Пушистые логарифмы
Андрей Анатольевич Сафонов

© Андрей Анатольевич Сафонов, 2022

ISBN 978-5-0055-8424-3

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

ПЕРВАЯ ВСТРЕЧА С ПУШИСТЫМИ ЛОГАРИФМАМИ

Когда я заканчивал школу и особенно остро встал вопрос, куда пойти учиться, мне приснился причудливый сон, в лучших традициях Льюиса Кэролла: на лужайке рядом со старым немецким домом, где я провел детство, пасутся странные существа – наполовину овечки, наполовину логарифмы. Существа эти очень милые, но какие-то недотепы, и уследить за ними (а в этом вроде как состояла моя задача) крайне непросто: они запрыгивают друг другу на головы, двигаются одновременно во все стороны и, пока ты занят одним, разбегаются другие…

Тем временем мой старый дом превращается в готический собор и университет.

Вариантов поступления было много, но в книге судеб, видимо, прописан был матфак – не самое чуждое логарифмам место. Однако сон мне стал открываться только много лет спустя после окончания учебы.

Встал не менее животрепещущий вопрос: кем работать математику-теоретику? Не помню, чтобы в моих мечтах витала школа, но книга судеб уготовала свои мечты. Мало-помалу я стал соприкасаться с образовательной деятельностью, и чем дальше, тем менее я представлял себя без преподавания в каком-либо виде. Что бы ни говорили искалеченные школьной системой, есть в этом занятии некая притягательная тайна. Вкусив эту тайну, вряд ли променяешь ее на престиж и высокую зарплату. Вряд ли тайна сия полностью вербализуема – но, если, объясняя сто раз пройденный материал, ты чувствуешь, как сквозь тебя проходит молния вселенского логоса и хотя бы отблеск этой молнии видишь в глазах ученика, да даже если просто услышишь искреннее «спасибо», возможно, ты с ней соприкоснулся. И закружилась золотая спираль бытия. Пифагор – Платон – Аристотель – Евклид… Где бы мы были, если бы не эта многовековая эстафета от учителей к ученикам?

И вот однажды до меня стало доходить. Пушистые логарифмы – это те, кто с невинной улыбкой говорит: «Я больше не буду» после тридцать третьего замечания и через минуту получает тридцать четвертое. Пушистые логарифмы кричат в спину с другого конца улицы: «Здравствуйте, Андрей Анатольевич!» Потом они сдают ЕГЭ, прощаются, а самые безнадежные «недотепы» возвращаются в школу учителями.

Почему они пушистые? Тут все понятно: невинные белые овечки, за которыми так трудно уследить пастырю-учителю.

Почему логарифмы? Давайте вспомним определение. Логарифм – показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b. К примеру, логарифм 25 по основанию 5 равен двум, а логарифм 32 по основанию 2 равен 5. Представим себе, что у нас три ветки, на каждой из них еще по три и т. д. На четвертом шаге имеем 81 ветку. Понятно, что логарифм 81 по основанию 3, равный четырем, – очевидная числовая характеристика того, как из трех веток получается 81.

Логарифм показывает, как путем многократного умножения на себя нижнее число превращается в верхнее.

Не есть ли это идеальный символ творческого диалога между учителем и учеником? Мы получаем неуловимого, как квант, первоклассника и должны найти такой «логарифм», который путем многократного «умножения» его на себя самого сделает из него того, кем он должен стать. Логарифмы – там, где зеркала в зеркалах, ветки на ветках, синергетика, обратные связи, рисующие друг друга руки Морица Эшера…

Есть, конечно, отрицательные показатели, идеал и действительность, поэтому значение сна не исчерпывается определением логарифма. Тут сложнейшие логарифмические функции – возможно, они объясняют, почему гитара, лады которой располагаются по логарифмическому закону, стала для меня чем-то вроде пастушеской свирели при приручении пушистых друзей и почему недавно научная руководительница из универа предложила подарить особо отличившимся ученикам экскурсию по Кафедральному собору.

А вот это уже совсем серьезный символ.

Мы пытаемся логарифмировать учеников в соответствии со своими относительными и конечными идеалами. Но настоящий идеал абсолютен и недостижим. И в этом-то стремлении в заветное запределье заключается могучий пафос готических соборов и математических пределов. После тысячи шагов к идеалу он так же бесконечно далек, но в стремлении к нему весь смысл, и по сравнению с ним мы все – выстроившиеся в нескончаемые ряды пушистые логарифмы.

Я всматриваюсь в вас, о числа…

Кажется, еще секунду назад меня не было, и вдруг я очнулся в старом немецком доме недалеко от теряющегося в мифической дали озера. Что на самом деле было «до», теряется в непроглядной ночи сознания – на улице, «где был я, когда меня не было». И – вспышка: я есть, я мыслю и за пределами этого «я» не знаю ничего. Оно точка отсчета, вокруг которой начинает выстраиваться моя система координат.

Вот заходит папа – мощный, как восходящее солнце, словно огромная энергия переливается в меня из него.

Постепенно из хаоса впечатлений начинают выстраиваться время и пространство.

С одной стороны нашего дома – парадный выход, ведущий к озеру, с другой – двор, маленький космос, отгороженный от остального мира заборами, сараями и кустами шиповника.

