Inhalt

Title Page

Impressum

Vorab

Die Vorstellungen vom ganz Unvorhersehbaren

Aller guten Theorien sind – vier?

Das frühe Chaos

Und sie dreht sich doch ... noch

Die Entdeckung der berechenbaren Unberechenbarkeit

Die Sprache des Chaos

Die gebrochenen Mathematiker

Die gebrochenen Dimensionen

Die “göttliche Proportion”

Das ungewöhnliche Verhalten gewöhnlicher Systeme

Das seltsame Verhalten einer einfachen Gleichung

Mathematische Spielerei oder Beschreibung von Wirklichkeit?

Und dann kam KAM

Chaos ist nicht immer auch Chaos

Ein Gespenst geht um – der Wärmetod

Natur linksherum

Ein reitender Schotte

Chaos oder nicht Chaos

Die Vorstellungen vom ganz Unvorstellbaren

Naturgesetz – oder nur Bauernregel

Konstanten der Natur – oder Erfindungen?

Wie konstant sind die Konstanten?

Mathematik der Natur – oder Natur der Mathematik?

Begegnung der Dritten Art

Ist die Natur Mathematiker?

Gibt es das Jenseitige vielleicht doch?

Was, wenn es vier sind – und niemand merkt es

Der Hyperwürfel – Mythos oder Wissenschaft

Wie Einstein rechts überholt wurde

Die Vorstellungen vom Ende dieser ganzen Vorstellungen

Die unnatürliche Natur der Physik

Die Säulen des Herkules

E p i l o g oder Was ich noch sagen wollte

L i t e r a t u r n a c h w e i s

Übersicht

Vorab

Im Teil I der Weltbilder sind Zeitbilder waren Quantenphysik und Relativitätstheorien Thema meiner kurzen Geschichten, die sich dann im Teil II um die Welt der Galaxien und Quasare drehten. Das waren, obwohl von unserem irdischen Alltagsleben weit entfernt, recht konkrete Angelegenheiten. Die Abstraktheit der Denkmodelle, über die zu sprechen war, hielt sich in Grenzen, wenn man diese relativ großzügig zog. Im hier vorliegenden Teil III wird der Leser diesbezüglich etwas mehr gefordert werden. Jetzt geht es um allgemeinere Fragen. Die Beschäftigung mit solchen Themen führt, wie Sie bemerken werden, schnell auch tief in die Abgründe des Abstrakten und die Tiefen formaler Mathematik. Lassen Sie sich nicht schrecken, alles halb so unverständlich, wie es uns auf manchem ersten Blick entgegen tritt. Im Gegenteil – auch das Abstrakte kann interessant, ja spannend sein. Erkenntnis ist häufig Abenteuer und der Weg dahin fordert Ausdauer, Mut und Phantasie.

Die Vorstellungen vom ganz Unvorhersehbaren

Aller guten Theorien sind – vier?

Neben Quantenphysik, Relativität und moderner Kosmologie gibt es noch ein viertes bedeutendes physikalisches Versuchsfeld, auf dem im zu Ende gegangenen Jahrhundert die wissenschaftlichen Ansichten und Erkenntnisse das universale Geschehen zu erklären versuchten. Das ist jener Komplex, der populär als Chaostheorie bezeichnet wird.

Ich sehe schon die entsetzten Mienen der Physiker oder die bekannte Bewegung des Zeigefingers zum Kopf. Klar ist, diese meine Kategorisierung und Klassifizierung wird vor dem Obersten Gerichtshof der Physiker erbarmungslos als nicht zutreffend durchfallen und er wird mich mit abgrundtiefer Verachtung bestrafen. Die Mehrzahl der Physiker betrachtet nämlich das, was uns als Chaostheorie bekannt geworden ist, weder als eine Theorie noch als Physik. Es ist zuzugeben, dass mein Verteidigungsplädoyer physikalisch ein wenig problembehaftet ist. Tatsächlich gibt es zwischen Relativitätstheorie, Quantenphysik, Kosmologie und der Theorie vom Chaos recht prinzipielle Unterschiede.

Die drei erstgenannten Physikgebiete haben jeweils einen klar abgegrenzten Wirkungsbereich.

Die relativistische Physik beschäftigt sich mit Raum und Zeit und deren Verhältnis zu Geschwindigkeiten von Bezugssystemen und Beobachtern. Sie ist Physik auf der Basis von Mathematik. Die Quantenphysik ist die Theorie von den Zuständen, Hierarchien und Vorgängen in den subatomaren Dimensionen. Es ist Physik, wenn auch mit viel Mathematik. Die Kosmologie oder Astrophysik tummelt sich in der Welt der Sterne und Galaxien. Sie ist Physik mit ein wenig Mathematik.

Die Chaostheorie ist eigentlich hauptsächlich Mathematik. Und sie besitzt keinen klar abgegrenzten Wissens- oder Erkenntnisbereich. Sie ist manchmal Physik, tummelt sich aber ebenso in Biologie, Soziologie, Psychologie, Wirtschaftswissenschaften, Astronomie und auf vielen anderen Schauplätzen. Eine "lupenreine" Physiktheorie ist sie also nicht. Und sie kann sich auch nicht auf ein bestimmtes und konkretes Formelsystem oder auf ausgeklügelte und übersichtliche Standardmodelle berufen. Sie ist diesbezüglich unklar definiert, irgendwie nebulös, eine Sammlung von verschiedenen Prinzipien, Zusammenhängen, hierarchischen Abhängigkeiten, auch von ungewöhnlichen Begriffen und Betrachtungsweisen.

Wahrscheinlich kann man sie nicht als eine in sich geschlossene und abgeschlossene Theorie betrachten. Deshalb haben wohl all jene Wissenschaftler recht, die bewusst und demonstrativ höchstens von Chaosforschung sprechen oder darauf verweisen, dass es in der so genannten Chaostheorie eigentlich weniger um das Chaos, sondern mehr um die Erforschung der nichtlinearen Dynamik von Systemen geht.

Ich werde trotzdem nicht abschwören. Was da im Zuge der Arbeit an der Dynamik nichtlinearer Systeme zu Tage gebracht wurde, gehört zur Geschichte des Bemühens der Naturwissenschaftler, sich ein Bild vom Universum, von Materie, ihren Strukturen und Prozessen zu machen. Es ist Teil unserer aktuellen Bildes von der Welt. Auch wenn man diese Bemühungen mehr einer mathematischen Physik zuordnen möchte, gehört es zur physikalischen Seite unseres aktuellen Weltbildes. Im Übrigen: Die Relativitätstheorie resultierte aus Mathematik, die Quantenphysik ist auch nicht weit weg von Mathematik, die Stringtheorien und die Schleifen-Quanten-Gravitation sind ausschließlich Mathematik. Und soll das Buch der Natur laut Galilei nicht sowieso in der Sprache der Mathematik geschrieben sein?

Ich werde versuchen, die Hauptrichtungen und Aussagen der Chaosforschung im Folgenden darzustellen. Dabei werden hoffentlich die Wirkungsfelder und Ergebnisse, aber auch die allzu vollmundigen Versprechungen und die Grenzen dieser Forschung deutlich werden. Den Begriff Chaostheorie möchte ich in diesem Text verstanden wissen als zusammenfassenden Begriff für jene Erkenntnisse, die die Chaosforschung uns vermittelt.

Die Chaosforschung scheint ein noch recht junges Thema zu sein. Schaut man sich im Internet nach entsprechenden Veröffentlichungen um, so bemerkt man schnell, dass es in den 80er und Anfang der 90er Jahre des vergangenen Jahrhunderts von Büchern und anderen Veröffentlichungen zum Thema nur so wimmelte. Danach ebbte das deutlich ab; davor scheint es das Chaos gar nicht gegeben zu haben.

Tatsächlich schickte sich das Thema Chaos erst so richtig in den 70er und 80er Jahren des 20. Jahrhunderts an, Einfluss auf das wissenschaftliche Weltbild nehmen zu wollen. Sich in der Welt der Wissenschaft auch einen ähnlich bedeutenden Namen zu machen, wie die Weltsichten von Planck und Einstein, Heisenberg und Bohr, Friedmann und Hubble, gelang ihr bis heute nicht im Entferntesten. Die in unzähligen Gesetzmäßigkeiten und Formeln, in mathematischen Relationen und klaren Determinismen langjährig geschulten und sich schon mit relativistischen Ungereimtheiten, verborgenen Nichtlokalitäten und variablen Konstanten mühsam abplagenden Wissenschaftler befällt wohl doch einiges Unbehagen, wenn sie ihre gewohnten Denkweisen ein weiteres Mal verlassen sollen.

Dabei sollte eine gewisse Nähe von Quantenphysik und Chaostheorie Letzterer eigentlich zu mehr Aufmerksamkeit verhelfen, als ihr von den Forschungsinstitutslenkern, Lehrstuhlinhabern und Assistenzdenkern zugebilligt wird. Das wird aber wohl hauptsächlich daran liegen, dass nicht eben wenige Wissenschaftler die Chaostheorie nicht zur Wissenschaft zählen, da sie nicht der gängigen Wissenschaftskonzeption folgt. Physik – das war und ist die Rückführung der Systeme auf den ursächlichsten Zusammenhang, die Reduzierung des Komplexen auf das Einfachste und die Formulierung und Mathematisierung der direkten Beziehungen zwischen Ursache und Wirkung. Obwohl in der Quantenphysik bereits Unbestimmtheiten und Wahrscheinlichkeiten feste Plätze in den Betrachtungen und Berechnungen einnahmen, war die gefühlte Nähe der Chaosforschung zu Zufall und Nichtdeterminiertheit vielen Physikern als Wissenschaft suspekt.

Trotzdem geriet in der zweiten Hälfte des vorigen Jahrhunderts die Chaostheorie ins Gespräch. Über einige Jahre erfreute sie sich großer euphorischer Aufmerksamkeit in der naturwissenschaftlich interessierten Öffentlichkeit. Fast schien es, als würde sich da so manches Unerklärliche auf überraschende Weise doch erklären lassen. Inzwischen ist es um diese Modelle und Vorstellungen wieder ruhiger geworden. Deshalb und trotzdem will ich mich damit beschäftigen und wenigstens die Grundzüge der Theorie in diesem Text darzulegen mich bemühen.

Freilich ist der Menschheit schon seit Jahrtausenden nicht unbekannt geblieben, dass es im Universum nicht nur nach strengen Prinzipien der Ordnung zugeht, sondern auch viel Unordnung, Durcheinander, Chaos herrscht. Das Wort Chaos ist dem Griechischen entlehnt. Ganz ursprünglich bedeutet es schlichtweg Leere oder Schlund. Aber bereits früh in der Menschheitsgeschichte wurde der Begriff in einem etwas anderen, weiteren Sinne gebraucht.

Betrachtet man die alten Ursprungs-Mythologien, so haben sie ziemliche Ähnlichkeit mit dem Standard-Modell der modernen Kosmologie. Offensichtlich haben wir uns mit unserem Denken und unseren Vorstellungen sehr viel weniger weit von den Altvorderen entfernt, als wir das zugeben. Unsere ganz Alten sahen das Chaos als das Ursächliche, den Anfangszustand an, aus dem die Dinge der Ordnung hervorgebracht wurden. Bei den Ägyptern begann das Universum als ein form- und strukturloser Abgrund. Bei Anaxagoras bezeichnet der Begriff den gestalt- und formlosen Urstoff, aus dem die ursprüngliche Vernunft nous die geordnete Welt schuf. Hesiod (vermutlich um 700 v. Chr.) verkündete kategorisch: "Siehe, vor allem zuerst ward Chaos; aber nach diesem ward die gebreitete Erd’…." Das Chaos war so etwas wie die Vorstufe aller kosmischen Ordnung. Ihr entsprangen die Nacht und der Äther und der leuchtende Tag.

(Hesiod; Theogonie; Übersetzung J. H. Voß; Verlag J. C. B. Mohr; 1911; aus: Projekt Guttenberg)

Auch für den römischen Dichter Ovid (43 v. Chr.-17 n. Chr.) war zunächst das Chaos.

“Vor dem Meer und der Erd und dem alles bedeckenden Himmel gab es im ganzen Bereich der Natur ein einziges Aussehen, das man Chaos genannt, ein verworrenes rohes Gemenge, anderes nichts als träges Gewicht und zwistige Keime trübe zu einem vereint aus lose verbundenen Stoffen ...”

(Publius Ovidius Naso; Metamorphosen; Verlag Philipp Reclam jun. Leipzig ; 1986 ; S. 7)

In den “Metamorphosen” vermutete Ovid weiter, der Schöpfer habe aus dem ursprünglichen Chaos dann Form, Ordnung und Harmonie des Kosmos hervorgebracht.

Bei den alten Chinesen gingen Yin und Yang, das männliche und das weibliche Prinzip, aus dem Chaos hervor und schufen die Dinge der Welt. In den ältesten japanischen Schriftüberlieferungen waren da zunächst keine Form und keine Bewegung, nur das Chaos, das auseinanderbrach und etwas entstehen ließ. Die Maya waren zwar eher einer Entstehung ex nihilo zugeneigt, sahen sie doch als Anfangszustand ein ruhendes All ohne einen Laut, reglos und leer den weiten Raum einnehmend, was Tzakol, den Schöpfer, und Bitol, den Former, in Aktion rief , um daraus die Weltenordnung zu machen.

Die Babylonier waren überzeugt, die verschiedenen Götter würden den verschiedenen Erscheinungsformen des Chaos entsprechen und das Reich der Urmutter Tiamat sei das Chaos.

Auch die Bibel sagt, zunächst sei alles wüst und unheimlich gewesen und erst Gott habe die Dinge geordnet.

Die großen griechischen Philosophen stellten die Überlegung an, eine besondere Substanz wäre in einem chaotischen Zustand gewesen und Schritt für Schritt hätten sich daraus die Dinge des Universums herauskristallisiert. Aristoteles schließlich war der Auffassung, die Strukturen der Ordnung würden mit immer komplexeren Formen das ursprüngliche Chaos vollständig überwinden.

Auch das Mittelalter wurde von den Vorstellungen des Chaos nicht verschont, spielte es doch in verschiedenen Glaubensrichtungen eine Rolle. Die Alchimisten gar hoben das Chaos auf eine qualitativ noch höhere Ebene. Ihnen war das Unbeständige und Unberechenbare von besonderer Faszination, sahen sie es doch als Leben schaffend und erneuernd an.

Schau an, die heute gründlich verpönten ‚Goldmacher’ hatten da eine erstaunliche Nähe zur modernen Chaosforschung, die den Systemen fern vom Gleichgewicht eine besonders schöpferische Rolle zubilligt. Dazu erst später mehr.

Aber dann kamen schon wieder diese ‚Buchhalter’ Galilei, Kepler, Descartes und vor allem Newton. Die Wissenschaft hielt Einzug in die Vorstellungen der Menschen. Die Dinge der Welt waren jetzt mathematisch genau und nach einfachen mechanischen Prinzipien funktionierend. Sie waren so oder so geordnet, es kam nur darauf an, die Prinzipien der Ordnung herauszufinden und richtig anzuwenden. Das Universum war Ordnung und Gesetz, Harmonie und Struktur, es war ‚preußisch’, was sonst. Es war eine große Maschine, ein – wie sich das der englische Chemiker Boyle im 17. Jahrhundert vorstellte – perfekt konstruiertes Uhrwerk, vom Schöpfer in der ersten Stunde der Schöpfung in Gang gesetzt und seit dem unermüdlich nach den ihm vorgeordneten und beigegebenen Gesetzen funktionierend.

In dieser wissenschaftlichen Welt war kein Platz mehr für Unordnung. Wenn sie sich in den Beobachtungen als Tatsache doch nicht ganz vermeiden ließ, dann erschien sie als unterlegener Feind der Ordnung, früher oder später doch besiegt von der Allmacht der faktischen und moralischen Überlegenheit der ordnenden Prinzipien. Wenn es ganz schlimm kam, machte die Wissenschaft die Unordnung zu einem Ausdruck eines so hohen Grades an komplexer Wechselwirkung, dass die dem zugrunde liegenden Ordnungsprinzipien erst später entdeckt werden würden.

Ein bedeutender Vertreter dieser mechanistischen Weltsicht war der französische Philosoph, Astronom, Physiker und Mathematiker Pierre Simon Marquis de Laplace (1749-1827), der übrigens die für seine Zeit erstaunliche Voraussage der Existenz dunkler Sterne, heute als Schwarze Löcher bezeichnet, machte. Was bemerkenswert ist, da in der heute herrschenden Einstein-Euphorie auch das diesem zugeschrieben wird. Aber das ist ein ganz anderes Thema. In seinem 1814 in Paris veröffentlichten Essai philosopique sur les probabilités beschwor Laplace eine allwissende Intelligenz, die man später als Laplaceschen Dämon taufte, indem er schrieb:

"Der momentane Zustand des ‚Systems’ Natur ist offensichtlich eine Folge dessen, was im vorherigen Moment war, und wenn wir uns eine Intelligenz vorstellen, die zu einem gegebenen Zeitpunkt alle Beziehungen zwischen den Teilen des Universums verarbeiten kann, so könnte sie Orte, Bewegungen und allgemeine Beziehungen zwischen all diesen Teilen für alle Zeitpunkte in Vergangenheit und Zukunft vorhersagen."

(Pierre Simon Marquis de Laplace; zitiert in Wolfgang Neundorf; Wie zufällig ist der Zufall?; Internetdokument; 2001)

Aber auch der Marquis war sich der Tatsache bewusst, dass das so einfach nicht ist.

