подобных покупок другие торговые точки. Продавец доложит о ситуации своему начальнику, а тот, в свою очередь, прекратит закупать батарейки этой фирмы. И так повсеместно. Фирма, производящая такие плохие батарейки, в скором времени разорится, ибо останется без потребителей своей продукции. И об этом любой предприниматель обязан задуматься ещё до того, как вложит деньги в производство продукции такого низкого качества. Поэтому, вероятность возникновения ситуации, описанной в данной задаче, в реальности близка к нулю!

По сути, показатель вероятности просто означает долю эффективного в возможном. Или, другими словами, содержание полезного продукта в общей массе.


Итак, решение задач на вероятность оказалось совсем не сложным делом. Но почему мы назвали "теорию вероятностей" лженаукой? Главным образом, по причине её бесполезности. Ну, а другая причина кроется в самом её назначении: «Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий».

Но любой, уважающий себя, научный деятель убеждён, что всё во вселенной закономерно, но никак не случайно! Мы называем некоторое событие случайным, только лишь потому, что не можем учесть все факторы приводящие к данному событию. И говорить о причине какого-либо события: "Его величество случай!" весьма пафосно, но вовсе не научно!

Однако, всем нам хорошо известно, что у любого без исключения события есть, по крайней мере два фактора: причина и повод. Что же это за факторы такие? Давайте разберёмся!


Писатель-сатирик Михаил Николаевич Задорнов написал рассказ "Девятый вагон". Многие взрослые, наверняка, слышали этот рассказ и от души хохотали. Вот начало этого рассказа:

« . . . к составу в Киеве присоединили два девятых вагона! Пассажиры, у которых были билеты в девятый вагон, естественно, сели в первый из них. Потому что все нормальные люди с детства знают: девятый вагон идет сразу после восьмого. И никому в голову не может прийти, что после девятого вагона окажется снова девятый. Одним словом, состав трогается, удивленная проводница второго девятого вагона идет к бригадиру поезда и говорит:

– Мой вагон пустой!

– Какой вагон? – спрашивает бригадир.

– Девятый.

– Странно. Наверное, опять что‑то в кассах напутали! – удивляется бригадир и дает на следующую станцию радиограмму: «Продать билеты в девятый вагон».

На следующей станции поезд стоит три минуты. Пассажиры, которым продали билеты в девятый вагон, тоже оказались людьми нормальными и, как только объявили посадку, дружно ринулись в первый девятый (он ближе всего к вокзалу)… Проводница, у которой уже все пассажиры попили чаю и легли спать, в ужасе от такого количества двойников, никого не пускает и говорит:

– Тут какая‑то ошибка, товарищи! У меня только два свободных места. Остальные бегите к бригадиру поезда. Он в первом вагоне. Пускай он вас расселяет по другим вагонам. Причем бегите скорее, а то поезд сейчас тронется.»


Когда мы хотим отметить чёткую и точную работу чего-либо, мы обычно говорим: "Работает как часы!"

Но в часах весь механизм находится в компактном и закрытом корпусе. А сеть железных дорог, словно кровеносные сосуды пронизывают всю нашу огромную страну, и с каждого вокзала, с каждой станции, днём и ночью, в будни и в праздники, в любую погоду отправляются пассажирские поезда и товарные составы, строго по расписанию, минута в минуту! Это – реально впечатляет! Справедливости ради, следует сказать, что глобальная телекоммуникационная связь успешно действовала в системе железнодорожного сообщения ещё задолго до появления интернета. Если бы Михаил Николаевич удосужился хотя бы полюбопытствовать как формируются и отправляются железнодорожные составы, он понял бы, что подобной путаницы быть просто не могло. Но мы не будем сейчас заниматься литературной критикой, а даже, напротив, допустим такую нелепую ситуацию.

Итак, на маленькой станции (обычно поезда стоят три минуты только на маленьких станциях) более десятка пассажиров, весьма неожиданно (дело то было уже ночью), но при этом вполне законно, приобрели билеты. И проводница не имеет права отказать им в посадке. А если возникают какие-либо проблемы, она обязана по внутренней связи доложить о них бригадиру или даже начальнику поезда, который обязан разобраться с ситуацией на месте, прежде чем давать какие-то радиограммы. Через несколько минут, проводница второго девятого вагона идёт к бригадиру. Она неминуемо проходит через первый девятый вагон, и видит, что он переполнен пассажирами, которые ворчат и возмущаются. Ещё через несколько минут причина возникшего переполнения выясняется и проводница второго девятого вагона приглашает всех, кому не хватило места в свой вагон. Пассажиры со своим багажом проходят через узкий коридор и тамбуры, и занимают места, согласно купленным билетам. Ещё через несколько минут, проводница второго девятого вагона, уже спокойно, разносит чай и постельное бельё. Счастливого пути!

А теперь, изложим ситуацию кратко: получилось так, что в одном месте густо, а в другом пусто. Там, где густо теснота и давка. Требуется больше пространства. Вот и первый фактор. Назовём его – фактор напряжённости.

Но вот появляется проводник, и открывает доступ в незанятое пространство. Вот и второй фактор. Его назовём – фактор возможности или проводимости.

После появления проводника произошло равномерное распределение в предоставленном пространстве. Процесс равномерного распределения в предоставленном пространстве назовём, всем Вам хорошо известным словом, энергия.

Но пассажиры распределились по местам не мгновенно, а в течение нескольких минут. Почему? Потому, что они проходили через узкий коридор вагона и тамбуры. На это передвижение ушло время. Хорошо ещё, что они переходили в соседний вагон. А если бы пустой вагон был последним в составе поезда? Потребовалось бы гораздо больше времени!