По маленькому космосу гуляют соседи, я постепенно запоминаю их имена: бабуля Прохоровна, дядя Вася, дядя Витя, дядя Сережа, тетя Оля… Они оживленно и весело что-то обсуждают и один за другим растворяются в воздухе, как призраки, ибо их давно уже нет.

Из глубины двора раздаются стуки молотка и жужжание сварочного аппарата. Я сбегаю по деревянным ступеням, чтобы узнать, что происходит. А там, словно вышедший из недр земли огненный человек, разбрасывающий вокруг себя фонтаны искр, мой солнечный папа ловко и умело возводит огромный красный сарай – самый высокий и мощный во дворе.

Если, выйдя через внутренний вход, повернуть направо, а потом еще раз направо, то окажешься в нашем саду. Там цветут яблони, вишни, а в августе розовые, как закат, сливы падают на деревянный стол. Стол крепится на железной трубе. Я зачарованно всматриваюсь туда и представляю, что она уходит на тысячи километров вниз, к центру земли.

В конце сада кусты смородины образовали настоящий лабиринт, откуда я легко попадал в  дебри Африки и Южной Америки.

Однажды мы нашли в саду с папой маленького котенка, назвали Барсиком, построили ему шикарное жилище под сливой и стали приглашать домой.

Тот потерянный навсегда май отодвигается, словно штора, за которой зима. Я стучу из расписанного морозными фракталами окна на втором этаже, Барсик стремительно несется от красного сарая и через считаные секунды царапается в дверь.

Снимается еще одна завеса в памяти, и вот предрассветный поезд, вторя ударам сердца, движется в сторону моря… Мне уже 15, и рядом отец, усталый, как солнце, которое вот-вот нырнет во мрак.

Через год, словно таинственный ковчег, гроб уходит под землю и папа отправляется в свое самое далекое плавание.

Воспоминания так близко, будто это все еще где-то происходит. Будто мы были главными героями длинного и прекрасного фильма, но он оборвался, не успев завязаться. Мы даже не успели поговорить по душам… Иногда мне снится, что та смерть произошла по ошибке, и он возвращается, но уже не тот – поддельный…

И вот я уже сам папа… Только теперь, глядя на сына, я начинаю понимать, что за энергия вливалась в меня из отца. И уже новое солнце восходит в моей груди… Неужели и это пройдет так быстро? Однажды и мне нужно будет отправиться в путешествие на своем ковчеге, но как можно жить, думая, что оттуда никто не возвращается и всем предстоит разлучиться навсегда?

Поднимается бунт, безумный протест – против увядающего шиповника, ржавеющего сарая, исчезновения Барсика, второго закона термодинамики, против узости т. н. научной картины мира, против тупого ржания за спиной и нелепой серьезности в двух шагах от пропасти.

И самое главное: как смеет смерть накладывать свои грязные лапы на то, что так дорого, от чего так сжимается все внутри? На то, что по своей природе должно быть всегда?

Воды Леты растворяют все на своем пути. Тот, кто хлебнул их, видит почки как увядающие листья, обгоревшие развалины на месте новой квартиры и лик старика за улыбкой младенца. ¹

Я закрываю глаза и, подобно поэту Велимиру Хлебникову, «всматриваюсь в вас, о числа». Четные, нечетные, квадратные, треугольные, простые, составные, совершенные…. Вы сурово молчите, и все же в вас есть то, что так нужно мне… Лангольеры суеты и энтропии сжирают наши тела, эпохи и галактики, но вы возвышаетесь над пространством и временем, как вечные сияющие маяки. Вы – словно рукопись из бутылки, дающая надежду, что уплывшие за горизонт забвения однажды вернутся домой.

Машина из времени

Осталось полумифическое воспоминание: мне около пяти, собираемся с папой в поход, по радио играет «Выходим к великой реке» «Машины времени», под ногами крутится кот Барсик, движемся вдоль багратионовского озера Лангер в сторону польской границы. И вот уже давно нет ни папы, ни Барсика, а я по-прежнему решаю это неравенство: любовь> время + смерть => должна быть машина, но не времени, а скорее, из времени.

***

Я помню, гуляли с отцом вдоль великой реки,

Там ветер шумит в камышах и шаги так легки,

Но что-то осталось мне в этом дне навсегда.

Как странно, что к берегу детства не видно моста.

Но снова гляжу я на рождение солнца,

И кажется, смерть твоя – только лишь сон.

Проснусь и увижу вновь старенький шкаф,

Там есть коридор в бесконечность – я был все-таки прав!

Крутое сварив яйцо, соберемся в поход.

И Барсик нас провожает – сказочный кот!

Движимые вечностью – смерть, держись, идем навстречу мы!

Движимые вечностью, смерть, держись, идем навстречу мы!

Навстречу заре мы пойдем на восток.

Шуршит под ногами прибрежный песок.

Здесь каждый оставить должен собственный след.

И Барсик нас провожает, но его уже нет.

И счастье так близко – попробуй поймай!

Но не купишь билетик на потерянный май.

Тот день остается далеко за спиной,

Но память об этом навеки со мной!

Она в моем сердце, словно сказочный храм!

Я знаю, однажды найду тебя там.

Есть дом у истока великой реки.

Там ветер шумит в камышах и шаги так легки.

И там завершится наш детский поход.

И Барсик нас встретит, сказочный кот.

Натуральные числа: кромешная скука или вестники другого мира?