"Die Einfachheit der Gesetze, nach denen sich die Himmelskörper bewegen, und die Beziehungen zwischen den Massen und Abständen erlauben der Analysis, ihren Bewegungen bis zu einem gewissen Punkt zu folgen; und um nun den Zustand dieses Systems großer Massen für zukünftige oder vergangene Jahrhunderte zu bestimmen, genügt es dem Mathematiker, dass ihre Orte und Geschwindigkeiten zu einem Zeitpunkt gegeben sind: Die Menschheit verdankt diese Möglichkeit den leistungsfähigen Instrumenten, die sie benutzt, und den wenigen Beziehungen, die man zu Berechnung braucht. Aber unser Unwissen um die verschiedenen Ursachen, die beim Werden eines Ereignisses zusammenwirken sowie ihre Komplexität zusammen mit der Unvollkommenheit der Analyse verhindern, dass wir die gleiche Sicherheit bei den meisten anderen Problemen haben. Es gibt also Dinge, die unbestimmt sind, die mehr oder weniger wahrscheinlich sind, und wir versuchen die Unmöglichkeit, sie zu bestimmen, dadurch zu kompensieren, dass wir die verschiedenen Grade der Wahrscheinlichkeit bestimmen. Es ist also so, dass wir einer Schwäche des menschlichen Geistes einer der schönsten und genialsten mathematischen Theorien verdanken, die Wissenschaft von Zufall und Wahrscheinlichkeit.” (a. a. O.)

Für Laplace waren Zufall und Wahrscheinlichkeiten also dem menschlichen Unwissen und der Unvollkommenheit der Analysen geschuldet, Ausdruck einer Schwäche des menschlichen Geistes. Würde die allwissende Intelligenz zu einem bestimmten Zeitpunkt alle Zustände und Beziehungen der Teile des Universums genau kennen, wäre sie in der Lage alle zukünftigen Entwicklungen vorauszusagen, wie auch rückwirkend für jeden beliebigen Zeitpunkt der Vergangenheit alle Zustände zu bestimmen. Zufall und Chaos hätten in der Welt dieser Intelligenz keine Existenzgrundlage. Dass Laplace als Erfinder des Determinismus gilt und sein ‚Dämon’ in allen Büchern über diese Fragen zitiert und auch kritisiert wird, ist nicht so ganz berechtigt. Leibniz hatte sich schon vor ihm in ganz ähnlicher Weise geäußert.

Wenn aber Unbestimmtheit und Zufall nur der Unvollkommenheit unseres Wissens zuzurechnen sind, dann musste so etwas wie Chaos für perfekte und totale Unordnung, für Abwesenheit von Struktur, Ordnung und Harmonie, für Wirrwarr, Durcheinander und Beliebigkeit stehen. So war es über Jahrhunderte. Daher galt zunächst und für lange Zeit, dass das Chaos nicht Gegenstand wissenschaftlichen Forschens sein konnte. Wissenschaft, das war bzw. ist die Erforschung der Strukturen und der Regeln, die für Harmonie und Ordnung verantwortlich sind. Chaos entsteht durch das Eintreten eines Ereignisses ohne zwingenden deterministischen Zusammenhang. Solche Ereignisse folgen nicht irgendwelchen strengen Naturgesetzen. Wissenschaft aber erforschte die Gesetze und nicht die ursachenlosen Zufälle. Dass das zufallsdominierte Chaos deshalb kein Feld wissenschaftlichen Forschens sein kann, war lange Zeit allgemeiner Konsens.

Gegenstand wissenschaftlichen Forschens ist nun mal der Determinismus. Der meint den objektiven Zusammenhang und die wechselseitige Bedingtheit aller Objekte und Prozesse in der Natur. Dieser Zusammenhang wird durch Gesetze und Wechselwirkungen bestimmt. Eine wesentliche Säule des Determinismus ist das von Immanuel Kant ausgesprochene Kausalitätsprinzip. Kant vertrat die Auffassung, jedem Ereignis müsse ein anderes Ereignis vorausgegangen sein. Auf ein bestimmtes Ereignis folge mit Notwendigkeit ein bestimmtes anderes Ereignis. Das kann auch als Ursache-Wirkung-Folge angesehen werden. Diese kausale Aufeinanderfolge von Ursache und Wirkung ist weder inhaltlich noch zeitlich umkehrbar. Jede Ursache geht ihrer Wirkung in der Zeit voraus, keine Wirkung kann vor ihrer Ursache eintreten. Daraus folgt, dass alle Ursache-Wirkung-Folgen berechenbar sind, wenn man die Gesetze kennt, nach denen sie sich vollziehen.

Kants Kausalitätsprinzip ist so logisch, leichtverständlich und überzeugend, dass es nicht weiter verwundert, wenn es zu einer der wesentlichsten Grundlagen der klassischen Physik und der darauf basierenden Naturwissenschaft wurde. Alle Naturgesetze der klassischen Wissenschaften folgen deshalb der Überzeugung, dass jede Wiederholung eines bestimmten Vorgangs unter gleichen Bedingungen auch zu dem gleichen Ergebnis führt, wie alle vorangegangenen Vorgänge. Ein Naturgesetz ist gerade deshalb ein solches, weil es diese Kausalität garantiert.

Natürlich wissen die Naturwissenschaftler, dass man bei Wiederholungen von Vorgängen niemals exakt gleiche Bedingungen vorfinden oder wiederherstellen kann. Aber Kausalität und Gesetz bewirken auch, dass ähnliche Ursachen zu ähnlichen Wirkungen führen. Dem Kausalitätsprinzip und dem Determinismus ist mit diesem Ähnlichkeits-Prinzip vollständig Genüge getan.

Wie bereits dargestellt, erschütterte die Quantenphysik später die Kantsche Kausalität und den klassischen Determinismus. Aber sie stellte diese zunächst nur in Frage. Noch hielt man bestimmte Aussagen der Quantenphysik für Merkwürdigkeiten, die eher Zweifel an der Richtigkeit der Quantenphysik nährten, denn solche an Kausalität und Determinismus. Auch konnte es leicht sein, dass unter den Umständen der subatomaren Dimensionen Besonderheiten wirksam waren, die wie Verletzungen der Kausalität und des Determinismus aussahen, ohne solche tatsächlich zu sein. Möglich eben, dass die Kausalität unter den besonderen Bedingungen atomarer Größenordnungen und Kräfte nicht in gleichem Maße gültig ist, wie in der gesamten übrigen Welt, redeten sich die Physiker Mut zu.

Mit zunehmendem Vordringen in die Natur der Natur, blieb es jedoch nicht aus, dass sich die Denker nicht nur mit dem Determinismus beschäftigen konnten, sondern sich auch dem Chaos stellen mussten.

Es war ja nicht zu übersehen, dass es da auch Erscheinungen gab, die keinen strengen Regeln folgten. In jedem kleinen Bach konnte man Wirbel und Turbulenzen beobachten, die sich schnell verändern konnten. Überhaupt waren Strömungen von Flüssigkeiten offensichtlich sehr wandelbare, von verschiedenen Einflüssen beeinflussbare Erscheinungen. In klar deterministischen, den Gesetzen der Mechanik unterliegenden Maschinen konnten unvermittelt Vibrationen auftreten, sich verstärken oder abschwächen, ohne dass das berechenbar schien. Wirtschaftsentwicklungen und Aktienkurse, Gesellschaftliche Zustände und soziale Beziehungen, Verhalten eines einzelnen Menschen wie einer Menschenansammlung konnten zu jähen Veränderungen neigen. Mit dem zunehmenden Autoverkehr wurde das Auftreten von Stausituationen immer aktueller. Ein Stau konnte sich plötzlich ohne erkennbaren Grund entwickeln und sich ebenso mysteriös wieder auflösen. Wolken und Luftströmungen gebärdeten sich regelmäßig chaotisch. Als die Flugmaschinen immer größer und der Flugverkehr immer dichter wurde, tauchte das gefährliche Phänomen der Wirbelschleppen auf. Startende Flugzeuge verwirbelten hinter sich die Luft so stark und unberechenbar, dass das schon mehrfach anderen Flugzeugen und ihren Insassen zum Verhängnis wurde. Das Wetter schien sowieso zu machen, was es wollte.

Kleine Unregelmäßigkeiten im Ablauf eines dynamischen Systems konnte sich schnell aufschaukeln und sehr plötzlich so stark werden, dass das Sytem nicht mehr beherrschbar war oder gänzlich zerstört wurde.

Natürlich waren auch die Naturwissenschaftler auf diese Dinge aufmerksam geworden. Zwar fühlten Physiker oder Ingenieure, wenn sie auf Turbulenzen und Vibrationen stießen, vor allem tiefes Unbehagen, häufig auch schon Verzweiflung. Aber das chaotische Verhalten komplexer Systeme wurde immer dringender zu einer Problemstellung. Wenn auch das ursachen- und strukturlose Chaos als Gegenstand wissenschaftlichen Forschens nicht geeignet schien, der Übergang von Chaos in Ordnung, noch mehr das Umgekehrte, konnten und mussten es sein. Warum sollte man nicht herausfinden können, warum ein geordnetes, deterministisches System plötzlich unberechenbares Verhalten zeigt. Es war doch wichtig zu wissen, wann und warum ein solches System ins Chaos abgleitet. Auch war eine Antwort auf die Frage interessant, welcher Zusammenhang zwischen Chaos und Ordnung besteht und ob es einen solchen Zusammenhang in dem Sinne geben könnte, dass chaotisches Verhalten auch Züge von Ordnung enthalten kann.

Die Wissenschaftler näherten sich den Problemstellungen auf zwei Wegen. Aus der einen Richtung kamen die Mathematiker, die auf ungewöhnliche mathematische Beziehungen und auf auffällig-merkwürdiges Verhalten von Gleichungen stießen. Daran konnte die mathematikgläubige Physik nicht einfach vorbeigehen, sondern musste sich dem stellen und darüber nachdenken, was die unberechenbare Mathematik für die Physik des Universums bedeuten könnte.

Aus der anderen Richtung kamen die beobachtenden und denkenden Physiker daher und bemerkten, dass komplexen und dynamischen Systemen mit den einfachen deterministischen Zusammenhängen und kausalen Ketten nicht unbedingt beizukommen war, da sich selbst solche Systeme zeitabhängig unvorhersagbar verhalten konnten.

Und so entwickelte sich alsbald ein neues Feld wissenschaftlichen Tuns. Das widmete sich der Erforschung des Verhaltens dynamischer Systeme. Dabei ging und geht es weniger um das "verworrene, rohe Gemenge lose verbundener Stoffe", sondern mehr um das ungeordnete Verhalten deterministischer Systeme, um nichtlineare Dynamik, um die Ordnung im Chaos. Und dabei erlebten sie, die Mathematiker und die Physiker, viel Unvorhergesehenes. Aber der Reihe nach, wenn auch nicht ganz chronologisch.

Das frühe Chaos

Die Chaosforschung scheint in einer oberflächlichen Betrachtung ein sehr junges Betätigungsfeld der Wissenschaft zu sein. Ziemlich plötzlich scheint sie in den 70er Jahren des vergangenen Jahrhunderts aufgetaucht zu sein. Das ist ein Eindruck, der erklärbar, aber nicht so ganz zutreffend ist. Das Chaos als Gegenstand wissenschaftlicher Untersuchungen machte tatsächlich erst gegen Ende des vorigen Jahrhunderts so richtig auf sich aufmerksam, als es mit Hilfe bunter Computergrafiken in ziemlicher Breitseite die Öffentlichkeit erreichte. Aber einzelne Forscher waren schon viel früher auf das chaotische Verhalten dynamischer Systeme aufmerksam geworden und wollten genauer wissen,was es damit auf sich hat.

Bestimmt war er nicht der Erste, der dem Chaos ins Auge blickte, aber er war der Erste, der chaotische Strukturen sichtbar machte und für die Nachwelt fixieren konnte: Georg Christoph Lichtenberg (1742-1799). Den ‚Literaten’ unter uns ist er bestimmt mehr als viel zitierter Sammler kluger Aphorismen bekannt, aber er war vor allem Mathematiker und Physiker, und angesehener Professor in Göttingen. Lichtenberg unterichtete an der Göttinger Universität neue Physik und er interessierte sich deshalb natürlich auch für die Fortschritte, die im Verständnis der Elektrizität erzielt wurden. Und da gab es gerade zu jenen Zeiten deutliche Fortschritte.

1746 war die Leidener Flasche zur Speicherung elektrischer Ladungen erfunden worden (Pieter van Musschenbroek).

Benjamin Franklin (1706-1790) prägte 1747 den Begriff der elektrischen Ladung, unterschied positive und negative Ladungen und beschrieb ihre Eigenschaften.

Henry Cavendish (1731-1810) entwickelte 1771 eine Theorie der Elektrostatik.

Und schließlich machte (1762 durch Johann Karl Wilcke; 1771 durch Alessandro Volta) ein leicht zu bauendes Gerät auf sich aufmerksam, das Elettroforo perpetuo – also ein beständiger Elektrizitätsträger, auch als Elektrophor bezeichnet. Die Elektrizität wurde erzeugt, indem die Oberfläche eines Harzkuchens mit einem Katzenfell gerieben wurde. Mit einem isoliert darüber aufgehängten Metallteller konnte man die Ladung abnehmen und damit experimentieren.

Der Göttinger Professor beschloss, für Demonstrationszwecke in seinen Vorlesungen sich selbst einen Elektophor zu bauen. Die üblichen Geräte, etwa einen halben bis maximal einen Meter Durchmesser, waren ihm zu klein. Deshalb leistete er sich 51 Pfund Harz und bastelte einen Elektrophor mit 1,80 Meter Durchmesser. Das war im April 1777.

Monate später berichtetet Lichtenberg in einem Vortrag über diese Arbeit und was dann geschah. Die Fertigung der Harzunterlage ging damit einher, dass sich Harzstaub bildete und sich überall im Zimmer an den Wänden und auf den Büchern absetzte. Besonders ärgerlich war es Lichtenberg zunächst, dass der kleinste Luftzug den Harzstaub in Bewegung setzte und herumwirbelte. So ließ es sich nicht vermeiden, dass er auch auf der Metallplatte des Elektrophor landete. Mit Verblüffung bemerkte Lichtenberg, dass sich da im Harzstaub zunächst nur zart sichtbare Muster abzeichneten. Nunmehr streute er mit der wachen Neugier des Suchenden bewusst Harzstaub auf die Platte des Elektrophor und geriet über das, was er da sah, förmlich ins Schwärmen.

“Herrliche kleine Ästchen entstanden, denen ähnlich, die der Frost an den Fensterscheiben hervorbringt; kleine Wolken in den mannigfaltigen Formen und Graden der Schattierung und endlich mancherlei Figuren von besonderer Gestalt zu sehen.” (Georg Christoph Lichtenberg; Aus: Novi Commentarii Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis)

In seinem Vortrag vor der Königlichen Sozietät der Wissenschaften zu Göttingen sprach Lichtenberg von Sternen, Milchstraßen und Sonnen, von Bogen mit Strahlen, Wolken in mannigfaltiger Gestalt, die da von der Elektrizität erzeugt worden waren.

(Quelle: Ulrich Joost; Georg Christoph Lichtenberg; Spektrum der Wissenschaft 7 / 2000)

Lichtenberg war es offensichtlich gelungen, Elektrizität, genauer elektrostatische Felder sichtbar zu machen. Die Quelle der Muster war das elektrostatische Feld, sie unterlagen also einem Determinismus. Aber es gab für sie keine linearen Beziehungen. Sie schienen recht spontan zu entstehen und sich zu wandeln.

Diese Figuren waren ganz offensichtlich gleichen Charakters, wie jene, die heute in der Chaostheorie eine so maßgebliche Rolle spielen, dass man sie mit einem speziellen Begriff, dem Fraktal, bezeichnet. In die Geschichte der Wissenschaft sind die Muster als Lichtenberg-Figuren eingegangen.

Obwohl Lichtenberg noch weit von einer Theorie des Chaos entfernt war, interpretierte er die Muster sehr scharfsinnig und sah darin bereits wesentliche Merkmale chaotischer Strukturen. So blieb ihm die Selbstähnlichkeit der Strukturen nicht verborgen, auch wenn er sie etwas anders bezeichnete (“... Alles ist in sich gleich...”). Lichtenberg sah sogar das voraus, was man heute als ‚Schmetterlings- Effekt’ bezeichnet – die Unmöglichkeit, Wetterentwicklungen absolut voraussagen zu können. Ihm war beim Umgang mit den merkwürdigen Figuren nicht entgangen, dass schon winzigste Veränderungen zu völlig anderen Strukturen führten. Daraus zog er die überaus weitsichtige Schlussfolgerung, die Wetterpropheten könnten ganz objektiv nur einen schlechten Stand haben.

Abb.: III/01 Lichtenberger Figuren; Eines der Bilder, die Lichtenberg in der öffentlichen Sitzung der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften am 21. Februar 1778 vorgelegt hat (Aus: Novi Commentarii Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis, tomus VIII, ad annum 1777)

Übrigens fand es Lichtenberg viel zu mühsam, die Figuren, die er auf der Platte des Elektrophors erzeugen konnte, nachzuzeichnen, um sie dem Augenblick zu entreißen und sie für andere Beobachter oder spätere Betrachtungen ‚einzufrieren’. Er erfand deshalb eine spezielle Methode, die Muster auf Papier zu fixieren und so eine zeitlang zu erhalten. Spätere Trockenkopiergeräte arbeiteten mit einem ähnlichen Verfahren (Xerographie).

Nicht dass Lichtenberg das erfunden hat, das leistete erst 1944 Chester F. Carlson, aber eine gewisse Vorarbeit für das Verfahren hatte er schon geleistet.

Chaos muss also keineswegs als etwas Destruktives verachtet werden. Aber das nur nebenbei.

Einem anderen wissbegierigen Beobachter gab zu denken, was jeder von uns bemerken kann, wenn er das Verhalten des Wassers in einem strömenden Gewässer beobachtet. Das Wasser kann ein Hinderniss, etwa einen Stein, ganz elegant und glatt umfließen; es können sich aber hinter dem Stein Turbulenzen bilden, Wirbel, die mal recht stabil sind, aber dann auch hektisch Form und Größe verändern können.