Если кто не помнит, ряд чисел 1, 2, 3, 4, …, 12, … и так до бесконечности называется натуральным. Как говорится в школьных учебниках, это числа, которые мы используем при счете. И на первый взгляд кажется, что в них нет ничего особенного. Считать предметы мы научились с самых ранних лет.

Однако, как ни странно, натуральный ряд – одна из самых таинственных вещей, с которыми нам когда-либо приходилось сталкиваться. Сложности возникают уже при вопросе: откуда они появились?

Есть разные теории, пытающиеся ответить на это.

Сторонники эмпирического подхода считают, что числа возникают из непосредственного опыта, который дают нам органы чувств подобно тому, как из него возникают физические или химические законы. Но тут возникает проблема: если физические объекты и вещества мы видим и ощущаем, то самих чисел видеть не можем. Мы можем видеть 5 кружек, но само число 5 находится только в нашей голове. Нигде в природе мы не найдем и законов арифметики и алгебры – мы можем найти их только в своих мыслях.

Другой, лингвистический, подход утверждает, что числа – искусственный язык, придуманный человеком для описания действительности. Подобно тому, как мы используем слово «синий» для описания определенного цвета, мы используем слово «пять» для описания пяти кружек. Но здесь также возникают сложности: если мы придумываем язык, мы сами задаем его законы и можем быть уверенными, что не сделаем там неожиданных открытий.

Было бы странно, если бы учительница русского языка с удивлением обнаружила, что слово «жил» пишется на самом деле через «ы». Филологи заранее знают, что получат на выходе. Чего нельзя сказать о математиках. К примеру, в 1637 г. математик Ферма записал интересную формулу о соотношении чисел, доказать которую удалось только в конце двадцатого века. Смысл в том, что математики используют числовой ряд, но не знают всех его закономерностей. Они открывают там новые теоремы и формулы подобно тому, как географы открывали новые земли.

И здесь мы приходим к третьему и, пожалуй, самому популярному среди самих математиков направлению – математическому платонизму. Суть этого подхода в том, что числа рассматриваются как отдельная независимая от физического мира реальность, некая «матрица», из которой возникает материальная вселенная. К подобному выводу можно прийти путем примерно таких рассуждений: в материальном мире нет ничего вечного: с деревьев падают листья, гниют яблоки, стареют люди, империи, галактики, в то время как числовые закономерности существовали и будут существовать всегда. ²

Как некую альтернативу платонизму можно рассматривать математический логицизм. Он объясняет вечность чисел тем, что законы арифметики целиком сводятся не к метафизике, а к законам формальной логики, а последние не обладают содержанием, а являются лишь формой мышления. Но тут возникает нечто очень странное. Мы выводим числовой ряд путем однообразного алгоритма прибавления единицы – однако получаем в результате удивительное полотно с математическими узорами, которые никак не вяжутся с формально-логическими тавтологиями. К примеру, есть такие числа, как 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 …, их называют простыми. Они делятся только на себя и на единицу. И вот оказывается, что простые числа набросаны во множестве натуральных без всякой логики, словно полезные ископаемые или семена диковинных растений. Откуда они появились в человеческом разуме, до сих пор остается загадкой. ³

Напрашивается удивительный вывод: наше мышление имеет доступ к информации, которую невозможно получить через органы чувств или вывести чисто логически. Возникают вопросы: каковы же тогда возможности нашего интеллекта и каков источник этого знания?

Натуральные числа – лазейка в интеллектуальный лабиринт, ведущий в глубочайшие тайники человеческого мышления и, по-видимому, самой реальности.

Скатерть улама, или как найти бездну в собственном разуме

В 6-м классе школьники, как правило, знакомятся с простыми числами. Для тех, кто забыл, напоминаем: натуральными мы называем числа, которые используем для счета предметов: 1, 2, 3, 4, …, 10, 11, 12, 13, 14… и так до бесконечности. Соответственно, все, что не входит в это множество, натуральными числами не является – например, отрицательные числа или дроби.

Простыми мы называем все натуральные числа, которые делятся только на себя и на единицу: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т. д. Все остальные числа называются составными. Например, 12 = 3 * 2 * 2, т. е. число 12 разбивается на три простых множителя. Аналогично каждое составное число можно «построить» из простых, как из неких первичных кирпичиков. 15 = 3 * 5, 36 = 2 * 2 * 3 * 3 и т. д.

Вроде бы и правда все очень просто.

Однако на деле простые числа оказываются не такими уж простыми. Главная их тайна состоит в том, что за всю историю человечества еще никому не удалось найти закон, по которому они распределены во множестве натуральных чисел. Если, к примеру, все четные числа можно легко задать формулой x = 2 * n, а квадраты – x = n ^ 2, то для простых чисел нет не то что простой формулы, а вообще никакой. Простые числа набросаны во множестве натуральных по какой-то своей непостижимой логике – словно драгоценные камни в земной коре или звезды на небе.

Попытки разгадать логику их расположения предпринимались неоднократно, но дело не шло дальше нахождения отдельных островков, подчиняющихся своим локальным законам. Например, Эйлер нашел многочлен x2 – x +41 при подстановке вместо x чисел от 1 до 40 дающий только простые числа. Впоследствии было найдено множество других аналогичных формул.

И тем не менее было непонятно, является ли наличие подобных скоплений проявлением некой глубинной закономерности или простой случайностью.

Скопления простых чисел можно сравнить с зарослями деревьев, причудливо раскиданных по земле, но однажды кое-кому открылось то, что можно назвать видом с высоты на эти заросли.

В 1963 г. американско-польский математик Станислав Улам присутствовал на одном чрезвычайно скучном научном докладе. От нечего делать он начал записывать натуральные числа спиралью, как показано на рисунке. И вдруг обнаружил нечто такое, что потрясает воображение любого математика: оказалось, что простые числа распределяются на этом рисунке по ровным диагональным, вертикальным и горизонтальным отрезкам. Отрезки эти разной длины, находятся в разных местах, и тем не менее обнаруженная закономерность продолжается на всем множестве чисел. Сколь долго бы мы не продолжали спираль Улама, простые числа будут послушно группироваться в отрезки, и, как оказалось, каждый такой отрезок соответствует какому-то квадратному многочлену наподобие тех, что открыл Эйлер. Простые числа выстраиваются как молнии, переплетаются как неведомые коды и иероглифы из миров, лежащих за пределами человеческого опыта. Откуда они там появились? Почему, монотонно прибавляя единицу, мы получаем эти загадочные структуры, объективные для всех, но существующие только в нашем сознании? Простые числа показывают нам, что для соприкосновения с бездной необязательно лететь в далекие галактики или расщеплять частицы. Мы можем уютно расположиться в кресле и найти эту бездну в нашем собственном разуме.

Простая тайна двадцати четырех

. (Откровение от Иоанна 4:4). «И вокруг престола двадцать четыре престола; а на престолах видел я сидевших двадцать четыре старца, которые облечены были в белые одежды и имели на головах своих золотые венцы»

24 старца из «Апокалипсиса», 24 часа в сутках, факториал четырех, удвоенная дюжина…

Какие еще тайны скрывает 24?

К примеру, вот такую:

Мы помним, как причудливо раскиданы простые числа во множестве натуральных: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23…

Величайшие математики мира смогли выявить формулы лишь для отдельных небольших островков простых чисел. Но удивительное дело: если мы возведем в квадрат любое простое число начиная с пяти и вычтем из него единицу, то полученный результат будет всегда делиться на 24.

Не на 25, не на 26, не на 27 и т. д., а всегда на 24.

К примеру, пять в квадрате минус один равно 24 – делится. семь в квадрате минус один равно 48 – делится. одиннадцать в квадрате минус один равно 120 – делится. Далее можете проверить сами.

Так почему же именно 24?

Владислав Степанович Малаховский: вещие сны о простых числах

Профессор Малаховский – для калининградского физмата фигура почти мифическая. Признанный в мире специалист по дифференциальной геометрии, знаток множества языков, человек, которого однажды в Британии посчитали советским шпионом, герой мистической передачи на канале «Культура» – он напоминает Джона Форбса Нэша из фильма «Игры разума». Малаховский умудряется вовлекать в математику, как в великое путешествие по миру идей. Высокая академическая планка сочетается у него с юношеским пылом и каким-то детским чутьем к чудесному.

Однажды, спустя много лет после окончания универа, поддавшись ностальгии, я сел на трамвай, докатил до математического корпуса БФУ имени Канта и взял следующее интервью:

Андрей Сафонов (далее – А. С.): – Владислав Степанович, сейчас математика является обязательным предметом, но, если быть честным, у многих школьников она вызывает настоящий ужас. Все эти синусы, логарифмы… Понятно, что они нужны физикам, инженерам… Но, может быть, есть смысл освободить гуманитариев от того, что является для них почти пыткой?

Владислав Малаховский (далее – В. М.): – Как говорили китайцы, «математика – кузница мышления», и я уверен, что, даже если человеку не нужно будет в дальнейшей жизни решать тригонометрические уравнения, изучение математики – это лучшая школа мышления. После нее будет легко освоить все остальное.

А. С.: – Но говорят ведь, что люди делятся на естественников и гуманитариев и то, что легко для одного, другому просто не дано.

В. М.: – Я думаю, данное деление весьма условно. Есть одно мышление, которое можно применять к разным вещам. Я отчетливо вспоминаю, как меня, шестиклассника, привели в старшие классы, и я без единой описки записал все формулы сокращенного умножения. И это произвело на старшеклассников неизгладимое впечатление. И примечательно, что меня никто никогда не обижал в школе – уважали за знание математики.

Память меня выручила и во времена оккупации. Однажды в дом, где мы жили, зашли три немецких солдата, положили на стол оружие и ушли, сказали, что скоро за ним вернутся. А следом за ними зашел немецкий офицер и начал кричать: Warum hier liegt die Waffe? («Почему здесь оружие?») И вот, если бы я, будучи маленьким мальчиком, не рассказал ему бегло на немецком про солдат, нам пришлось бы худо. Тогда я пообещал себе, что если мы выживем, я буду изучать языки.

В 7-м классе я подумал, а раз так хорошо пошло – дай-ка я все кубы натуральных чисел до ста выучу, потом я стал учить логарифмы. Потом внутренний голос сказал: «Цифрами ты можешь погубить себя. Тренируйся на языках». В 9-м классе я решил изучать английский. Учителя по предмету не было, но это меня не остановило. Я попросил маму купить все учебники с 5-го по 11-й класс. У меня была еще адаптированная версия романа Вальтера Скотта «Айвенго», и я переписал ее от руки. А потом написал письмо директору о том, что хочу сдавать английский. На экзамене я не сказал ни слова на русском, и мне потом сказали, что школьницы отличницы стесняются после меня отвечать.