Der englische Physiker Osborne Reynolds (1842-1912) wollte das genauer wissen. Er untersuchte, wann und wie durch Rohre strömende Flüssigkeiten in Turbulenzen geraten. Es gelang ihm, eine bestimmte kritische Schwelle zu ermitteln, ab der in Abhängigkeit von der Fließgeschwindigkeit eine an sich ruhige und gleichmäßige Strömung in chaotische Turbulenzen umschlägt. Auf mathematischen Weg ermittelte er die so genannte Reynold-Zahl, die man zur Berechnung der kritischen Schwelle benutzen kann.

Der französische Physiker Henri Claude Bénard (1874-1939) entdeckte die nach ihm benannte Bénard-Instabilität, die ein Kennzeichen von Konvektionsströmen ist. Konvektion ist der Transport von Energie in Strömungen. Wenn Wasser in einem Topfe erwärmt wird, gleichen sich die Temperaturunterschiede aus, indem das heiße Wasser nach oben strömt. Ähnliches vollzieht sich mit der Luft über erwärmten Bodenstrukturen; überhaupt beim Ausgleich von Temperatur und Druckunterschieden. Solche Konvektionsströme können lange sehr gleichmäßig fließen. Ab einer bestimmten Stärke aber entwickeln sie in Turbulenzen chaotisches Verhalten.

1948 beschrieb der deutsche Mathematiker Eberhard Hopf (1902-1983) die Fließübergänge von Strömungen in Turbulenzen als eine Folge von Systemübergängen.

(Quelle: Dr. Stefan Frerichs; Grundlagen der Chaostheorie. Eine allgemein verständliche Einführung für Laien)

Der russische Mathematiker Alexander M. Ljapunow (1857-1918) beschäftigte sich mit der Anfälligkeit von Systemen für kleine Störungen. Es gelang ihm durch Vergleiche der Größe der Störungen und bei Berücksichtigung verschiedener Zeitintervalle eine Größe zu ermitteln, die beschreibt, wie stark sich eine kleine Störung eines Systems entwickeln wird. Dafür benötigt man lediglich eine einzige Zahl, den Ljapunow-Faktor. Ist der kleiner 1, wird die Störung gedämpft und das System ist stabil; ist er größer 1, wird die Störung anwachsen und das Sytem ist instabil.

(Quelle: William L. Ditto / Louis M. Pecora; Das Chaos meistern; Spektrum der issenschaft 11 / 1993)

Ich habe diese Beispiele anführen wollen, um zu zeigen, dass die Chaosforschung nicht erst in den 70er Jahren des 20. Jahrhunderts als eine Art computergestützte Pop-Mode auftauchte. Die gelegentlich zu lesende Einschätzung, das Chaos könne gar nicht Gegenstand wissenschaftlicher Untersuchungen sein, da ihm ja deterministische Beziehungen und Regelmäßigkeiten fehlen, kann man schon angesichts der wenigen Beispiele zu den Akten legen.

Auf noch andere Personen und Geschichten aus der Entwicklung der Chaosforschung werde ich weiter unten noch ausführlicher eingehen.

Nein, dass Ordnung und Chaos eng miteinander verbandelt sind, war schon recht früh in das Blickfeld der Menschen geraten. Noch aber fiel der Umgang mit chaotischen Systemen schwer, denn der Vorhersagbarkeit ihres Verhaltens und der Berechenbarkeit waren offensichtlich Grenzen gesetzt. Aber die systematische Erforschung hatte gegen Ende des 19., mehr noch mit Beginn des 20. Jahrhunderts eingesetzt, auch wenn es nur einzelne Wissenschaftler waren, die sich dem Thema widmeten. Mitunter war es auf den ersten Blick auch gar nicht erkennbar, dass das, was da vor allem Mathematiker trieben, bereits Chaosforschung war.

Und sie dreht sich doch ... noch

Es gibt Dinge im Universum, die scheinen uns der Inbegriff von Stabilität und Ordnung, von Unveränderlich- und Dauerhaftigkeit zu sein. Seit ewigen Zeiten schon scheinen sich die Erde und die anderen Planeten unseres heimatlichen Planetensystems in immer gleicher Weise um die Sonne zu bewegen. Zwar sind die rund 4,5 Milliarden Jahre der Existenz des Sonnensystems keine Ewigkeit, aber immerhin so unvorstellbar lang, dass uns der Kreislauf der Planeten als recht langweilige, aber unveränderliche Gleichförmigkeit vorkommt.

Da ist die Sonne und da sind sie, die Planeten Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun; Pluto wurde inzwischen zu einem Kleinplanten degradiert. Kepler beschrieb, wie die Planeten sich um die Sonne bewegen, indem er die drei mathematischen Gesetze formulierte, nach denen man die Bahnverläufe der Planeten berechnen kann. Newton schuf das berühmte Gravitationsgesetz, das Aussagen macht über die Kräfte, die z.B. zwischen Sonne und Planeten ihre Herrschaft ausüben und die uns die Bahnen der Planeten verständlich machen:

F = G * m1 * m2 / r2

Übersetzt man die Formel in Worte, so lautet das Gesetz: Zwei Körper ziehen sich mit einer Kraft an, die dem Produkt ihren Massen proportional und dem Quadrat ihrer Entfernung umgekehrt proportional ist. Der Buchstabe G steht für die viel gerühmte Gravitationskonstante, die als eine von nichts abhängige Naturkonstante angesehen wird.

Die Newtonsche Gravitations-Formel war von außerordentlicher Bedeutung. Sie drückte die Existenz einer Erscheinung der Natur aus, ohne die nicht nur das Planetensystem nicht denkbar wäre, sondern von dem auch die Existenz der Sonne und jedes einzelnen Planeten, überhaupt aller kosmischen Objekte einschließlich ihrer Bewegungen abhängig ist. Das Gravitationsgesetz gilt als eines der fundamentalsten Naturgesetze überhaupt, ohne das Wirken jener Kraft, die Gegenstand des Gesetzes ist, gäbe es das ganze Universum nicht, keinen Stern, keine Galaxie, keine Planeten – nichts.

Keplers Gesetze und Newtons Gravitation – klare mathematische Aussagen. So einfach ist das. Und so hat alles seine Gesetzmäßigkeit und Ordnung mit den trägen Gesellen, die da als Planeten durch den Raum gleiten und sich faul von der Sonne bescheinen lassen. Seit den Tagen, da die Formeln im wesentlichen und recht genau jene Ergebnisse liefern, die auch in der Beobachtung des Laufs der Planeten zu Tage gefördert wurden, scheint die Bewegung der Planeten um die Sonne kein Geheimnis mehr zu sein.

Ganz so ist es aber nicht. Auch das Bewegungssystem der Planeten ist keineswegs so vollständig erklärt, dass man nicht Fragen stellen könnte und müsste. (Siehe dazu Weltbilder sind Zeitbilder; Teil II)

Newton hatte sozusagen in einem Handstreich das komplette Sonnensystem mit seinen 8 Planeten, zahlreichen Monden, noch zahlreicheren Asteroiden, Planetoiden, Kometen und sonstigen Objekten auf ganze zwei Körper reduziert. Tatsächlich bezieht sich das berühmte und so grundsätzliche Newtonsche Gravitationsgesetz ausschließlich auf ein Zweikörpersystem. Es gilt also z.B. für das System Erde – Mond, oder Erde – Sonne, aber das nur, wenn dritte kosmische Körper so extrem weit weg oder so geringer Masse wären, dass sie kaum merkliche gravitative Einflüsse ausüben würden. Zudem dürfen die zu betrachtenden Träger der Massen keine allzu große räumliche Ausdehnung haben und müssen kugelsymmetrisch sein.

Bezogen auf unser Sonnensystem wissen wir doch aber, dass es acht Planeten gibt, dazu mehr als 30 Monde der einzelnen Planeten, zahlreiche Asteroiden oder Planetoiden verschiedener Größe und ganz erheblicher Anzahl und schließlich auch die flüchtigen Kollegen Kometen, die von Zeit zu Zeit ihre Spur durch das Sonnensystem ziehen und für mehr oder weniger Aufregung sorgen. Das System unserer Sonne ist also ziemlich bevölkert.

Alle diese Körper üben Schwerkraft aus. Die Gravitation zerrt ohne Unterlass an jedem dieser Objekte mehr oder weniger stark herum. Von Zwei-Körper-Systemen ist weit und breit nichts zu sehen. Wenn wir z.B. die Erde betrachten, so ist klar, auf sie übt nicht nur die Sonne Gravitation aus, sondern auch der Mond, Mars, Venus und auch die ferneren kosmischen Körper. Eine Reduzierung der Vorgänge auf die Kräfte zwischen nur zwei Körpern ist eigentlich eine Vereinfachung, die an der Realität sehr weit vorbei zielt. Sobald ein dritter Körper in gravitationsrelevanter Entfernung und Masse hinzukommt, ist die Newtonsche Gleichung jedoch nur noch bedingt tauglich. Man muss dann Näherungslösungen suchen. In mühseligen und aufwendigen Rechenoperationen müssen die verschiedenen Gravitationseinflüsse aufaddiert werden. Potentiell muss man sogar eine unendliche Anzahl von immer kleiner werdenden Korrekturen addieren.

Besonders die Bahnen der beiden größten Planeten Jupiter und Saturn sind problematisch. Während der Jupiter fünfmal die Sonne umläuft, macht der Saturn derer zwei. Das führt dazu, dass sich die beiden Riesen in periodischen Zeitabständen in gleicher Position zueinander und in einer Linie zur Sonne befinden. Da könnte es leicht geschehen, dass sich die durch die gegenseitige Anziehung verursachten Bahnstörungen aufschaukeln und in der Folge größere Bahnveränderungen eintreten. Es gab Physiker, die voraussagten, eines nicht allzu fernen Tages würde es den Saturn aus dem Sonnensystem schleudern Und es könne auch möglich sein, dass dabei noch der eine oder andere Planet ebenfalls aus dem System hinauskatapultiert werden würde? Und was, wenn es die Erde treffen würde?

Laplace, aber auch Joseph Louis Lagrange (1736-1813) und Siméon Denis Poisson (1781-1840) bemühten sich um den Nachweis, dass solche Befürchtungen unbegründet seien. Das aber gelang nicht.

1885 lobte der Schwedische König kurzerhand eine Preis für denjenigen aus, der den Beweis erbringen konnte, dass auch in einem n-Körper-System die Bahnen der Körper stabil sind.

Henri Poincaré (1854-1912) machte sich an die zeitraubenden Berechnungen, die er zu seiner Zeit ohne Computer und Taschenrechner bewältigen musste. Zunächst sah er beruhigt, bei der Berücksichtigung eines dritten Körpers (z.B. eines weiteren Planeten zum System Erde – Sonne) würde sich nicht unbedingt viel an den Bahnen der Körper ändern. Aber dann entdeckte er nicht ohne Entsetzen, dass es Konstellationen gibt, bei denen nach einer langen Periode der Stabilität einer der Körper ins Torkeln gerät und auch plötzlich aus dem System hinauskatapultiert werden kann. Schon die kleinste Störung durch einen dritten Körper konnte das System sprengen und zu seltsam-chaotischen Bahnen führen.

Poincarés Berechnungen zeigten ein potentiell instabiles Planetensystem. Nach Poincaré gab es in einem Mehrkörper-System keine einzige dauerhaft stabile Bahn. Das war beunruhigend. Glücklicherweise war die Wissenschaft zu jenen Zeiten mit anderen aufregenden Dingen befasst, so dass Poincarés bedrückende Erkenntnis zwar von einigen Physikern und Mathematikern bestritten, aber ansonsten nicht sonderlich beachtet wurde. Poincaré selbst soll geäußert haben, die Dinge seien so bizarr, dass er es nicht ertrage, weiter darüber nachzudenken. Den Preis bekam Poincaré trotzdem. Das war zwar inkonsequent, aber es sei ihm angesichts der mühsamen und zeitraubenden Berechnungen gegönnt.

Was aber war hier geschehen? Poincaré war bei der Beantwortung der Preisfrage in die nichtlineare Mathematik geraten und damit mitten hinein in das Reich des Chaos. Ich wollte das mal selbst sehen und habe mir den Spaß gegönnt, in einem kleinen Basic-Programm in stark vereinfachter Form die Bahn eines fiktiven Planeten um ein Zentrum zu simulieren. Die dabei verwendeten Formeln zur Berechnung der jeweiligen Position des ‚Planeten’ in der Fläche sind an jene Formeln angelehnt, die sich aus Newtons Gravitationsgesetz ergeben.

Abb.: III/01 zeigt, dass der ‚Planet’ sich zunächst in vielen Umläufen auf einer elliptischen Bahn gleichmäßig um das Zentrum bewegt. Das repräsentiert die kreisförmige dunkle Struktur in der Mitte, deren Kreisförmigkeit sich nicht aus der Umlaufbahn des ‘Planeten’, sondern aus der Drehung der elliptischen Bahn in der Fläche (Präzession) ergibt. Nach einer langen Phase der Stabilität wird der ‚Planet’ plötzlich weiter in den Raum hinausgeschleudert, die Bahnbewegungen sind nicht mehr gleichförmig, der ‚Planet’ gerät ins ‚Taumeln’. Letztlich verlässt er das System möglicherweise endgültig, wenigstens aber für lange Zeit (Pfeil).

Abb.: III/02 Mit einem einfachen Basic-Programm kann das Verhalten eines sich um ein gravitatives Zentrum drehenden Objektes simuliert werden. Der Pfeil verweist auf eine Bahn, auf der das Objekt das System möglicherweise endgültig, bestimmt aber für lange Zeit verlässt.

Zu betonen ist: Die hier dargestellten Effekte sind nicht das Ergebniss der speziellen Programmierung, sondern das von Mathematik und ihrer Handhabung. Ein Ausgangswert wird benutzt, um mit Hilfe einer mathematischen Prozedur ein Ergebnis zu ermitteln. Das wird benutzt, um a. auf dem Bildschirm einen graphische Punkt zu zeichnen und b. einen neuen Ausgangswert für die Prozedur zu haben. Das wird beliebig fortgesetzt; bei meiner Simulation 50.000 mal. Das heißt, im zeitlichen Verlauf der Simulation resultieren die Punktreihen/Bahnverläufe ausschließlich aus den Werteveränderungen durch Iteration und Rekursion (werde ich gleich noch erläutern) und nicht etwa daraus, dass das Programm so angelegt war, diese Veränderung der Bahnverläufe zu produzieren.

Bei der Simulation kann man übrigens auch eindrucksvoll beobachten, wie sehr das Verhalten des ‚Planeten’ von den gewählten Ausgangsbedingungen abhängt. Bei meinen Versuchen gab es Werte-Konstellationen, mit denen er sich stabil auf deutlich gleichförmigen Bahnen bewegte (jedenfalls bis 50.000 Berechnungen realisiert waren); bei anderen Konstellationen schaffte er nur wenige geschlossene Umläufe.

Bezogen auf das Planetensystem könnte daraus die Schlussfolgerung gezogen werden, die Bahnen der realen Planeten wären gerade deshalb stabil, weil ihnen die dafür notwendigen Ausgangsbedingungen mit auf den Weg gegeben wurden. Wäre es nicht so gewesen, hätten sich die Planeten nicht bilden, jedenfalls nicht lange existieren können.

Diese Folgerung ist nicht von der Hand zu weisen. Aber da ist auch eine Tücke. In unserem realen Planetensystem variieren die im Text aufgeführten Faktoren, das Wirken aller beteiligten, Gravitation ausübenden Körper ständig die ‚Ausgangsbedingungen’ jedes einzelnen Planeten. Und ein irgendwann auftauchender Komet oder ein seine Bahn verändernder großer Asteroid würde für Planeten ebenfalls eine veränderte Ausgangsbedingung darstellen.

Eben deshalb ist es erstaunlich, dass wir in der Realität stabile Bahnen beobachten und genießen können. Vielleicht aber sind die Bahnen gar nicht so stabil, wie wir es annehmen. Klimaforscher wollen beispielsweise festgestellt haben, eine kleine Verschiebung der Erdumlaufbahn habe vor 240.000 Jahren eine Veränderung der Sonneneinstrahlung ausgelöst und dies sei primär die Ursache für das Abklingen der damaligen Eiszeit gewesen. Also doch?

Moderne Überlegungen zur Entstehung von Planetensystemen beziehen mögliche Veränderungen der Bahnen von Planeten ebenfalls ein. Die Planetensysteme, die die Astronomen in der Umgebung ferner Sterne registriert haben, lassen sich in der Mehrzahl nur erklären, wenn man die Systeme als nicht stabil, sondern als einen zeitbezogenen Stand in einem dynamischen Verlauf ansieht. (Siehe Weltbilder sind Zeitbilder; Teil II)

Bei mir ist das vorletzte Wort über die Stabilität oder Instabilität der Planetenbahnen auch noch nicht geschrieben.

Die Entdeckung der berechenbaren Unberechenbarkeit

Als ich vor Jahren, verbissen einer bestimmten Vorstellung anhängend, mit einem Gleichungssystem und meinem Computer herumexperimentierte, bemerkte ich, dass die Werte, die ich als Ergebnisse erhielt, plötzlich stark variierten. Das hing erkennbar davon ab, welche Ausgangswerte ich setzte. Wenn diese nämlich eine bestimmte Grenze unterschritten, entwickelten sich die Ergebnis-Werte nicht mehr linear, sondern sprangen wild hin und her. Ich war darüber sehr erfreut, denn gerade das passte gut in meine Vorstellungen, die ich mit der Rechnerei prüfen und begründen wollte.