В университете занялся французским. Нам читали лекции по аналитической геометрии на русском, а мы с товарищем записывали их на французском. Потом я занялся итальянским…

Знание языков помогло в научных командировках за границу. Хотя Англии меня чуть не приняли за советского шпиона и проверяли на предмет алкоголя, азартных игр, женщин и т. п. Но меня ничего из этого не интересовало. В итоге меня спросили: «Профессор, неужели вам не скучно так жить?» Мне было не скучно.

А по поводу математики – помню, на первом курсе с нами учился один вундеркинд, который сидел на задней парте и даже не записывал ни одной лекции. К зимней сессии он бросил нам вызов: сказал, что сдаст все экзамены досрочно, за три дня. И мы договорились с товарищем проучить зазнайку. И вот мы втроем подаем заявления, что будем сдавать экзамены досрочно. Преподаватели были в шоке и хотели поставить нас на место. В итоге они гоняли нас по всем учебникам, по всем тонкостям, каждый отвечал около часа, но все получили пятерки. Потом, много лет спустя, я встретил нашего «вундеркинда» на одной научной конференции, я к тому времени был уже профессором и думал, до каких же высот мог он дойти за это время. Оказалось, что он стал скромным доцентом в университете местного значения. Это хороший пример того, что даже гениальные способности без дисциплины могут дать меньше, чем обычный талант плюс трудолюбие.

А. С.: – Вы являетесь признанным во всем мире специалистом по дифференциальной геометрии. Но более широкому читателю вы известны своими книгами о натуральных и простых числах. Для вас, знакомого со сложнейшими многомерными математическими структурами, что там может быть интересного?

В. М.: – Как-то раз ложусь спать и вижу сон: какой-то голос говорит мне: «Займись простыми числами». Я подумал, какой вздор – ведь в этой области уже все давно открыто. Но мне снова и снова снился этот сон. И я все-таки решил ими заняться. В результате мне удалось сделать удивительные открытия. Мне удалось найти ряд многочленов, которые задавали отдельные группы простых чисел.

А. С.: – То есть вы обнаружили не общую закономерность, а как бы отдельные структурированные островки?

В. М.: – Да. До сих пор закономерности обнаруживали только в распределении простых чисел. А мне удалось найти некоторые закономерности внутри самого ряда простых чисел.

А. С.: – Математик Пуанкаре говорил: «Неужели все многообразие математики сводится к простой логической тавтологии А = А?» Но то, что вы говорите, наводит на мысли, что существует некая объективная математическая реальность со своими законами, независящая от нашего физического мира. Кажется, подобные взгляды называются математическим платонизмом. Согласны ли вы с такой концепцией?

В. М.: – Да. Я вообще считаю, что числа свидетельствуют о той гармонии, которую вложил в наш мир Создатель.

А. С.: – Но многие считают, что наука и вера несовместимы. Вы не разделяете таких взглядов?

В. М.: – Конечно, нет! Почти все великие математики были глубоко верующими людьми. Кеплер, Декарт, Паскаль, Лейбниц, Гаусс… Мне нравится высказывание святителя Игнатия Брянчанинова: «Мечтатели сделались безбожниками, а изучившие глубоко математику всегда признавали не только Бога, но и христианство»

.

А. С.: – Вам лично вера помогала в жизни?

В. М.: – Конечно. Очень часто судьба спасала меня от неприятностей и смерти. В конце концов я стал верить в Бога. Все жизненные сложности помогала преодолеть внутренняя вера: если я поступаю правильно, мне всегда помогут. Всевышний всегда поможет – вот мое кредо.

А. С.: – Вообще, это странно для человека вашего поколения, воспитанного в атмосфере атеизма.

В. М.: – Я абсолютно верил в советские идеалы. Считал, что они требуют добросовестности, порядочности и стремления быть первым. Я никогда не мог подумать, что верхушка партии состоит из предателей и мерзавцев, и меня постигло большое разочарование, когда я это понял.

А. С.: – С какими основными проблемами, на ваш взгляд, столкнутся наука и образование в XXI веке?

В. М.: – На мой взгляд, главные опасности – это повсеместная компьютеризация и пренебрежение чистой математикой. Человеческое мышление постепенно пытаются подменить машинным. Одного французского школьника спросили: сколько будет 2+3? Он ответил: «По закону коммутативности это будет столько же, сколько 3+2», после чего достал калькулятор. Сегодня технологиями пытаются подменить мозг человека, а это неправильно, поскольку мозг больше компьютера и мы все еще убедимся в необходимости чистой математики – фундамента для всех наук.

Узоры хаоса

Нелинейное время для творчества

Что такое время, человечество пыталось понять на протяжении всей своей истории. Парменид, к примеру, видел все подверженное изменениям полностью иллюзорным, Платон считал время движущейся вечностью, а Кант – формой нашего восприятия, превращающей непостижимый мир «вещей в себе» в привычную нам реальность. Всех концепций не перечесть, однако примерно с XVII века в массовом сознании доминирует то понимание времени, которое возникло в физике Ньютона, а потом начало захватывать все новые научные области.

Математически подход Ньютона сводился к тому, что любой процесс в природе можно описать интегрируемым дифференциальным уравнением. В переводе на общечеловеческий язык это означало: любой процесс абсолютно предсказуем – зная, где находится материальная точка, будь то планета или частица, мы сможем с помощью соответствующего уравнения узнать, где она будет через час, год и т. п. Вселенная в описании Ньютона напоминала огромные часы, где от стрелки не стоило ждать никаких сюрпризов.

Постепенно эта парадигма превратилось в целую философию, где мир является не более чем сложной машиной. Французский физик Лаплас в XVIII веке дошел до того, что предположил возможность гигантского вычислителя, который, если в него вбить все данные о текущем состоянии вселенной, мог бы предсказать абсолютно все. Подобное чудовище назвали «демон Лапласа» и, действительно, в данной концепции есть нечто демоническое. Ведь если предположить, что все наши действия предопределены еще на уровне атомов и молекул, то не останется места для свободы, для творчества, для любви. Все человечество превращается в бессмысленную армию роботов, которые рано или поздно сломаются.

К таким выводам приходила физика вплоть до XX века. Но потом что-то начало сдвигаться.

Сначала Эйнштейн придумывает свою теорию относительности, которая подвинула в сторонку физику Ньютона. Последняя осталась эффективной для описания локальных процессов, но потеряла монополию на объяснение всего. Тем не менее в парадигме Эйнштейна места для свободы не больше, чем на территории демона Лапласа. Время у него превратилось в четвертое измерение пространства – будущее уже есть, так же как прошлое и настоящее. Это просто точки в четырехмерном геометрическом многообразии, а то, что мы воспринимаем их не так, – наши проблемы.

Однако ветер свободы все-таки ворвался в науку. При изучении микроскопических частиц энергии – квантов – обнаружилось, что эти частицы ведут себя совершенно странным образом. Оказалось, есть некий принцип неопределенности, из которого вытекает: определить положение частицы можно только в рамках теории вероятности, т. е. элемент детерминизма классической физики исчезает. Демон Лапласа не сможет просчитать пути квантовых объектов, т. к. они, по крайней мере отчасти, подчиняются законам случайности.

Из открытий квантовой физики выросло множество научных и философских концепций. Одной из наиболее ярких стала теория хаоса Ильи Пригожина. Илья был блестящим математиком и химиком русского происхождения и, по его словам, всю жизнь пытался разгадать парадокс времени. Неужели мир – просто предсказуемые бильярдные столкновения частиц, или есть нечто большее? Илья обратился к работам французского философа Анри Бергсона, считавшего, что время нельзя сводить к пространству, что время есть непрестанное становление нового. Можно сказать, Пригожин нашел математическую интерпретацию для идей Бергсона. Да, уравнения Ньютона работают, когда речь идет о кеглях или движении Луны. Но когда мы попадаем в мир квантов, в мир хаотической динамики, то сталкиваемся с таким понятием, как бифуркация – в определенные моменты система может с равной вероятностью развиваться по одной из траекторий. Точно так же, как в определенный момент человек может сделать выбор: свернуть налево или направо, быть или не быть. Таким образом, однозначного будущего в рамках этой концепции нет – есть постоянный выбор между потенциальными возможностями, и возможности способны влиять на настоящее, как бы притягивая его к себе (см. ниже статью про аттракторы). На смену железной руке необходимости приходят артистические руки, рисующие друг друга.

Что означали для науки эти сдвиги в парадигмах? Очень многое.

К примеру, то, что научный взгляд на мир не противоречит свободе, не противоречит ответственности за свои поступки, не противоречит творчеству. Вселенная напоминает скорее не ньютоновские часы и не демона Лапласа, а гигантскую мастерскую, где создается нечто абсолютно новое. Кто это новое создает – только ли человек, природа или некий высший разум, ткущий узоры из квантов, – современная наука оставляет за скобками.

Эффект бабочки и лаборатория хаоса

В 1972 г. американский математик и метеоролог Эдвард Лоренц выступил с лекцией, в которой сделал сногсшибательное утверждение: взмах крыла бабочки в Бразилии может привести к изменениям в атмосфере, которые в свою очередь приведут к торнадо в Техасе. Свой вывод он подкрепил компьютерной моделью, убедительно показывающей, что да, может. Изыскания Лоренца положили начало математической теории хаоса. А термин «эффект бабочки» со временем стал популярной метафорой того, как ничтожные изменения начальных условий приводят к самым непредсказуемым последствиям. История дает массу иллюстраций для данного эффекта: так, в августе 1914-го выстрел молодого террориста Гаврила Принципа в австрийского эрцгерцога привел к началу Первой мировой войны, а пьяная выходка в баре английского парламентария Эрика Джойса в 2012 г. привела к изменению в руководстве лейбористской партии, что послужило причиной выхода Британии из Евросоюза.

С эффектом бабочки мы постоянно сталкиваемся и в обычной жизни: иногда от того, куда человек сворачивает на перекрестке, зависит встреча с будущим супругом, а от случайно брошенных слов учителя – выбор будущей профессии. Если допустить, что любое событие имеет такие далеко идущие следствия, то мы окажемся в совершенно непредсказуемом и хаотическом мире. К счастью, эффект бабочки работает не всегда: мы видим, как стабильно восходит каждое утро солнце, знаем, как стабильно циркулирует кровь в венах, а легкие вдыхают и выдыхают воздух.