Aber was ich auch anstellte, die nichtlinearen Ergebnisse besaßen offensichtlich keinerlei Systematik, jedenfalls keine, die zu meinen Vorstellungen gepasst hätte. Einige Wochen danach legte ich mir einen leistungsfähigeren Computer zu. Ich hoffte, mit seiner Hilfe so etwas wie eine Systematik in der Nichtlinearität zu finden. Aber schon beim ersten Versuch geriet ich in Verlegenheit. Obwohl ich die gleichen Formeln und exakt die gleichen Ausgangswerte benutzte, entwickelten sich die Ergebnis-Werte nun wieder brav linear, von Sprüngen keine Spur mehr. Nach wenigen Versuchen gab ich auf. Dass sich die Werte nichtlinear entwickelt hatten, lag offensichtlich weder an meinen Vorstellungen noch unmittelbar an den benutzten Formeln, sondern an der elektronischen Architektur des benutzten Computers und der Software, an der Art und Weise, wie der Computer mit vielstelligen Zahlen umging.

Ich war auf ein Rundungsproblem gestoßen, auf winzige Rechen- oder Rundungs-Ungenauigkeiten, die normalerweise, etwa bei der Berechnung von Geldbeträgen, nicht bemerkbar sind, aber in extremen Wertebereichen deutlich werden. Die Quelle der Ungenauigkeiten und Sprünge war die Art und Weise des Umgangs mit vielstelligen Zahlen und der damit verbundenen Auf- und Abrundung solcher Zahlen. Bei meinem alten Computer hatte die Hard- und Software mit einer Genauigkeit von 7 Stellen gerechnet. Der neue Computer rechnete mit doppelter Genauigkeit. Während im ersten Fall die 7. Stelle auf- oder abgerundet wurde, war das dann erst in der 14. Stelle der Fall. Allein daraus können bei Berechnungen große Unterschiede resultieren.

Es handelt sich dabei jedoch keineswegs um ein auf die Computertechnik zu reduzierendes und so isoliertes Problem. Ähnliches hatte der Meteorologe Edward N. Lorenz (1917-2008) bereits 1963 erlebt. Lorenz bemühte sich, Vorgänge der Erdatmosphäre, die mit Temperatur, Luftdruck, Wolkenbildung und Wind zusammenhängen, mit Hilfe von Computer-Berechnungen zu modellieren. Er benutzte dazu eine bestimmte Art mathematischer Gleichungen und eine bestimmte Lösungsmethodik. Lorenz konnte auf diese Weise Wettersysteme simulieren und Wetterprognosen erstellen. Als er wieder einmal eine solche Modellierung in einem zweiten Rechendurchlauf überprüfen wollte, nahm er eine winzig kleine Veränderung im Programm vor. Er ließ den Computer, damit es schneller gehen sollte, mit drei gerundeten Dezimalstellen rechnen, nicht wie vorher mit sechs Stellen. (Gelegentlich ist zu lesen, er habe den Ausgangswert einer Berechnung aus Versehen von 0,506127 auf 0,506 reduziert. Kann auch sein, obwohl mir das Versehentliche für einen Wissenschaftler am MIT doch eher unwahrscheinlich erscheint.)

Als er sich kurze Zeit später – vielleicht war er auf eine Tasse Kaffee in der Kantine gewesen – das Ergebnis ansah, traute er seinen Augen nicht. Was der Computer im zweiten Durchlauf errechnet hatte, unterschied sich völlig von den Ergebnissen der ersten Berechnung. Obwohl der Wissenschaftler in beiden Fällen gleiche Ausgangswerte und gleiche Berechnungs-Algorithmen benutzt hatte, erhielt er als Ergebnisse der Modellierung zwei ganz verschiedene Wettersysteme. Eine kleine mathematische Manipulation, eine Veränderung um 1 in der dritten Stelle hinter dem Komma hatten bei gleichen Ausgangsbedingungen eine völlig andere Wetterlage ergeben, als das im ursprünglichen Modell der Fall war. Die eigentlichen Quellen der so deutlichen Unterschiede im Endergebnis waren hier jedoch nicht der Computer, sondern die benutzten nichtlinearen Gleichungen und die Methodik der Iteration und Rekursion.

Was Lorenz da passiert war, lässt sich an einem Beispiel nachvollziehen. Ich benutze dazu die einfache Formel x = x2 - y und setze als Startwert x = 0,8 und für y die Konstante y = 1,8. Einmal rechne ich mit sechs Stellen hinter dem Komma, wobei die Werte nach der 6. Stelle abgeschnitten werden. Ein zweiter Durchlauf erfolgt mit 3 Stellen. Hierbei ist der Wert der 3. Stelle hinter dem Komma gerundet. Die kurze Tabelle zeigt, wie schnell sich die Wertefolgen auseinander bewegen. Zwar ist die Differenz bei der 5. Iteration noch gering in der 3. Stelle, bei der 10. schon deutlicher in der 2. Stelle, bei der 15. sehr auffällig und in der 1. Stelle hinter dem Komma und bei der 20. Iteration handelt es sich allein schon wegen der Vorzeichenumkehr um prinzipiell voneinander verschiedene Werte.

1. Iteration -1,16 / -1,16

5. Iteration -1,253428 / -1,251

10. Iteration -1,748355 / -1,738

15. Iteration -0,194234 / -0,575

20. Iteration +1,407322 / -0,816

Dass Lorenz beim zweiten Computerlauf auf ein völlig anderes Wettersystem stieß, ist also verständlich. Auch wenn das mehr auf Mathematik denn auf Natur hindeutet, zeigt es doch recht anschaulich, wie sehr das Verhalten eines Systems von gewissen Randbedingungen abhängt.

Newton hatte seinerzeit die Idee des Differentials entwickelt und benutzt, um seine Bewegungsgleichungen lösen zu können, die geeignet waren, Entwicklungen in Abhängigkeit vom Zeitenlauf zu berechnen.

Von Stund an konnten damit die Wissenschaftler, vor allem aber die Ingenieure, Vorgänge wie den Lauf von Rädern, den Flug einer Kugel, das Fließen von Wasser, das Wachsen einer Pflanze und viele andere dynamische Vorgänge gut und mit hoher Genauigkeit berechnen. Jede Wirkung, die einer Ursache folgte, ließ sich mit Differentialgleichungen exakt erfassen. In aller Regel zogen dabei kleine Veränderungen in den Ursachen auch kleine Veränderungen in den Wirkungen nach sich. Wenn den Mathematikern und Ingenieuren große Veränderungen in den Wirkungen begegneten, ließen sich diese gut damit erklären, dass sich kleine Veränderungen im Verlaufe der Zeit aufsummiert und auf diese Weise verstärkt hatten. Gleichungen, die einen solchen direkten Zusammenhang zwischen Ursache und Wirkung liefern, nennt man lineare Differentialgleichungen.

Es war aber bereits den Wissenschaftlern des 19. Jahrhunderts gut bekannt, dass es auch noch eine andere Gattung von Differentialgleichungen gibt, die nichtlinearen Charakters sind. Nichtlineare Gleichungen benehmen sich merkwürdig, führen zu ganz absonderlichen Werte-Entwicklungen, liefern Unvorhergesehenes, die von ihnen produzierten jähen Wendungen treten plötzlich und nicht selten unvermutet ein. Sie sind deshalb gut geeignet zur Beschreibung von Vorgängen, die von plötzlichen Veränderungen, katastrophalen Wendungen, explosionsartigen Entwicklungen geprägt sind.

Überhaupt sind diese Gleichungen mathematische Form nichtstetiger Vorgänge. Ob Erdbeben in Folge tektonischer Prozesse in der Erdkruste, ob plötzliche Materialbrüche bei Überschreiten einer Belastungsgrenze oder Börsenkräche bei unvermuteten wirtschaftlichen Entwicklungen – nichtlineare Gleichungen beschreiben solche ‚Unberechenbarkeiten’. Sie sind bestens geeignet, kritische Schwellen, Grenzwerte aufzuspüren, bei denen ein System in große Veränderungen stürzt, mehr aber noch um zu zeigen, ob ein System in seinem ganzen Verhalten überhaupt berechenbar ist.

Das war auch der Hintergrund der Lorenzschen Verlegenheit mit dem Wetter. Es war sofort klar, wenn sich Wettersysteme in der Wirklichkeit auch so verhalten wie nach den Formeln in der Lorenzschen Computerberechnung, dann kann bereits die kleinste Veränderung einen unvorhersehbaren Wettersturz verursachen, das Wetter ist dann nicht wirklich voraussagbar. Die Erkenntnis, dass Wettersysteme nichtlineare Systeme und daher extrem empfindlich sind, führte zu der viel zitierten Metapher, der Flügelschlag eines Schmetterlings im Urwald Brasiliens, wahlweise auch in Tokio, könne eine Sturmflut in Nordeuropa oder anderswo auslösen.

Seinen Nachruf für den kurz vorher verstorbenen Edward Lorenz überschrieb Norbert Lossau sogar mit “Ein Schmetterling kann Städte verwüsten”. (Quelle: Die Welt; Wissen; 18. 04. 2008)

Nein, kann er nicht. Städte verwüsten können Erdbeben, die Kriege der Menschen, ja auch extreme Wetterphänomene, aber kein Schmetterling kann das mit seinem Flattern bewirken. Obwohl diese Behauptung in vielen Veröffentlichungen ganz ernsthaft verkündet wird, ist sie so eigentlich Unsinn.

Zugegeben, Edward Lorenz hatte 1972 auf der Jahrestagung der American Association for the Advencement of Science seinen Vortrag überschrieben mit

“Kann der Flügelschlag eines Schmetterling in Brasilien einen Tornado in Texas auslösen?”

Das Bild diente ihm als eine Veranschaulichung des nichtlinearen Charakters von Wettersystemen und der Empfindlichkeit von Wetterlagen. Das Wetter ist von vielen Faktoren abhängig. Es ist nur schwer und nur kurzzeitig einigermaßen verlässlich voraussagbar. Wollte man es auf vielleicht einen Monat voraussagen, müsste man weltweit einige Millionen von Wetterstationen in genau gleichen und möglichst geringen Distanzen zueinander stationieren und mit deren Daten leistungsfähige Computer füttern, mit Hilfe von durch langjährige Beobachtungen gefundenen Algorithmen Berechnungen realisieren, aus denen dann die Entwicklung des Wetters interpretiert werden könnte. Und selbst dann wären die Voraussagen nicht sicher. Es kann auch schnell alles trotzdem noch ganz anders kommen.

Allerdings ist das Wetter nicht stets nur instabil, sondern kann auch durchaus relativ unveränderlich sein. Wir alle kennen lang anhaltende Hitzewellen, wie wir uns in Mitteleuropa häufig auch über viel zu lange Kaltwetter-Lagen ärgern und eine über mehrere Tage stabile Tiefdrucklage zu großflächigen Überschwemmungen führen kann. Da können die Schmetterlinge in Brasilien oder Tokio noch so flattern. Bestimmte Wettererscheinungen, wie der Monsun, die Hurrikan-Saison, der El Nino, die Passat-Winde, der Jet-Stream und andere sind in sich oder in der Regelmäßigkeit ihrer Wiederkehr recht stabil und treten mit relativer Zuverlässigkeit auf, obwohl auch hier Schwankungen in Zeitpunkt und Stärke, mitunter sogar das völlige Ausbleiben oder das überraschende Auftreten beobachtbar sind.

Der Flügelschlag eines Schmetterlings kann in einem anderen Teil der Welt keine Wetterkatastrophe auslösen, weil die Entwicklung des Wetters in einer bestimmten Region von nichtlinearen Zufälligkeiten abhängt, die sich überlagern, durch eine große Anzahl anderer Zufälligkeiten sich gegenseitig auslöschen oder so miteinander wechselwirken, dass mit relativer Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Wettersituation eintritt. Sie können sich aber auch so verstärken, bis etwas ganz Unvorhergesehenes plötzlich zuschlägt. Die Metapher mit dem Schmetterling gilt ausschließlich in Bezug auf die empfindliche Abhängigkeit der Wettersysteme von extrem komplexen und nur schwer verlässlich analysierbaren Bedingungen.

Auf keinen Fall aber ist eine hässliche Sturmflut in Nordeuropa den farbenprächtigen Schmetterlingen Brasiliens anzulasten. Die können auch weiterhin zu Millionen heftig mit den Flügeln wedeln, ohne in Europa etwas auszulösen. Auch die Überschwemmungen in Nordrhein-Westfalen sind nicht den zu fett gewordenen Lachsen im Oberrhein anzulasten – falls es dort wieder welche gibt.

Etwas anderes wäre es, wenn es plötzlich in Brasilien überhaupt keine Schmetterlinge mehr geben würde. Das wäre bestimmt einer Umweltveränderung geschuldet, die auch in Europa Konsequenzen hätte, möglicherweise aber auch von Europa ausgelöst sein könnte.

Edward Lorenz war am MIT, dem Massachusetts Institute of Technology, tätig. Tatsächlich hat er sich als Meteorologe dort mit Wettermodellen beschäftigt, vor allem aber mit dem Strömungsverhalten von Flüssigkeiten und Gasen. Tatsächlich stieß er dabei auf die empfindliche Abhängigkeit der Systeme von den Ausgangs- und Rahmenbedingungen. Dass mit dem Schmetterling am Amazonas ist eine hübsches Bild. Es wurde bereitwillig von den Journalisten und Medien mit ihrem unbändigen Hang, komplexe Wahrheiten auf Schlagzeilenlänge, besser noch auf einen gängigen und Angst machenden Slogan zu verkürzen, aufgegriffen und geistert seitdem durch Medien und leider auch durch die populärwissenschaftliche Literatur.

Um Norbert Lossau Gerechtigkeit zu gewähren, will ich gern erwähnen, dass er selbst in dem bewussten Artikel den Schmetterlingeffekt als “plakative Vereinfachung und Übertreibung” bezeichnet. Richtig so. Eigentlich hätte für den Schmetterlingseffekt ein ganz anderer ‘Schmetterling’ Pate stehen müssen. Den hatte Lorenz bei seinen Forschungen 1963 tatsächlich entdeckt und er ist weniger populär, dafür aber mit großer Bedeutsamkeit in die Geschichte der Physik eingegangen. Gemeint ist der Lorenz-Attraktor, der erste seltsame Attraktor mit fraktaler Dimension, dessen Bahnen sich in einem dreidimensionalen Phasenraum bewegen (die Begriffe erkläre ich noch). Der als Erster seiner Art berühmt gewordene Lorenz-Attraktor sieht so aus:

Abb.: III/03 Lorenz-Attraktor

Eine nichtlineare mathematische Prozedur bewirkt, dass die errechneten Werte ständig zwischen zwei Ebenen hin- und herspringen. (Vom Autor mit dem Programmpaket Winfunktion Mathematik Me2 – Lindemayr-System von bhv Software GmbH & Co. KG erstellt)

Sie werden mir zustimmen, dass dieser Attraktor selbst einem Schmetterling nicht unähnlich ist.

Obwohl ich damit Begriffe vorweg genommen habe, die erst weiter unten eine Erklärung und nähere Beschreibung finden werden, habe ich Edward Lorenz bereits hier erwähnt, weil er als einer der wichtigsten Väter jener Theorie gilt, um die es mir hier geht. Sie wird gemeinhin als Chaostheorie bezeichnet. Aber das ist auch so eine Vereinfachung, die den Kern der Sache nicht trifft.

Natürlich gibt es in der Natur strukturloses Geschehen, wildes Durcheinander, rohes Gemenge lose verbundener Stoffe. Das lässt sich auch mit wissenschaftlichen Methoden nicht ordnen. Aber es gibt dynamische Systeme, die sich chaotisch verhalten, unvorhersagbar erscheinen, jähen Veränderungen unterliegen, obwohl sie klaren Kausalitäten unterliegen und die Gleichungen, mit denen man sie berechnen kann, deterministisch sind. Man sagt auch, es seien Systeme deterministisch chaotischer, nichtlinearer Dynamik.

Das hat wenig bis nichts mit Zufall zu tun. Man neigt häufig, ich nehme mich nicht aus, dazu, die Systeme, die von der Theorie untersucht werden, mit dem Zufall in Verbindung zu bringen. Das trifft es nicht unbedingt. Allerdings ist der Begriff Zufall nicht so streng festgelegt. Man spricht von Zufall, wenn zwischen zwei zeitlich, örtlich oder auch inhaltlich korrespondierenden Ereignissen kein kausaler Zusammenhang besteht oder wenn es für das Eintreten eines Ereignisses objektiv keine lineare Verursachung gibt.

Wenn ich mal kurz zum kräftig Durchatmen auf den Balkon gehe und just in diesem Moment auf der Straße zwei PKW’s miteinander kollidieren, dann ist die Kollision zwar kausal begründet, aber dass sie mit meiner Anwesenheit auf dem Balkon zusammentrifft, ist Zufall. Wäre ich durch das dumpfe Geräusch der Kollision auf den Balkon gelockt worden, wäre die Kollision und meine Anwesenheit auf dem Balkon kausal zusammenhängend. Wäre der Zusammenstoß passiert, weil einer der Autofahrer durch mein Erscheinen auf dem Balkon unaufmerksam war, würde es sich ebenfalls um einen, wenn auch recht unwahrscheinlichen, kausalen Zusammenhang handeln.

Zufälle ohne kausalen Zusammenhang stehen klar außerhalb der Theorie vom deterministischen Chaos. Aber es gibt ja auch Ereignisse, deren kausale Ursachen man zwar kennt, sie aber nicht beeinflussen kann. Diese sind auch zufällig und sie können durchaus Gegenstand von wissenschaftlichen Modellen und Berechnungen sein (siehe Wettermodelle).

In welcher Weise sich bei der geschlechtlichen Vermehrung Erbinformationen vermischen, ist möglicherweise zufallsbedingt. Aber ob, wissen wir noch nicht. Auf welche Zahl beim Roulette die Kugel fällt, oder beim Würfeln eine bestimmte Zahl oben liegt, ist ebenfalls Zufall, obwohl es bestimmte Faktoren gibt, von denen das Verhalten der Kugel oder des Würfels abhängt. Nur sind es Faktoren, bei denen kleinste Nuancen das Ergebnis entscheidend beeinflussen. Solche und andere Zufallsprozesse kann man immerhin mit Hilfe von Wahrscheinlichkeiten berechnen und mit der Logik der großen Zahl sogar auch in Grenzen beherrschen.