Одно из ключевых понятий теории хаоса – устойчивость. Например, качающийся маятник – устойчивая система, т. к. в конце концов останавливается в заданной точке, а кружка, стоящая на краю стола, – неустойчивая: одного неосторожного движения достаточно, чтобы она упала и разлетелась на множество мелких кусочков. Понятно, что эффект бабочки действует в неустойчивых системах. Часто система в целом устойчива, но имеет моменты неустойчивости, где малейшее изменение приводит к совершенно разным результатам.

Какие же возможности все это открывает перед нами? Примечательно: наиболее богатой бифуркациями системой в природе является человеческий мозг. Каждый из миллиардов нейронов связан примерно с 10 000 других нейронов, что порождает бездну возможных сигналов.

Если взглянуть на другую сторону медали, мы увидим: фактически все то, без чего сложно представить жизнь современного человека, будь то дома, книги, фильмы, песни, автомобили, айфоны, интернет, – было когда-то мыслями, стремительно пронесшимися в чьей-то голове. Интересно, какие же тогда мысли могут возникнуть в нашем сознании?

Мозг – настоящая лаборатория хаоса, в которой могут родиться идеи, меняющие мир. Остается только не упустить взмаха крыльев своей заветной бабочки.

Сокровенные аттракторы мечты

Слово «аттрактор» (от английского attract – привлекать) изначально возникло в узкоспециальной области дифференциальных уравнений, описывающих хаотические процессы, но сегодня приобретает все большую популярность даже в гуманитарных областях.

Наблюдая за, казалось бы, совершенно непредсказуемым поведением динамических систем, описывающих погоду или движение акций на рынке, математики обнаружили удивительную вещь: подобно скрытым узорам на бумаге, в хаотических процессах вырисовываются правильные структуры.

В какой-то момент запутанные траектории начинают «наматываться» на определенные контуры. К примеру, если заставить точку скакать по специальной формуле, где коэффициенты определяются случайным образом (скажем, через бросание кости), в конце концов она станет прыгать в точности по множеству, изображенному на рисунке, – «ковру Серпинского».

На этих законах основана оригинальная технология сжатия изображений: оказывается, для каждого изображения можно найти аналогичную формулу, которая заставит произвольную точку на мониторе вырисовывать то, что нужно.

Данная идея стала одной из ключевых в недавно родившейся на стыке теории хаоса и философии дисциплине – синергетике. Синергетика сосредотачивается на бесчисленных примерах самоорганизации в самых разных областях. Аттракторы встречаются в турбулентных течениях, на фондовых биржах, в образовании галактик, в работе мозга, и это наводит на предположение, что подобное вырисовывание узоров из хаоса – одно из базовых законов мироздания.

Целый вихрь интересных мыслей возникает, если приложить идею аттрактора к человеческой жизни. Что, если в нашей судьбе присутствуют своего рода «притягивающие множества»? К примеру, человек задумал написать книгу. И эта еще не написанная книга уже начинает из будущего выстраивать вокруг себя события его жизни. Ситуация, не имеющая для другого никакого значения, оказывается недостающим звеном для сюжета, полученные из книг и интернета случайные сведения – материалом, из которого ткется проявляющееся постепенно из небытия произведение.

Точно так же для физика, работающего над какой-то проблемой, случайно намагниченная железяка или нагревшаяся стенка холодильника может сказать то, чего никогда не скажет человеку со стороны.

Интересно, что аттракторы выстраивают себя сами, для их создания не требуется детального планирования и инженерного чертежа. Но все-таки от человека тоже кое-что зависит.

В теории хаоса есть такое важное понятие, как бифуркация – возможность точки в определенные моменты выйти на разные траектории, как бы разные ветви развития событий. Так же человек в своей жизни делает выбор: стать адвокатом, ученым, художником, музыкантом… После того как точка бифуркации пройдена, аттрактор начинает притягивать события, выстраивать их подобно тому, как магнит выстраивает железные опилки. И будущий художник «случайно» оказывается в Эрмитаже, а музыкант вдруг различает в повседневном потоке музыки контуры еще не проявившихся шедевров.

Нелинейная динамика проливает свет на внутренние процессы творчества: если бы в нем правил чистый хаос, это могло бы привести разве что к шизофрении, если бы правил только аналитический разум – были бы закрыты каналы для создания нового. Но в творчестве порядок творится из хаоса – так, из множества пролетающих идей рождается книга, а из случайных звуковых рядов появляется музыкальное произведение.

Поток окружающих нас явлений может показаться бессмысленным, но не сокрыты ли за этой бессмыслицей сокровенные аттракторы мечты?

Геометрия пчелиных сот и тайна шестиугольных кругов

Даже элементарные открытия, сделанные самостоятельно, могут сделать то, чего не сделают сотни зазубренных учебников, – вызвать настоящую теорию (изначально под этим словом пифагорейцы понимали мистический экстаз от соприкосновения с истиной). Теория – своего рода молния из страны смысла. Однажды, когда я готовил макароны, эта молния слегка коснулась меня. Я увидел, как раздувающиеся пузыри в кипящей воде в страшной давке за «место под солнцем» стали приобретать какие-то странные формы… Мгновенная вспышка, и я «увидел» ответ на вопрос, смутно терзавший меня с детства: почему в природе так часто встречаются шестиугольники? Пчелиные соты, клетки, узоры на панцирях черепах…

Шестиугольник – идеальная фигура, чтобы замостить плоскость без пробелов. Это уже что-то, т. к. для подобной цели не подойдут ни круги, ни семи- и девятиугольники. Но откуда пчелы знают о таких геометрических тонкостях? И почему не используют более простые треугольники или квадраты, которые тоже легко подгоняются друг к другу?

Для того чтобы пережить маленькую «теорию», делаем простую математическую модель без единой формулы. Возьмем горсть одинаковых монет. Одну поставим в центр, а другие расположим вокруг так, чтобы все они соприкасались друг с другом. Мы увидим между ними похожие на треугольники зазоры, из-за которых круглой плиткой мы плоскость не замостим. Но вот что интересно – сколько бы раз мы не проделывали этот эксперимент, монеток по краям всегда будет ровно шесть!

Представим теперь, что монетки начинают раздуваться, как пузыри, пытаясь отвоевать друг у друга пустое пространство. Конкуренция деформирует личности и целые народы, чего уж говорить о кругах… В случае равномерного давления шесть точек соприкосновения разобьют окружность на шесть дуг, каждая из которых в конечном итоге распрямится в отрезок, и мы получим идеальное шестиугольное замощение. Круг, шар – наиболее естественная форма заполнения пространства – из центра во все стороны. При «честной» конкуренции круги становятся шестиугольниками. В случае же неравной борьбы получаются пятиугольники и другие альтернативные формы «замощения».

Вряд ли данная геометрическая метаморфоза объяснит нам шестиугольность бензольного кольца, но на устройство сот, клеток, а возможно, и на какие-то тайны геополитики, вероятно, прольет какой-то свет.

Фрактал «буржуйский сыр» и проколы в матрице

Однажды, наблюдая с сыном за поведением капель растительного масла в воде, я вновь пережил вспышку «теории», в пифагорейском смысле этого слова. В этот раз круги не давили друг на друга, как при кипении воды или в пчелиных сотах. Метаморфоза как будто свернула на соседнюю тропинку, и вместо привычных шестиугольников я увидел что-то вроде проколов в матрице.

Представим себе, что нам нужно замостить плоскость круглой плиткой сколь угодно малых размеров. Заполнить пространство как в случае с квадратами или шестиугольниками не получится: между окружностями всегда будут оставаться пробелы. Попытаемся заполнить их плиткой меньшего радиуса (именно так ведут себя пузыри, возникающие между пузырями). Очевидно, что пробелы не уйдут ни в этот раз, ни в следующий… Какие бы маленькие круги мы ни брали, всегда будет оставаться зазор, поэтому процесс можно потенциально продолжать до бесконечности.

Подобные структуры можно увидеть на поверхности свежесваренного кофе, в луже и везде, где давка не превращает их в многоугольники (хотя возможен и симбиоз, как в банке с мыльными пузырями).

Понятно, что в каждом случае процесс заполнения в какой-то момент заканчивается. Но то, что потенциально в природе, – актуально в математике, и чисто логически никто не мешает рассмотреть предельный случай, когда все пробелы заполнены бесконечностью уменьшающихся кругов. Данному математическому монстру я дал название «буржуйский сыр», что вполне характеризует экономические возможности данного принципа.

Технология «буржуйского сыра» позволяет получать видимость объема при сколь угодно малой плотности. Примеры тому пористый шоколад, воздушная кукуруза и даже современный хлеб. Конечно, идеал капиталиста – заданный объем при нулевой плотности – существует только в мире чистой математики. Интересна и «суперпористость» подобных материалов, они как бы бесконечно дышащие. Примечательно, что Декарт примерно так представлял структуру материи.

Впоследствии узнал, что данный объект называется сеткой Аполлония (он же «упаковка Лейбница») и обладает рядом труднопроизносимых математических свойств.

В этом всем удивительно то, что нерешаемая задача о заполнении плоскости кругами, естественным образом возникающая в природе, будто указывает на идеальный объект, которого в природе никогда не найти, но при этом он познаваем логически и является как бы недостижимой целью подобных процессов.

«Буржуйский сыр Аполлония» – хорошая иллюстрация того, что мир математики (а следовательно, и человеческий разум) в некотором смысле трансцендентен природе: он способен проникнуть туда, куда не проникнет ни один из компьютеров ни за какое число шагов. А это, в свою очередь, указывает на неполноту доступного глазу и микроскопу. На пробелы «в матрице», без которых в заколоченном наглухо физическом континууме было бы душновато.

Священный энергетизм гераклита

Представители естественно-научного лагеря часто ставят под сомнение какую-либо ценность философии, а некоторые даже говорят о необходимости ее упразднения. Для подобной точки зрения есть основания. Прежде всего – это хроническая ненадежность любой философской системы, отсутствие единой методологии и критериев, благодаря которым можно было бы назвать ту или концепцию более или менее истинной. И тем не менее множество людей снова и снова оставляют надежные данные физиков и химиков и отправляются в рискованное плавание среди таких понятий, как «бытие», «трансцендентальный», «априорный» и т. п.

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «Литрес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на Литрес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.

Примечания

1

Река в греческой мифологии, погружаясь в которую души забывали обо всем.

Вернуться

2

Об этом очень интересно рассуждает один из создателей теории большого взрыва Роджер Пенроуз.

Вернуться

3

Тут можно вспомнить аналитические суждения Канта, которые в отличии от содержательных синтетических, являются чистой тавтологией, А=А.

Вернуться