Aber die Rolle des Zufalls in Natur, Leben und Gesesellschaft ist ein ganz anderes Thema. Ich habe es lediglich erwähnt, da in der Literatur häufig jeder Zusammenhang zwischen deterministischem Chaos und Zufall vehement bestritten wird. Die Theorie vom deterministischen Chaos ist keine Theorie vom Zufall, das ist wahr, aber dass auch der Zufall in der nichtlinearen Dynamik eine Rolle spielen kann, ist auch nicht zu übersehen.

„Eine sehr kleine Ursache, die wir nicht bemerken, bewirkt einen beachtlichen Effekt, den wir nicht übersehen können, und dann sagen wir, der Effekt sei zufällig. Wenn die Naturgesetzte und der Zustand des Universums zum Anfangszeitpunkt exakt bekannt wären, könnten wir den Zustand dieses Universums zu einem späteren Moment exakt bestimmen. Aber selbst wenn es kein Geheimnis in den Naturgesetzen mehr gäbe, so könnten wir die Anfangsbedingungen doch nur annähernd bestimmen. Wenn uns dies ermöglichen würde, die spätere Situation in der gleichen Näherung vorherzusagen - dies ist alles, was wir  verlangen -, so würden wir sagen, dass das Phänomen vorhergesagt worden ist und dass es Gesetzmäßigkeiten folgt. Aber es ist nicht immer so; es kann vorkommen, dass kleine Abweichungen in den Anfangsbedingungen schließlich große Unterschiede in den Phänomenen erzeugen. Ein kleiner Fehler zu Anfang wird später einen großen Fehler zur Folge haben. Vorhersagen werden unmöglich, und wir haben ein zufälliges Ereignis.”

(Henri Poincaré; zitiert in Wolfgang Neundorf; Wie zufällig ist der Zufall?)

Was hat es denn nun mit der Nichtlinearität auf sich?

Nichtlineare Systeme verhalten sich reichlich anders, als wir das von linearen Systemen kennen, sie haben viel von Chaos in sich. Zum Wesen nichtlinearer Systeme gehört das Unerwartete, der plötzliche, extreme Umschwung im Verhalten. Meist verhalten sich die Gleichungen über große Wertebereiche hinweg ganz zivilisiert, sind harmlos-gleichförmig, liefern geordnete Werte-Folgen, so als würden kleine Veränderungen in den Rahmenbedingungen auch stets nur unbedeutende Wirkungen haben. Sie erwecken oft den heimtückischen Anschein, als würden sie sich in nichts von ihren linearen Vettern unterscheiden. Plötzlich aber können die von nichtlinearen Gleichungen gelieferten Werte explodieren, in extreme Bereiche abkippen, weit auseinander driften. Nichtlineare Gleichungen haben die Grundeigenschaft, winzige Veränderung zu extremen Wirkungen führen zu können. Sie beschreiben Systeme, die plötzlich und schnell aus der Stabilität ausbrechen können. Damit sind wir nun in einen völlig anderen Bereich theoretischen Denkens hineingeraten, in eine mystische Welt voller Merkwürdigkeiten und Unberechenbarkeiten, in der Entwicklungen nicht oder nur bedingt voraussagbar sind, ein jedes Erwartete auch ganz anders kommen kann, aber das Chaos auch überraschend scharfumrissene Konturen zeigt.

Wir werden noch sehen, wie sich eine permanent zu vermutende Unordnung, ein als wirres Geschehen erscheinendes System auch recht wohlgeordnet aufführen und regelmäßige Muster bilden kann. Das deterministische Chaos bezieht sich auf Systeme, deren Verhalten über einen mehr oder weniger langen Zeitraum nicht voraussagbar ist. Es ist trotzdem deterministisch und daher in seinem Verhalten erforschbar. Die Entdeckung der Muster- und Strukturbildenden Rolle der Nichtlinearität machte den Naturwissenschaftlern große Hoffnung, für viele unbeantwortete Fragen völlig neue Antworten zu finden. Wir werden im Folgenden sehen, wieweit die Hoffnungen bisher trugen.

Die Sprache des Chaos

Wenn wir uns der Theorie vom deteministischen Chaos und ihrer Rolle im Bemühen um das Verstehen von Natur nähern wollen, lässt es sich nicht vermeiden, zunächst über die Begrifflichkeit und die Herangehensweise der Theorie zu reden. Ich muss also vom Leser etwas Geduld einfordern. Auf den hier folgenden Seiten wird es noch sehr abstrakt zugehen. Da müssen Sie mit mir erst einmal durch, bevor ich die Chaostheorie in Verbindung zu den anschaulicheren Dingen der Realität bringen kann.

Über die Relativitätstheorie haben wir relativ ausführlich gesprochen. Auch wenn uns die Theorie wenig anschaulich erscheint, die von ihr verwendeten Begriffe sind es. Die Sprache der Relativität ist uns gut geläufig. Geschwindigkeit und Zeit, Dehnung und Kontraktion, Krümmung und Beschleunigung gehören zu unserem Alltags-Sprachgebrauch, gleichwohl meist in anderen, vor allem verständlicheren Zusammenhängen, als in der speziellen und allgemeinen Relativität.

Die Begriffe der Quantenphysik sind uns ebenso gut vertraut. Mit Wahrscheinlichkeit, Unbestimmtheit, Doppelspalt, Welle und Teilchen kann jeder von uns etwas anfangen, mit Dualismus, Bahnkurve, Komplementarität oder Quantensprung schon nach kurzer Lektüre populärwissenschaftlicher Aufsätze auch. Trotz der verständlichen Begrifflichkeit sind uns viele Aussagen der Theorie freilich unverständlich und unwirklich.

Das ist schon merkwürdig: Die Begreiflichkeit von Relativitätstheorie und Quantenphysik bereitet uns reichlich Probleme, ihre Begrifflichkeit kaum.

Dagegen ist uns der Zustand des Chaos absolut verständlich und vorstellbar. Unordnung, die Abwesenheit von Ordnung, Regel und Kontrolle sind uns geläufig. In mancherlei Zusammenhang bereitet uns das Chaos Unbehagen, sind uns Harmonie, Rhythmus und geordnete Verhältnisse viel sympathischer. Chaot ist, zumeist jedenfalls, ein Schimpfwort. Aber in anderen Zusammenhängen neigen wir durchaus auch zu einer umgekehrten Bewertung und der Chaot wird uns plötzlich zu einem liebenswerten, da mit dem langweiligen konventionellen Verhalten brechenden Zeitgenossen.

(Ich gebe zu, mir ist das Chaos auf meinem Schreibtisch viel lebendiger, beherrschbarer und kreativer, als jede mir völlig künstlich und steril erscheinende Einordnung von Zetteln und Blättern in Hefter und Ordner. Eine solche Ordnung gerät mir fast immer zu sehr lästiger Unordnung, da ich die Ordnungsprinzipien schnell wieder vergessen habe oder sie ‚im Eifer der Gefechte’ vernachlässige.)

Jeder von uns hat eine gute Vorstellung davon, was Chaos ist. Und auch von der Tatsache, dass Chaos und Ordnung zwei sich einander ausschließende Prinzipien sein müssen.

Alle Systeme und Strukturen, die Gegenstand wissenschaftlicher Forschung waren, galten als von den Prinzipien der Ordnung bestimmt. Es war ja eben der Sinn und Inhalt wissenschaftlichen Forschens, hinter die Prinzipien der Ordnung zu kommen. Die Prinzipien der Unordnung waren völlig klar. Es gab nur ein einziges – Abwesenheit von Ordnung. Das zu erforschen, schien völlig überflüssig.

Aber als sich die Wissenschaft dann doch ernsthaft mit dem Chaos zu beschäftigen begann, erlebte sie Verblüffendes und ungemein Überraschendes. Das Chaos präsentierte sich als Träger ganz erstaunlicher Strukturen und Formen, als ein Hort von eigenwilliger Harmonie und exotischer Schönheit. Dieses Chaos war freilich mit unserer herkömmlichen Begrifflichkeit nicht mehr beschreibbar. Die Chaosforscher mussten sich einer neuen Sprache bedienen bzw. alte Begriffe in neue Zusammenhänge bringen, um die Gegenstände und Ergebnisse ihres Forschens beschreiben zu können.

Und so hielten sie Einzug in den wissenschaftlichen Sprachgebrauch: Rekursion und Iteration, Attraktor, Grenzzykel, Bifurkation, Fraktal, Periodenverdopplung, Intermittenz, Selbstähnlichkeit, Feigenbaumdiagramm, Cantor-Menge, Peano-Kurve, Koch-Insel, Sierpinki-Dreieck, Goldener Schnitt, Mandelbrot-Menge, Julia-Menge und das nahezu jedem Computer-Freak aus eigenem Erleben bekannte exotisch-spannende ‚Apfelmännchen’. Es ist auch diese neue Begrifflichkeit, die es erlaubt, neue Fragen zu stellen und Antworten auf neue Art zu interpretieren. Relativitätstheorie und Quantenphysik leiden vielleicht nicht unerheblich unter dem Mangel an neuer Sprache.

Es ist wichtig, den Sinn der von dieser neuen Sprache der Chaostheorie verwendeten Begriffe wenigstens im Wesentlichen zu kennen.

Rekursion. Die mathematische Methode der Rekursion ist schnell erklärt. In eine Formel wird für eine Variable ein Ausgangswert eingesetzt und in einem ersten Durchlauf eine Variable errechnet. Der errechnete Wert wird nun als neuer Ausgangswert für einen zweiten Durchlauf benutzt. Das kann beliebig fortgesetzt werden. Rekursive Prozesse können zu positiven oder negativen Rückkoppelungsschleifen führen, also verstärkend oder reduzierend wirken. Diese mathematische Methode, den Endwert einer Berechnung als Ausgangspunkt der folgenden Berechnung zu setzen, ist die viel gerühmte Rekursion.

Als mit der Rekursion eng verschwägert begegnen uns rekursive Prozesse auch außerhalb der abstrakten Mathematik in Form von Rückkopplungssystemen. Einen über längste Zeiträume zuverlässig funktionierenden Rückkopplungssystem erfand die Natur. Bei den in den Sternen stattfindenden nuklear-energetischen Prozessen werden bekanntlich in großer Menge Photonen erzeugt. Sie verlassen das flammende Inferno eiligst mittels Abstrahlung in den umgebenden Raum. Je mehr Photonen, sprich Energie, abgestrahlt werden, umso mehr verringert sich der Gasdruck im Innern des kosmischen Brenners. Das aber führt zu einer Verlangsamung des thermonuklearen Prozesses. In Folge dessen wiederum verringert sich die Energieabstrahlung, was fast augenblicklich ein Ansteigen des Gasdrucks nach sich zieht. Daraus aber resultiert, Sie ahnen es sicher schon, eine erhöhte Energieabstrahlung, was wiederum ... usw.

Über Zeiträume von Milliarden von Jahren reguliert sich das energetische Geschehen der Sterne und auch unserer Sonne auf ein perfektes Gleichgewicht der gegeneinander wirkenden Kräfte ein. Für uns ein Glücksfall, keine Frage. Aber es ist schlicht die Rückkopplung, die das regelt. Rückkopplung ist nichts anderes, als dass das Ergebnis einer Operation zum Ausgangspunkt einer weiteren Operation wird und deren Ergebnis wieder in die nächste Operation eingeht.

Wenn wir in einem Konzert sitzen, bei dem zur Schallverstärkung elektronische Anlagen benutzt werden, kann uns mitunter ein lästiger Effekt begegnen. Die schönste Musik kann plötzlich durch einen anschwellenden Pfeifton sehr störend verfälscht werden. "Es koppelt", sagen die entsetzten Tontechniker. Das Koppeln kommt zustande, wenn Mikrophon und Lautsprecher so unglücklich zueinander stehen, dass bei bestimmten Lautstärken und Frequenzen die von den Lautsprechern abgestrahlten Ausgangssignale im Mikrophon zu Eingangssignalen werden und über die Verstärker zu den Lautsprechern geschickt in einer endlosen Schleife sich wiederholend und verstärkend erneut von Ausgangs- zu Eingangssignalen mutieren. Dieses Koppeln entsteht sehr plötzlich und kann sich, wenn die Techniker nicht regulierend eingreifen, sehr schnell bis zu einem unerträglichen Maximum ‚aufschaukeln’. Den Wissenschaftlern sind dieserart Vorgänge gut bekannt. Man bezeichnet sie als Rückkoppelung. Sie sind nicht immer lästige Nebenerscheinungen, sondern finden in vielen Bereichen der Technik nützliche Anwendungen und sind in der Natur selbstverständliche Mechanismen der Regulierung von Systemen.

Ein uns allen gut bekanntes und einfaches Rückkoppelungssystem ist das der Temperatur - Regelung in einer Wohnung. Ein spezielles Gerät, ein Thermostat, reagiert auf minimale und maximale Temperatur. Sinkt die Temperatur unter den eingestellten minimalen Wert, regelt der Thermostat die Heizung auf höhere Leistung. Wird die maximale Temperatur überschritten, drosselt der Thermostat die Heizleistung wieder. Das kann so fein eingestellt sein, dass die Temperatur unabhängig von den schwankenden Außentemperaturen nahezu konstant auf einem bestimmten Level gehalten werden kann. Temperaturmessung und Heizleistung sind in einem Rückkoppelungsverhältnis, das durch den Thermostat vermittelt wird.

Iteration. Der Begriff der Iteration ist auch schnell erklärt. Er ist vom lateinischen iterare – wiederholen – abgeleitet und bezeichnet nichts anderes als die Methode, eine bestimmte mathematische Prozedur wiederholt durchzuführen. Die in Zusammenhang mit chaotischen Prozessen so oft erwähnten Begriffe Rekursion und Iteration – ich werde sie auch noch ausgiebig strapazieren – sind also keine geheimnisumwitterten Voodoo-Zeremonien, sondern wohlbekannte und überschaubare mathematische Methoden. Was man damit aber so anstellen kann, zu welchen überraschenden Resultaten und jähen Wendungen man gelangt, wenn man mit diesen eigentlich ganz harmlosen mathematischen Methoden operiert, werde ich noch an Beispielen darstellen.

Phasen- oder Zustandsraum. Was ein Raum ist, wissen wir. Jedenfalls glauben wir, davon eine gültige Vorstellung zu haben. Nur sind die Vorstellungen, die wir im Allgemeinen mit dem Räumlichen verbinden, wie wir im Zusammenhang mit Relativitätstheorie und Quantenphysik gesehen haben und in anderen Zusammenhängen noch sehen werden, auf trügerisch-vereinfachende Alltagserfahrungen unseres irdischen Daseins reduziert. Es ist den Wissenschaftlern daher nicht unbedingt zu verdenken, dass sie über Räume nicht so reden, als wären das hohle Behältnisse mit vier Wänden, einem Boden und einem Deckel. Um komplexe Vorgänge vollständiger beschreiben zu können, erfanden die Physiker den Phasen- oder Zustandsraum. Die Grundlagen für dieses Konzept hatten bereits der irische Mathematiker, Physiker und Astronom William Rowan Hamilton (1805-1865) und der deutsche Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi (1802-1851) geschaffen.

Der Phasen- oder Zustandsraum ist den Mathematikern und Physikern eine gut brauchbare Methode, nichtlineare Prozesse zu untersuchen. Er hat nichts besonders Geheimnisvolles an sich, außer, dass er halt ein abstraktes Gebilde ist. Er ist eigentlich nur ein Koordinatensystem, in dem jeder Variablen des Systems ein Koordinatenwert zugeordnet wird. Zu einem gegebene Zeitpunkt/Phase zeichnen diese Werte einen Punkt im Koordinatensystem. Indem sich der Zustand des Systems in der Zeit ändert, wandert der Punkt durch das Koordinatensystem, sprich den Zustandsraum. Die so entstehende Kurve gibt Auskunft über den Verlauf der Veränderung des Systemzustandes. Lineare Systeme zeichnen in der Regel einfache Kurven oder Trajektorien im Zustandsraum. Die Trajektorien nichtlinearer Systeme sind weniger geordnet, unterliegen aber auch einer gewissen Ordnung, indem sie häufig einem bestimmten Punkt zustreben oder immer wieder einen bestimmten Bereich im Zustandsraum durchlaufen. Das ist dann ein Attraktor.

Gesetzt z.B., ich fahre mit dem Auto von Berlin nach Hamburg und möchte die Fahrt beschreiben. Natürlich könnte ich die durchfahrene Landschaft beschreiben und das an diesem Tag herrschende Wetter, den Betrieb auf der Autobahn, die Staus und Baustellen, die Blödheit der anderen Autofahrer oder mein Gefühlsleben in den verschiedenen Phasen der Reise. Das und anderes könnten zu einer genauen und vollständigen Beschreibung notwendig und vielleicht sogar interessant sein.

Ich kann aber auch quantifizierbar Parameter benutzen, um die Reise auf weniger subjektive Art zu beschreiben. Solche Paraneter könnten die Geschwindigkeit, der Kraftstoffverbrauch, die Motorleistung, der zeitliche Verlauf u.a. sein. Jede Angabe, die notwendig ist, um eine Bewegung in einer solchen Art und Weise zu beschreiben, stellt eine Dimension dar. Es sind das die Dimensionen eines imaginären Raumes. Gesetzt, ich will meine Fahrt nach Hamburg so beschreiben, dass ich Aussagen über die Geschwindigkeit, mit der ich die Strecke bewältigt habe, machen kann. Der Phasenraum, mit dem ich das beschreibe, muss dann lediglich zwei Dimensionen aufweisen: die Zeit und den Ort. Tatsächlich kann ich den Ort hier als eine Dimension fassen, indem ich auf die Angaben von geographischer Länge und Breite und von Höhe über Null verzichte.

Um Aussagen über die Geschwindigkeit zu machen, mit der sich mein Auto durch den Phasenraum bewegt hat, genügt es, beginnend mit Null die zurückgelegte Strecke in Relation zu der seit dem Start vergangenen Zeit auszuweisen. Das kann ich recht gut grafisch darstellen, indem ich z.B. auf der Abszisse eines kartesischen Koordinatensystems die gefahrenen Kilometer und auf der Ordinate die vergangene Zeit eintrage. Sind meine Aufzeichnungen darüber relativ genau, habe ich also in kurzen, immer gleichen Abständen Messungen vorgenommen, erhalte ich eine schöne Kurve, aus der ich den Geschwindigkeitsverlauf meiner Fahrt anschaulich ablesen kann. Ich kann aus ihr auf Beschleunigungen, auf Spitzengeschwindigkeiten, Langsamfahr-Phasen oder Staus Rückschlüsse ziehen und natürlich auch leicht die Gesamtfahrzeit ablesen. Ein zweidimensionaler Phasenraum ist also schon ziemlich aufschlussreich und zudem anschaulich. Der Phasenraum, mit dem ich die Bewegung eines U-Bootes im o. a. Sinne beschreiben wollte, müsste noch mehr Dimensionen umfassen. Zunächst drei räumliche, da das Boot sich nicht nur nach links und rechts bzw. vor und zurück bewegen, sondern auch steigen oder sinken kann. Zudem kann die Bewegung in den drei räumlichen Dimensionen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit erfolgen. Es müssten also auch drei Zeitdimensionen berücksichtigt werden. Wir sehen hier schon, dass der Begriff Dimension eigentlich eine große Nähe zum Räumlichen hat. Deshalb ist der Begriff Parameter oder Freiheitsgrad eigentlich zutreffender. Ein Objekt kann seine Position und seinen Zustand in ganz bestimmter Weise verändern, verfügt über bestimmte Freiheiten. Jede Veränderung ist unabhängig von den anderen Parametern.

Der Phasenraum der Physiker ist daher ein strikt abstraktes Gebilde, eine rein mathematische Konstruktion auf der Basis physikalischer Parameter. Er umfasst die Menge aller möglichen Zustände eines physikalischen Systems. Die Phasenräume, mit denen die Physiker umgehen, können beliebig viele, theoretisch sogar unendlich viele Dimensionen haben. Wieviel Dimensionen ein Phasenraum hat, hängt davon ab, wieviele Freiheitsgrade das mit dem Phasenraum zu beschreibende System umfasst. Gemeint sind damit alle Parameter, die zur Beschreibung eines Systems notwendig sind. Vieldimensionale Phasenräume lassen sich zwar nur noch schwerlich grafisch anschaulich machen, aber mathematisch sind sie absolut beherrschbar. Für die Wissenschaftler sind Phasenräume eine treffsichere Möglichkeit, dynamische Entwicklungen von Systemen zu erforschen.

Jeder Physikstudent wird mich belehren wollen, ich hätte doch unbedingt über so wichtige Dinge wie Phasenraum-Orbit, Oszillationen, Separatrizen und natürlich auch über die Unterschiede zum Konfigurationsraum referieren müssen. Nein, musste ich nicht. Ich wollte nur zeigen, dass der Phasenraum der Physiker ein abstraktes Gebilde ist, mit dem man dynamische Vorgänge mathematisch gut erfassen und analysieren kann.

Eine sehr einfache dynamische Bewegung ist die eines ganz normalen Pendels unter irdischen Bedingungen. Der Vorgang ist zunächst überschaubar. Das Pendel wird durch Krafteinwirkung aus der Ruhelage in eine Position maximaler Auslenkung gebracht und losgelassen. Von nun an bewegt es sich selbständig, verringert in der Zeit Ausschlag und Geschwindigkeit, wobei sich seine Geschwindigkeit auch während der einzelnen Pendelschwingung dynamisch verhält. Im Durchgang durch den tiefsten Punkt hat das Pendel die höchste Geschwindigkeit, sie verringert sich bis in den Umkehrpunkt auf Null, um dann wieder zum maximalen Wert hin anzuwachsen. Der Phasenraum dieses Pendels umfasst ganze 2 Dimensionen. Eine Angabe zum Ort des Pendels zu einem bestimmten Zeitpunkt – beispielsweise der Winkel der Ablenkung des Pendels aus der Ruheposition – und die Angabe der Geschwindigkeit des Pendels an diesem Ort genügen.

Attraktor. Im Verlauf des Vorgangs wird die Reibung zu Verlusten an Geschwindigkeit und Ausschlag führen, die Pendelbewegung wird sich verlangsamen und letztlich zum Stillstand kommen. Wird die Bewegung des Pendels im Phasenraumdiagramm dargestellt, erhält man eine Spirale. Das Pendel bewegt sich von einem Punkt maximaler Entfernung in einer Spirale in den Punkt Null. Es wird vom Nullpunkt unwiderstehlich angezogen und beendet mit absoluter Sicherheit den Pendelvorgang in diesem Punkt. Das geht jedem irdischen Pendel so, unabhängig davon, wie weit es ursprünglich vom Nullpunkt ausgelenkt war und wie lang der Pendelweg ist. Für das Verständnis der Vorgänge, durch die das deterministische Chaos gekennzeichnet wird, ist gerade ein solcher Punkt, der eine so unwiderstehliche Anziehungskraft ausübt, besonders wichtig. Es ist nicht unbedingt dieser konkrete Null-Punkt, der Punkt der niedrigsten Energie des Pendels gemeint, sondern überhaupt ein Punkt, ein Gebiet, eine Ebene oder Richtung der Anziehung, der in der Chaostheorie Attraktor genannt wird.

Bei der Untersuchung des Verhaltens nichtlinearer dynamischer Systeme stellten die Wissenschaftler fest, dass in ihnen – den Systemen, nicht den Wissenschaftlern – sehr häufig Attraktoren zu entdecken sind. Der Begriff ist aus dem lateinischen ad trahere – zu sich hinziehen – abgeleitet. Er meint, dass dynamische Systeme die Neigung haben können, sich im Verlauf der Zeit einem bestimmten Wert anzunähern, sich auf ein ganz bestimmtes Muster, eine Struktur oder einen Zustand einzupegeln.

Attraktoren müssen deshalb keineswegs nur ‚Ruhepunkte’ auf dem Level niedrigster Energie sein, denen ein System zustrebt. Ein Attraktor kann auch ein Wert inmitten anderer Werte sein, also auf einem Level höheren Energieniveaus liegen. Es gibt Systeme, die z.B. zwischen zwei Extremen hin und her pendeln, so als könne sich das System nicht entscheiden, ob es einem maximalen oder einem minimalen Wert den Vorzug geben soll. Solche Werte hören auf die Bezeichnung Grenzzykel-Attraktor oder einfach Grenzzykel.

Es gibt überhaupt eine große Anzahl von Geschehnissen, bei denen trotz offenkundiger Zufälligkeit der ihnen zugrunde liegenden Prozesse große Stabilität zu beobachten ist. Andererseits sind aber auch Systeme zu beobachten, die lange Zeit ein völlig unscheinbares Dasein in Ordnung und Stabilität an den Tag legen, bis sie ganz plötzlich und ohne jede Vorwarnung aus allen Fugen geraten.

Wie kommt es, dass Erreger einer Krankheit, von denen wir wissen, dass es sie latent gibt und dass wir ihnen jederzeit ausgesetzt sind, lange Zeit kaum etwas Ernstzunehmendes anrichten, um dann innerhalb kurzer Zeit eine Epidemie auszulösen?

Wie kann es geschehen, dass sich in einem Gewässer, in dem jahrelang ein stabiles biologisches Gleichgewicht herrscht, sich eine bestimmte Algenart explosionsartig und nahezu ungehemmt vermehrt, so dass viele Arten von Tieren und Pflanzen, ihrer Lebensgrundlagen beraubt, nicht mehr existenzfähig sind?

Warum verhält sich der internationale Börsenmarkt so schwer vorausschaubar, warum entstehen Börsencrash’s oder plötzliche Kurshöhenflüge? Warum so plötzlich eine Finanzkrise?

Warum kann auf einer Autobahn auch ohne Unfall oder Baustelle ein kilometerlanger Stau entstehen, der sich irgendwann wie von Geisterhand gesteuert wieder auflöst?

Warum können ganze Staaten- und Gesellschaftssysteme in kurzer Zeit unrettbar in sich zusammenfallen, wie uns das mit dem Zusammenbruch der Sowjetunion, des sozialistischen Systems überhaupt, oder mit der westlichen Finanz- oder Bankenkrise noch in naher Erinnerung ist, aber auch mit dem plötzliches Untergang des Inka-Reiches oder der Reiche der Pharaonen, der Römischen Kaiser etwa zur Kenntnis gelangte?

Warum kann eine Menschenmasse schon aus einem nichtigen Anlass in nicht mehr beherrschbare Bewegung geraten, was ganz schnell zu Panik und zu Toten und Verletzten in Fußballstadien und bei Rock-Konzerten führen kann und leider viel zu oft auch führte?

Warum liegen die Gesteinsschichten des Erdmantels lange friedlich in der Sonne oder schieben sich sehr träge übereinander, um von einer Sekunde zur Anderen heftige Bewegungen auszuüben, die dazu führen, dass hunderte und tausende Menschen in den Trümmern ihrer Bauten begraben werden und die Überlebenden an ihrem Leid und ihren Tränen zu zerbrechen drohen?

Warum kokelt da und dort ein Vulkan träge vor sich hin, um von einem Tag zum anderen in großen Mengen und mit hoher Geschwindigkeit Feuer, Lava und giftige Gase auszuspucken?

Wir alle sind Zeitzeugen solcherart Geschehens; wir erfahren viel über die Ursachen oder die Verursacher. Einige Ursachen kann man aus der Welt befördern, mit anderen müssen wir uns abfinden, sie als naturgegeben hinnehmen, wieder andere erkennen wir als die zwar nicht beabsichtigte, aber auch nicht mehr verhinderbare Folge unseres eigenen unzulänglichen Handelns. Für viele dieser Erscheinungen haben wir im Einzelnen und Konkreten die Ursachen oder die Verursacher ausgemacht. Wir können verstehen oder erahnen, wie eine Anhäufung kleiner Ursachen, die Summierung winziger Veränderungen an einem bestimmten Punkt zu einem Umkippen des ganzen betroffenen Systems führen kann.

Es stellen sich diesbezüglich aber auch Fragen, die in eine grundsätzlichere Richtung zielen, als die Ursachen- und Umstände-Erforschung im Einzelfall des konkreten Geschehens. Wie ist das mit dem Verhältnis von Ordnung und Chaos? Sind das zwei sich einander ausschließende Dinge oder gibt es Zusammenhänge? Wann geht das Eine in das Andere über, und warum? Gibt es Möglichkeiten, diese Übergänge vorauszusehen? Welche Rolle spielt das Chaos wirklich? Ist es das ordnungs- und ziellose Durcheinander oder kann es Quelle von Ordnung sein?

Die gebrochenen Mathematiker

Bereits im 19. Jahrhundert hatte die Entdeckung spezieller Kurven, die sich als nicht differenzierbar erwiesen (Karl Weierstraß; 1872), eine leichte Panik unter den Mathematikern ausgelöst. Als Letztere sich gerade wieder mit der tröstenden Erkenntnis beruhigt hatten, es müsse halt auch nichtnormale Kurven geben, legte 1890 Giuseppe Peano (1858-1932) mit einer heimtückischen Sprengladung nach. Er entdeckte nämlich eine ‚flächenfüllende Kurve’.

Bekanntlich ist eine Kurve in ihrer Dimension eine Linie und als solche immer 1-dimensional. Peano präsentierte nun ein Verfahren, mit dem man eine Kurve konstruieren konnte, die sich in immer engeren Windungen auf einer Fläche bewegte, ohne sich selbst zu schneiden. Wendet man das Verfahren in unendlich vielen Schritten an, so erfasst die Kurve letztlich jeden einzelnen Punkt der Fläche, auf der man sie darstellt. Das sieht auf den ersten Blick harmlos aus. Aber bei genauerem Hinsehen zeigt sich darin etwas für die Mathematiker Unerfreuliches: Die Peano-Kurve ist zugleich 1- und 2-dimensional. Als Kurvenlinie besitzt sie Ausdehnung in nur einer Dimension und ist also ganz brav eine konventionelle Kurve. Indem sie jedoch alle Punkte der Fläche erfasst, wird sie zu einem ‚Ungeheuer’, denn sie ist auch 2-dimensional, eine Fläche also, was sich für eine Kurve nun wirklich nicht gehört. Wie kann es sein, fragten sich die verwirrten Mathematiker, dass eine Kurve eine derartig ‚zweideutige’ Dimensionierung aufweist?

Abb.:III/04 Beispiel einer Peano-Kurve. Die Kurve kann immer enger konstruiert werden, so dass sie letztlich die ganze Fläche vollständig ausfüllt, also eine 1-dimensionale Linie und zugleich eine Fläche ist.

(Vom Autor mit dem Programmpaket Winfunktion Mathematik Me2 – Lindemayr-System von bhv Software GmbH & Co. KG erstellt)

Das grafische Objekt musste eine Dimensionierung besitzen, die irgendwie zwischen 1 und 2 lag. War es möglich, dass es mit den Dimensionen doch nicht so eindeutig zuging, wie bisher angenommen? Musste man die Vorstellungen von den Dimensionen revidieren? Konnte es ‚gebrochene’ Dimensionierung geben? Die geplagten Mathematiker wussten sich nicht anders zu helfen, als die merkwürdigen, der konventionellen mathematischen Praxis widersprechenden Gebilde als unnatürliche Ausnahmen, mathematischen Ulk, als ‘Galerie von Ungeheuern’ (Poincaré) abzutun.

Wir sollten an dieser Stelle aber schon in unserem Gedächtnis die Erkenntnis parken: Mit einer geeigneten Vorschrift lässt sich ohne besondere Schwierigkeiten ein Objekt niedrigerer Dimensionalität in ein Objekt höherer Dimensionalität transformieren.

An der Universität zu Halle arbeitete zu jenen vergangenen Zeiten Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) an einer Mathematik, die später Mengenlehre genannt wurde. 1883 machte Cantor eine ganz merkwürdige ‚Menge’ öffentlich. Aus einem Zahlenintervall 0 bis 1 entfernte er das mittlere Drittel. Es blieben dann die Intervalle 0 bis 1/3 und 2/3 bis 1 mit jeweils der Länge 1/3 übrig. Dieser Vorgang wurde nun mit den verbleibenden Intervallen wiederholt. Cantor erhielt so eine Menge von Zahlen bestehend aus: 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9, 1/27, 2/27 ....

Die Cantor-Menge ist merkwürdig, aber so wenig aufregend, dass es am Merkwürdigsten erscheint, warum sie überhaupt erfunden wurde. Na und – kann man angesichts ihrer nur lässig fragen. Erst hundert Jahre später begann sich abzuzeichnen, dass sie wohl keineswegs eine bedeutungslose künstliche Konstruktion zu sein scheint, sondern in chaotischen dynamischen Systemen offensichtlich eine wichtige Hintergrundrolle spielt. In vielen realen Zusammenhängen taucht sie nämlich immer mal wieder auf.

1904 konstruierte der schwedische Mathematiker Helge von Koch (1870-1924) noch so eine merkwürdige Kurve, die zunächst auch nicht besonders aufregend war und an sich nicht sonderlich sensationell ist, wäre sie nicht einige Jahrzehnte später für einen anderen Wissenschaftler Inspiration für eine einfache Frage mit einer überraschenden Antwort gewesen. Koch entwarf eine ganz simple Kurven-Konstruktionsvorschrift, die an die Cantorsche Vorschrift angelehnt ist.

Man beginne mit einer geraden Linie bestimmter Länge. Diese zerlege man in drei gleiche Abschnitte. Den mittleren Teil schneide man heraus und ersetze ihn durch ein gleichseitiges Dreieck, dessen Grundlinie entfernt ist. Man erhält ein aus vier gleich langen Linien bestehendes Gebilde. Auf jede dieser Linien wird nun die gleiche Konstruktionsvorschrift angewandt. Je öfter man das tut, umso komplexer wird die Kurve.

In der Praxis wird man sich freilich irgendwann bremsen müssen; dann nämlich, wenn die Linien kürzer werden, als es das Auflösungsvermögen des Computers, des Zeichengerätes (oder das meiner Augen inklusive Brille) zulassen. Theoretisch kann man sich das Verfahren fortgesetzt denken, bis die Kurve nicht mehr aus Linien, sondern nur noch aus Ecken besteht. Eine Kurve, bestehend ausschließlich aus Ecken. Wenn das nicht merkwürdig ist?

Abb.:.III/06 Mit ein wenig Geschick in der Programmierung eines Computers kann man die Zacken der Koch-Kurve so anordnen, dass ein Gebilde entsteht, das eine gewisse Ähnlichkeit mit der zerklüfteten Küstenlinie einer Insel aufweist. Es ist zu betonen, dass das Gebilde nur durch mathematische Konstruktionvorschriften entsteht. Sind die Ähnlichkeiten mit der Natur zufällig? (Vom Autor mit dem Programmpaket Winfunktion Mathematik Me2 – Lindemayr-System von bhv Software GmbH & Co. KG erstellt)

1916/17 war es der polnische Mathematiker Waclaw Francicek Sierpinski (1882-1969), der mit einem weiteren Objekt auffällig wurde. Man nehme zur Abwechslung ein gleichseitiges Dreieck und verbinde die Mittelpunkte der drei Seiten miteinander. Das Ergebnis der einfachen Operation ist ein aus vier Dreiecken bestehendes Gebilde. Mit jedem der Dreiecke kann das Verfahren nun wiederholt werden. Im Verlauf einerAnzahl von Wiederholungen entsteht ein Muster der Selbstähnlichkeit bis in kleinste Skalen hinein.

Das Sierpinski-Dreieck, wie das Gebilde seit dem genannt wird, hatte allerdings einige historische Vorbilder. Künstler und Architekten waren es, die bereits lange vor den Mathematikern aus kreativ-ästhetischen Gründen solcherart Strukturen als Gestaltungselemente benutzt hatten. So weist z.B. die Kanzel der Ravello-Kathedrale Muster auf, die dem Sierpinski-Dreieck deutlich ähneln.

Die Abbildung III / 07 zeigt, wie in nur wenigen, hier sechs Schritten bereits ein recht komplexes Gebilde entsteht. Bereits bei diesen seltsamen Kurven und Dreiecken ist deutlich zu bemerken, wie sehr der Grad der Komplexität von der Anzahl der Operationen bzw. Iterationen abhängt.

Auch hier wird der Leser möglicherweise denken, dass sei doch lediglich formale Geometrie; wo ist da deterministisches Chaos? Es handelt sich aber um ein Fraktal, ein komplexes Gebilde mit gebrochenen Dimenionen.

Und man kann es erwürfeln. Tatsächlich: Ein ganz banaler Würfel, ein Blatt Papier und ein Stift reichen, um dieses Sierpinski-Fraktal zu erwürfeln. Die Vorschrift für diesen Würfel-Zeichenprozess ist höchst einfach.

Zeichnen Sie auf dem Papier ein Dreick mit den Ecken A, B und C. Markieren Sie dann in dem Dreick einen beliebigen Startpunkt. Jetzt würfeln Sie. Erwürfeln Sie eine 1 oder eine 2, gehen sie vom Startpunkt in Richtung Punkt A und markieren genau auf der Hälfte dieser Strecke wieder einen Punkt. Erwürfeln Sie 3 oder 4 Augen, gehen sie um die Hälfte der Strecke in Richtung B und bei 5 oder 6 Augen, Sie ahnen es wohl schon, in Richtung Punkt C. Die Prozedur wiederholen Sie mit jedem neuen, auf diese Weise gewonnenen Punkt. Allerdings werden Sie, wenn Sie zum Sierpinski-Fraktal gelangen wollen, viel Geduld aufbringen müssen. Aber schon nach etwa 500 mal würfeln, können Sie die Conturen des Sierpinski-Dreiecks schemenhaft erkennen und spätestens nach ca. 25.000 Würfelvorgängen sehen Sie es in voller Pracht.

(Das Erwürfeln des Siepinski-Dreieckes wird von verschiedenen Autoren leicht unterschiedlich beschrieben. Ich habe die von mir hier dargestellte Art nicht probiert. Mir waren schon 500 Würfelleien zu viel, von 25.000 gar nicht zureden. Was Sie in Abb.: III/07 sehen, habe ich am Computer mit einem Grafikprogramm "gezeichnet".)

Es ist trotzdem recht erstaunlich, dass man mit den Zufall eines Würfelspiels ein so komplexes Fraktal zeichnen kann, oder? Schließlich unterliegt es doch recht stark dem Zufall, ob ich eine 1 oder eine 3 oder eine 6 würfle. Wie kann denn da das Spierpinski-Dreieck entstehen?

Aber um Zufall handelt es sich gar nicht. Das Würfeln ist hier auch nur Mittel zum Zweck, nicht die Ursache für die Konstruktion. Die liefert die Vorschrift: Gehe von einem Punkt um die Hälfte der Strecke in Richtung Punkt ..., setze dort einen neuen Ausgangspunkt und gehe von dort wieder um die Hälfte der Strecke in Richtung Punkt ... usw.. Und wenn Sie gerade keinen Würfel zur Hand haben, erreichen Sie die Sierpinski-Struktur auch durch bloßes Zeichnen. Bei 25.000 Würfen ist der Zufall sowieso nicht mehr wirksam. Die große Zahl würde dafür sorgen, dass jede Würfelfläche so gut wie gleich oft oben liegen würde Die Würfelei ist daher lediglich ein kleines Spielchen.

Alles andere denn ein Spiel war jener historische Zusammenhang, der uns zu einem der wichtigsten Urheber der heute aktuellen Theorie dynamischer Systeme führt. Gaston Maurice Julia (1893-1978) diente, um sein Leben fürchtend, als französischer Soldat im 1. Weltvölkermorden. Das hinderte ihn nicht, immer wieder angestrengt und kreativ über die mathematischen Konsequenzen von Nichtlinearität und Iteration nachzudenken. Julia wurde schwer verwundet und musste mehrere Operationen erdulden. Im Krankenhaus setzte er zwischen Schmerzen und wohl auch depressiven Phasen (er war mit dem Verlust seiner Nase zeitlebens entstellt) seine Forschungen fort. Wenig später – 1917 – wurde er durch seine Veröffentlichungen ein unter den Mathematikern der Welt weltbekannter Mathematiker; aber auch nur wenige Jahre weiter entschwand sein Werk wieder in den mathematisch tiefen Tälern des Vergessens. Als farbenprächtige und faszinierende ‘Julia-Mengen’ in Computer-Darstellungen tauchten Julias Arbeitsergebnisse ab 1977 wieder auf und hinterlassen seitdem bei zehntausenden Betrachtern tiefe Eindrücke.

Das ist nun der Punkt, zwei für die moderne Chaostheorie außerordentlich wichtige Namen ins Spiel zu bringen. Der eine Name ist Benoit B. Mandelbrot (1924-2010) und der andere lautet ‚PC’ - Personal Computer.

Mandelbrot, in Polen geboren und mit den Eltern nach Frankreich gegangen, galt als mathematisch hochbegabt, versuchte sich studierenderweise in verschiedenen Wissenschaften, was ihm schon bald den Ruf eines höchst eigenwilligen, unsteten, unentschlossenen Menschen einbrachte. Er studierte u.a. Ingenieurwissenschaften, Aeronautik, schließlich Mathematik. Immerhin gehörten Gaston Julia und John von Neumann zu seinen Lehrern.

In seiner rastlos und ratlos erscheinenden Suche nach erfüllender Herausforderung geriet Mandelbrot an die Kurven-Monster Peanos und Kochs; an die von Cantor und Julia kreierten merkwürdigen Mengen. Im Gegensatz zur Masse der Wissenschaftler tat er die ‚Ungeheuer’ nicht als Ulk oder realitätsfremde Ausnahmen ab, sondern nahm sie ernst. Gewisse Ähnlichkeiten zwischen der nur aus Ecken bestehenden Koch-Insel und einer tatsächlichen Insel – die Küstenlinie Großbritanniens wird im nächsten Kapitel Gegenstand der Betrachtung sein – brachten Mandelbrot dazu, sich nun noch näher und ernsthaft mit der „Galerie der Ungeheuer” zu befassen. Und so stieß er wieder auf die Ergebnisse der mathematischen Forschungen Gaston Julias.

Einige Jahre zuvor hatte sein Onkel sich vergeblich bemüht, dem jungen Benoit die Julia-Mathematik schmackhaft zu machen. Der fand damals überhaupt keinen Zugang dazu, da ihm dieser Art Mathematik nicht so sehr gefiel. Ich kann das nachvollziehen, denn man muss wissen, dass sich Julia-Mengen ausschließlich in der so genannten komplexen Zahlenebene ‚austoben’. Der bei den Julia-Mengen und in ähnlichen Formalismen eine wichtige Rolle spielende Formelausdruck z = z2 + c sieht zwar harmlos aus, hat es aber richtig in sich. Z ist eine Zahl, die sich ändern kann, c eine gleichbleibende Zahl. Die Tücke aber besteht darin, dass es sich um komplexe Zahlen handelt, die jeweils aus einem Realteil und einem Imaginärteil bestehen. Imaginäre Zahlen vom Schlage Wurzel aus -x sind nun mal nicht jedermanns Sache. Meine auch nicht, obwohl ich in einem anderen Zusammenhang mit Vergnügen darauf zurückgreifen werde.

Jedenfalls fand Mandelbrot doch noch Zugang zu den Julia-Verfahren. Das ist auch einer besonderen Entwicklung zu danken. Mandelbrot wehrt sich zwar und wohl mit Recht gegen die Unterstellung, seine Leistung hätte er überhaupt nur einem besonderen historischen Umstand zu verdanken, aber dass Letzterer eine wichtige Rolle im Geschehen spielte und bis heute spielt, ist ebenso unbestreitbar.

Irgendwann in der zweiten Hälfte des vergangenen Jahrhunderts war nämlich die Computertechnik soweit fortgeschritten, dass man sie nicht nur für umfänglichste Rechenarbeiten verwenden konnte, sondern auch ihre Möglichkeiten der grafischen Darstellung entdeckte. Als man nun die Julia-Mengen in Computer-Grafiken umsetzte, trauten die Betrachter – und Mandelbrot war einer der ersten – ihren Augen kaum. Was sie da zu Gesicht bekamen, war keine Galerie der Ungeheuer, sondern vielmehr ganz bemerkenswerte Muster der Ordnung, voller Regelmäßigkeit und erstaunlicher Ästhetik. Die Bilder schienen, besonders als wenig später farbliche Darstellungen möglich waren, mehr die Werke begnadeter Künstler zu sein, denn die Ergebnisse stupider mathematischer Berechnungen nach vergleichsweise primitiven Vorschriften.

1925 hatte der deutsche Mathematiker Hubert Cremer (1897-1983) eine ausführliche und fundierte Arbeit über die Forschungen Julias und auch über die von Pierre Fatou (1878-1929), die dieser fast zeitgleich mit Julia realisiert hatte, veröffentlicht. Cremer war bemüht, das, was da bei der Iteration nichtlinearer rationaler Funktionen mathematisch geschieht, auch irgendwie grafisch zu veranschaulichen. (Abb.: III/08) Er musste das natürlich ohne Computer und ohne Taschenrechner bewältigen. Vergleicht man seine Zeichnungen mit den computergenerierten Grafiken wird erst richtig deutlich, welche Schönheit in Mathematik steckt und was wir darin entdecken können, wenn man die entsprechenden Technologien dafür zur Verfügung hat.

Abb.: III/08 Grafische Darstellungen der Iteration rationaler Funktionen von 1925 (Aus: Hubert Cremer; Über die Iteration rationaler Funktionen; Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung; 1925; Quelle Digi Zeitschriften e.V.; Göttingen)

Abb.: III/09 Julia-Menge in einer zeitgemäßen Computergrafik. Das ist nicht das Werk eines Künstlers, sondern ausschließlich das Resultat einer mathematischen Operation. (Vom Autor mit dem Programm Fractal, veröffentlicht in Graphics 2/93 der ROMWARE GmbH, Hamburg, erstellt)

Es ist die gleiche Mathematik, die den Abbildungen III/08 und III/9 zugrunde liegt, aber zwischen den beiden Arten der Darstellung liegen nicht nur Welten, sondern ganze Universen. Aber Achtung: Das Prinzip der inneren Selbstähnlichkeit ist auch bei den Zeichnungen Cremers bereits deutlich erkennbar. Wie berühmt aber wäre Gaston Julia wohl geworden, wie beeindruckend wären Cremers Erkenntnisse gewesen, wieviel früher und nachhaltiger hätten sie die Wissenschaftsentwicklung beeinflussen können, hätten sie ihre Berechnungen in tausenden Schritten sekundenschnell durch einen Computer realisieren und grafisch farbig darstellen lassen können?

Ich weiß, ‘was wäre wenn’ zu fragen, ist meistens sinnlos. Auch in anderen Wissenschaftsgebieten wären Erkenntnisse unter anderen Umständen anders möglich und wirkungsvoll gewesen. Aber wie kaum ein anderes Gebiet ist alles, was mit Iteration und Rekursion, mit Nichtlinearität und determiniertem Chaos zu tun hat, von Rechenkapazitäten abhängig und wird mit grafischer Darstellung erst anschaulich und begreifbar. Die Computertechnik eröffnete den Mathematikern völlig neue Wege, den ‚mathematischen Ungeheuern’ ihre aus der Unverständlichkeit und Unanschaulichkeit resultierende Bedeutungslosig- oder auch Bedrohlichkeit zu nehmen und die unter der Oberfläche der Merkwürdigkeit der Formalismen, Zahlen und Kurven schlummernde Schönheit und Ordnung zu entdecken.

Benoit B. Mandelbrot hat dazu ganz wesentlich beigetragen. Obwohl er nach eigenen Aussagen außerstande ist, einen Computer zu programmieren, begriff er die Potenzen der neuen Technik, die Mathematik der Nichtlinearität sichtbar und fasslich zu machen und nutzte diese Möglichkeiten konsequent. Was Mandelbrot und nach ihm viele andere mit Hilfe der nichtlinearen Mathematik auf die Computerbildschirme zauberten, war von eigenartiger Neuheit und doch auch wohlvertraut.

Da waren Bilder von Galaxien und sogar der großräumigen Galaxien-Verteilung, wie sie erst später von den Astronomen nach mühsamer Durchmusterung von Himmelsabschnitten erkannt werden konnten. Da waren bizarre Berglandschaften, Flusstäler, Mondkrater, fremdartige Planeten im Hintergrund vertrauter Meeresstrände, da waren Gebilde mit komplexen Verästelungen, wie sie die Mediziner im Kreislaufsystem, in den Neuronen des Gehirns oder dem System der Leber beim Menschen etwa kennen. Da erschienen auf den Bildschirmen Wolkengebilde und Pflanzen, ganze Bäume mit detaillierten Verästelungen, die unregelmäßigen Strukturen von Blitzen, die Muster von Eisblumen, wie sie sich in strengen Wintern an den Fenstern von Wohnungen bilden, die noch nicht vom zentral beheizten Zivilisationskomfort verwöhnt werden. Und das alles nur mit Hilfe mathematischer Formeln, mit Rekursion und Iteration!

Das Gebilde in Abb.: III/10 scheint die künstlerische Darstellung eines Baumes zu sein. Tatsächlich ist es eine Computergrafik, die auf mathematischem Wege erstellt und mit speziellen Computereffekten geringfügig bearbeitet wurde.

Abb.:III/10 Computergrafik nach mathematischen Vorschriften

Und dann erschien auch jenes Gebilde, das wie kein zweites Objekt der Wissenschaft weltweite Verbreitung, massenhafte Popularität und fasziniertes Staunen erzielte, kreatives Mittun herausforderte und zum Symbol der Wissenschaft vom Chaos wurde: Das ‚Apfelmännchen’. (Abb.: III/11)

Kreiert hat es B. B. Mandelbrot 1980. Es handelt sich um eine spezielle grafische Darstellung der nach ihrem Entdecker benannten M- oder Mandelbrot-Menge. Das in der Draufsicht plump-drollige Gebilde des Apfelmännchens entpuppte sich schnell als unerschöpfliche Quelle sehr filigraner und vielschichtiger Strukturen, die bis in die tiefsten Tiefen auf den verschiedensten Ebenen Selbstähnlichkeit und Ordnung repräsentieren.

Die Entwicklung der Computertechnik, genauer ihre schnell um sich greifende massenhafte Verbreitung als Gerät, das auch immer mehr für den privaten Hobby-Gebrauch geeignet und erschwinglich wurde, trug nicht nur zur Verbreitung des Apfelmännchen-Bildes bei. In vorher nie gekannter Art und in einem mit keinem anderen Wissenschaftszweig vergleichbaren Umfang beschäftigten sich Menschen, die nichts mit Wissenschaft zu tun und kaum etwas mit Mathematik im Sinn hatten, plötzlich mit einer wissenschaftlichen Theorie und ihren mathematischen Ansätzen. Natürlich wurden die Zehntausende, die den heimischen PC farbenfrohe Apfelmännchen und Julia-Grafiken zeichnen ließen, keine Forscher und auch keine Fachleute in Chaostheorie. Aber bemerkenswert ist diese bis dahin einmalige Sache schon.

Abb.: III/11 Eine der berühmten Apfelmännchen-Grafiken. Der Darstellung liegt die einfache Formel z = z^2 + c zu Grunde. Ist das noch nur Mathematik oder schon die Begegnung mit einem Objekt einer aus der Mathematik resultierenden Wirklichkeit? (Vom Autor mit dem Programm Mandel24, veröffentlicht in Graphics 2/93 der ROMWARE GmbH, Hamburg, gefertigt)

Ich erinnere mich noch gut, wie ich damals, weil überall darüber geredet und geschrieben wurde, krampfhaft auf der Jagd nach einem Apfelmännchen-Programm war. Schließlich fand ich in einer Computerzeitschrift einen langen Artikel über die theoretischen und mathematischen Zusammenhänge und auch ein entsprechendes Programm, das ich in stundenlanger Arbeit in den Computer eingab. Mein geliebter alter C64 brauchte zwar locker Rechenzeiten von gut vier oder fünf Stunden und mehr, wenn die Bilder einigermaßen ansehnlich sein sollten, aber die Faszination, die von diesen geheimnisvollen Strukturen und der Beschäftigung mit dem Thema ausging, war ganz unglaublich.

Ich denke, die Ehe von Chaostheorie und Computertechnik, die relativ einfachen mathematischen Formalismen, die mittels Iteration und Rekursion und geschickter Programmierung zu phantastisch anmutenden Bildern führten, hatten etwas für die Geschichte der Wissenschaft bisher Einmaliges an sich. Weltweit und massenhaft beschäftigten sich Amateure, vielleicht nicht sehr tiefgehend, aber immerhin, mit einer neuen wissenschaftlichen Denkweise und hatten noch viel Spaß dabei. Als die Theorie vom Chaos sich gerade aufmachte, eine Theorie werden zu wollen, kam sie der breiten Masse der Computerfreaks vielfach und zunächst als eine Art Unterhaltungsmathematik daher.

Vielleicht hat das auch bei vielen Wissenschaftlern das Misstrauen und die Ignoranz gegenüber der Theorie vom Chaos erzeugt oder doch verstärkt. Eine Theorie mit hohem Unterhaltungswert, zu der auch Menschen mit nicht mehr als Allgemeinwissen Zugang finden, kann wahrscheinlich in den Augen hochgebildeter Wissenschaftler einfach nicht wissenschaftlich bedeutsam sein; Wissenschaft ist etwas von Spezialisten für Spezialisten; und Mathematik kann nur für die Spezialisten ein Vergnügen sein, für Laien und allgemeingebildete Amateure muss sie gefälligst, wenn sie Wissenschaft sein will, unverständlich und eine Qual sein. So dachte wohl mancher der Wissenschaffenden angesichts besonders des Apfelmännchen-Booms.

Es besteht der Verdacht, es könnte auch heute häufig noch so sein. In nicht wenigen Bereichen der modernen Wissenschaft sieht es ganz so aus, als wäre Verständlichkeit und Zugänglichkeit schon sehr verdächtig unwissenschaftlich, als würde die Unverständlichkeit immer wieder potenziert und kultiviert. Das nährt in mir die Vermutung, zu oft ginge es im heutigen Wissenschaftsbetrieb weniger um Wissen, mehr um die Genugtuung, als Wissender zu erscheinen, der auf die Masse der Unwissenden, ja selbst schon auf die Kollegen anderer Fachbereiche in hoch spezialisiertem Fach-Chinesisch unverständlich einreden und dabei huldvoll herablächeln kann.

Aber das hier nur nebenbei.

Die gebrochenen Dimensionen

Die Koch-Kurve kann man, wie oben gezeigt, so konstruieren, dass sie dem Betrachter wie eine Insel mit unzähligen größeren und kleineren Buchten und Halbinseln vorkommt. Das brachte Mandelbrot auf die Idee, eine simple Frage zu stellen, die heute in keiner Veröffentlichung über die Chaostheorie fehlen darf: 'Wie lang ist die Küstenlinie von Großbritannien?' Mandelbrots Antwort lautete ebenso unerwartet wie unglaubhaft: Die wirkliche Küstenlinie Großbritanniens muss von unendlicher Länge sein.

Kommt Ihnen, verehrter Leser, die Mandelbrotsche Antwort nicht auch komisch vor? Das kann doch unmöglich stimmen. Gut, verschiedentlich sind Angaben über Längen und Größen recht verschieden. Fehler kommen überall vor. Gut, Mandelbrot konnte damals darauf verweisen, die Länge der Grenze zwischen Spanien und Portugal würde von spanischer Seite mit 987 km, von den Portugiesen aber mit 1214 km angegeben. Auch variiert die Küstenlänge Großbritanniens in offiziellen Nachschlagewerken irgendwo zwischen 7200 und 8000 km. Aber das sind relativ ‚kleine’ Ungenauigkeiten. Vielleicht haben die Landvermesser zu verschiedenen Zeiten mit unterschiedlicher Präzision gemessen. Es ist ja auch gar nicht so einfach, zu entscheiden, ob eine Flussmündung als Küstenlinie erfasst wird und wenn ja, wie weit flussaufwärts? Und wurde die Vermessung nun bei Ebbe oder bei Flut vorgenommen? Aber bei all diesen Unsicherheiten und zu erwartenden Ungenauigkeiten, deshalb ist die Küste ja noch lange nicht unendlich lang, oder?

Mandelbrots Antwort auf die selbst gestellte Frage erschließt sich als glaubhaft und logisch, wenn man sich vor Augen führt, mit Hilfe welcher Messmethoden man die Länge der Küste bestimmen kann. Ich wollte es wissen und selbst eigenhändig messen. Die Küste Old Englands abzuschreiten, war mir aber dann doch zu zeitraubend. Viel einfacher und schneller geht es, wenn ich die Linie auf einer möglichst detaillierten Karte Zentimeter für Zentimeter ausmesse, ehrlich bemüht, die verschiedenen Buchten, Landzungen und andere Unregelmäßigkeiten angemessen zu erfassen.

Also nahm ich eine Karte Großbritanniens und einen Stechzirkel zur Hand. Zunächst stellte ich den Zirkel entsprechend dem Maßstab der Karte so ein, dass eine Zirkelspannweite einer Strecke in der Natur von 100 km entsprach. Ich musste damit allerdings sehr großzügig messen, konnte ungezählte Halbinseln, Buchten und Biegungen der Küste nicht so richtig erfassen und die Ungenauigkeit meiner Messung war schnell klar. So wunderte ich mich auch wenig, als ich auf eine Küstenlänge von gerade mal 3100 km kam. Armes kleines England. Ich stellte nun den Zirkel auf 45 km Schrittweite ein. Die Messung war jetzt zwar mühsamer, aber mit Genugtuung stellte ich fest, dass ich nun sehr viel mehr Details der zerklüfteten Küste erfassen konnte. Ich kam auf eine Länge von 4960 km. Schließlich stellte ich den Zirkel auf die kleinste Schrittweite ein, die seine Konstruktion ermöglichte. Damit konnte ich nun Strecken von nur 30 km erfassen. Jetzt war die Küste schon 5820 km lang. Allerdings gebe ich zu, dass diese Messung meine Geduld schon auf eine harte Probe stellte, der ich wohl nicht durchgängig gewachsen war, weshalb an einigen Punkten die Schätzung über die exakte Messung triumphierte.

Immerhin zeigte mir mein kleines Experiment, wie sehr es vom Messverfahren und vom gewählten Maßstab abhängt, welche Länge ich tatsächlich messe. Will ich genauer messen, muss ich eine Karte benutzen, die möglichst viele Details zeigt und ich muss meinen Messmaßstab möglichst klein halten. Je kleiner der Maßstab, umso größer die Genauigkeit und umso länger die Küste. In Millimetern zu messen wird mehr Genauigkeit bringen, als die viel schnellere Zentimeter-Messung.

Zu allem Überfluss weiß ich auch noch um die Ungenauigkeit, die sich aus der Projektion der gekrümmten Fläche der Erde auf die ebene Fläche einer Kartendarstellung ergibt.

Wie wäre es also, wenn ich eine 1 : 1 - Darstellung Großbritanniens benutze, also in die Realität gehe? Auch da stellt sich allerdings schnell die Frage nach dem Maßstab. Benutze ich nun ein 10-m-Maßband, einen 2-m-Zollstock oder ein 30-cm-Lineal? Je nach meiner Wahl wird auch die Genauigkeit meiner Messung ausfallen. Dem kann ich entgehen, indem ich auf der Küstenlinie Messpunkte festlege und die Entfernungen zwischen diesen Punkten trigonometrisch oder elektronisch recht genau bestimme. Das schleudert mich aber nun in ein weiteres Problem. Wo genau platziere ich meine Messpunkte. Gehe ich großzügig vor und setze sie in km- oder 100 m - Abständen, platziere ich sie in Meter- oder gar nur in Zentimeter-Entfernungen. Muss ich nur jeden Felsbrocken berücksichtigen, oder auch jeden Stein, jedes Sandkörnchen? Und warum soll ich da mit der Genauigkeit meiner Messungen schon zufrieden sein. Was ist mit der Ebene der Moleküle? Messe ich nicht viel genauer, wenn ich in den Dimensionen gar der Atome, der Elementarteilchen, der Quarks, der Feldquanten messe? So wie ich die Koch-Kurve unendlich verkleinern kann, bis sie nur noch aus Ecken besteht, kann ich mir die Küstenlinie Großbritanniens auf immer kleineren Maßstab denken, bis sie letztlich tatsächlich unendlicher Länge sein muss. Das war die Überlegung Mandelbrots.

Der Leser wird sich schon seit einigen Sätzen fragen, was die Küstenlinie Großbritanniens und meine Messversuche denn mit dem Weltbild der Physik zu tun haben. Geduld, es wird sich gleich erschließen.

Bevor die Engländer angesichts der gewaltigen Länge der Küstenlinie ihrer Insel dem Größenwahn verfallen, auf den wir Deutschen ältere Rechte haben, die uns allerdings von den US-Amerikanern inzwischen deutlich abgejagt wurden, muss betont werden, dass dieserart Unendlichkeit der Länge nicht nur für die Küste Großbritanniens, sondern für alle Küstenlinien, für Längen überhaupt gilt.

Das aber ist ein ziemliches Dilemma. Großbritannien wäre dann also gleicher Größe wie Kuba, Rügen oder Helgoland; schlimmer noch: Luxemburg und Liechtenstein wären nicht kleiner als das große Deutschland und gar als die USA nebst Militärstützpunkten und Flugzeugträgern. Das darf schon gar nicht sein, wie es nicht sein kann, überhaupt alle Längen, Flächen und Rauminhalte als gleicher, nämlich unendlicher Größe anzusehen. Nicht nur, dass die Objekte so nicht mehr miteinander vergleichbar wären, sie wären vor allem nicht mehr unterscheidbar.

Wie kann man sie doch unterscheiden, fragte sich Mandelbrot. Die Antwort auf diese Frage war ebenso neu, wie wiederum ungewöhnlich. Sie unterscheiden sich, behauptete Mandelbrot, in ihrer fraktalen Dimension.

Damit sind wir nun bei dem wohl unkonventionellsten und unverständlichsten Kapitel der Chaostheorie, der fraktalen Geometrie. Wichtige Vorarbeiten, die Mandelbrot den Schritt zu den Fraktalen ermöglichten, hatte Felix Hausdorff (1868-1942) geleistet, der 1942 seiner unmittelbar bevorstehenden Deportation in ein Konzentrationslager der deutschen Faschisten nur durch den Freitod entgehen konnte. Hausdorffs 1919 veröffentlichte Arbeit war eine gute Basis für den Mandelbrotschen Ansatz. Er hatte bereits Vorstellungen von gebrochenen Dimensionen ausgearbeitet.

Der Begriff des Fraktalen ist aus dem lateinischen Wort frangere abgeleitet, das soviel wie ‚brechen’ bedeutet. Auch ein Bezug zur Bedeutung des Wortes ‚Fragment’ wäre nicht falsch. Gemeint ist mit fraktaler Dimension jedenfalls, dass man bei bestimmten Linien, Flächen, Körpern auf eine solche Komplexität (oder Kompliziertheit) stößt, dass ihre Messung bzw. Berechnung nicht mehr mit beliebiger Genauigkeit möglich, ihre Dimension nicht mehr eindeutig bestimmbar ist.

Mandelbrot hatte die Idee, solchen komplexen Objekten gebrochene, eben fraktale Dimensionen zuzuordnen. Das hätte schon so etwas wie ein Schock für die Mathematiker sein können. Diese taten sich ohnehin sehr schwer mit dem Dimensionsbegriff. Die Mathematiker verwenden jedoch ganz verschiedene Formen von Dimensionen, etwa zehn an der Zahl – zehn Arten, nicht Dimensionen. Nun kam Mandelbrot daher und erfand auch noch eine gebrochene Dimension. Die Aufregung unter den Mathematikern war jedoch zunächst nicht groß. Vielleicht war Mandelbrots Idee nicht verrückt genug, vielleicht maß die Masse der Mathematiker der aufbrechenden Theorie mit den gebrochenen Dimensionen ohnehin nicht viel Bedeutung bei, vielleicht empfanden sie die zerbrochenen Dimensionen auch nur als einen neckischen Gag.

Uns Nichtmathematikern erscheinen gebrochene Dimensionen unverständlich. Wie soll ich mir denn eine zerbrochene Dimension vorstellen. Was genau mit der fraktalen Dimension gemeint ist, wird von den Wissenschaftlern in den für Nichtwissenschaftler gedachten Veröffentlichungen ohnehin wie ein süßes Geheimnis behandelt und selten genau erklärt. Die Küste Großbritanniens hat die fraktale Dimension 1,26 – habe fertig. Oder hat sie eine von 1,36 – wie es anderswo zu lesen ist? Jedenfalls hat sie eine gebrochene Dimension und das ist bedeutsam genug. Wenn sie sich zu näheren Erläuterungen herablassen, dann ergehen sich die Experten in seltsamen Behauptungen über die Dimension eines Wollknäuels oder in dem Bild eines zerknitterten Blatt Papiers, hinterlassen damit aber mehr fraktale, denn aufgeklärte Leser.

Wenn ich die Idee mit den gebrochenen Dimensionen richtig verstanden habe, dann ist damit in etwa folgendes gemeint: Eine Länge, ebenso ein Fläche oder ein Rauminhalt, nimmt auf einer immer kleineren Skala immer mehr zu. Das war bei meinem Messexperiment deutlich genug geworden. Der Grad dieser Größenzunahme steht in Beziehung zum Maßstab. Ich muss also bei der Bestimmung der fraktalen Dimension berücksichtigen, in welchem Maß eine Größe, z.B. die gemessene Länge, relativ zur Veränderung des Messmaßstabes zunimmt. Die für die fraktale Dimension stehende Zahl ergibt sich als Quotient aus Größenzunahme und Veränderung des Messmaßstabes.

In eben dieser Beziehung drückt sich der Grad der Komplexität des betreffenden Objektes aus. Je komplexer ein Objekt ist, oder je zerklüfteter die Küste Großbritanniens, umso schneller wird die Länge der Küstenlinie oder Länge, Fläche, Volumen eines anderen Objektes bei immer kleineren Maßstäben anwachsen. Wenn die Chaostheoretiker also von der fraktalen Dimension eines Objektes sprechen, meinen sie nicht eine irgendwie geteilte/gebrochene konventionelle Dimension, sondern den Grad der Komplexität des Objektes, errechnet als Quotient von Größenzunahme und Mess-Maßstabsveränderung. Das ist natürlich recht abstrakt. Eine gebrochene Zahl mag ja die Komplexität eines Objektes repräsentieren, aber so richtig anschaulich wird mir diese damit auch nicht.

Die Erfindung der fraktalen Dimension durch Mandelbrot war dennoch die Initialzündung für die stürmische Entwicklung eines neuen Zweiges der Mathematik, der fraktalen Geometrie. Mit den Fraktalen erhielt das Chaos plötzlich ein Gesicht, und das war voller Schönheit, konnte Strukturen und Muster aufweisen. Die fraktale Geometrie ermöglichte jetzt die Erfassung und sogar Visualisierung von Strukturen und Mustern, die sich im Verlauf oder als Endpunkt der dynamischen Komplexität chaotischer Prozesse herstellen. Ihre Basis waren strenge Logik und mathematische Exaktheit.

Das konnten die Physiker nun nicht mehr ignorieren. Aus der anfänglichen Skepsis und auch offenen Ablehnung des Chaos als Gegenstand wissenschaftlicher Forschung wurde nun, sicher auch beeinflußt von der Begeisterung der Massen, wachsendes ernsthaftes Interesse. Die Physiker begannen sich der Theorie zu nähern, indem sie sich intensiver und systematischer den komplexen Strukturen und dynamischen chaotischen Prozessen widmeten. Und wie es so ist, wenn da ein Feld auftaucht, für das eine breite Fangemeinde bereits vorhanden ist, stürzten sich die Wissenschaftler nahezu mit Wollust darauf. Nun griff der Optimismus und die Euphorie auch unter großen Teilen der Physiker um sich.

Und plötzlich fiel eine Invasion von Fraktalen über die Menscheit her, sie fanden sich buchstäblich überall. Innere Strukturen der Nieren, Blutgefäßsysteme, Gehirn, Leber, Lungen, bei bestimmten Lebewesen sogar die Nasenknochen, aber auch Pflanzen, Blumenkohl z.B., Gebirgslandschaften, Flussmündungen und viele andere Erscheinungen und Systeme der Natur wurden nun als Fraktale identifiziert. Das ist auch berechtigt. Es sieht tatsächlich so aus, als könne die Chaostheorie recht anschaulich und in mehr als nur vagen Ansätzen erklären, wie und warum es der Natur gelingt, die verschiedenen, außerordentlich komplexen Muster und Strukturen hervorzubringen. Fraktale Merkmale zeigen sich in der ganzen Natur, in der belebten wie der unbelebten. Fraktale gibt es auf allen Ebenen, vom großräumigen Anblick der Galaxienverteilung im Universum bis zu physiko-chemischen Molekül-Prozessen oder der Brownschen Bewegung der Atome. Mit Hilfe der fraktalen Geometrie kann man die Ausbreitung von Waldbränden untersuchen, Verfahren zur Bildcodierung und -komprimierung realisieren und verschiedene selbstähnliche Wachstumsprozesse erklären. Fraktale überall.

Ohne größere Schwierigkeiten kann man z.B. mit Hilfe einer einfachen mathematischen Beziehung, natürlich von Rekursion und Iteration und einer kleinen Vorschrift, wie der Computer mit den errechneten Werten umzugehen hat, auf dem Computerbildschirm eine Zeichnung entstehen lassen, wie sie in Abb.: III / 12 gezeigt wird. Die Ähnlichkeit mit einem Farn ist unübersehbar. Auch zeigt die Grafik anschaulich das Prinzip der Selbstähnlichkeit.

Abb.: III/12 Darstellung eines ‚fraktalen Farns’ ausschließlich mit Mathematik

(Das Programm, mit dem der Autor dieses Bild erstellte, ist an das im Buch „Bausteine des Chaos“ von Peitgen, Jürgens und Saupe, Rowohlt Taschenbuch Verlag GmbH, beschriebene Programm Chaos-Spiel angelehnt)

Kritiker der Chaostheorie bemerkten trotzdem bald schon gehässig, zwischen den mathematischen Computer-Fraktalen und den komplexen Strukturen der Natur würden ja wohl immer noch unübersehbare Unterschiede bestehen. Die mit den Computern erzeugten Fraktale waren meist recht gleichmäßig, bei aller Komplexität wie mit Zirkel und Lineal konstruiert, man sah ihnen die Künstlichkeit und die Mathematik an. Komplexe Strukturen der Natur dagegen weisen stets Unregelmäßigkeiten auf. Sie können einander gleichen, aber eine jede besitzt auch immer individuelle Merkmale. Selbst komplexe Strukturen der unbelebten Natur weisen solche ‚individuellen’ Merkmale, Besonderheiten, Abweichungen von der Regelmäßigkeit auf. Fraktale der Natur sind lebendige, Fraktale der Computer tote Komplexität.

Diesem Einwand begegneten die Chaosforscher schnell und wirksam. Als sie die Computerprogrammierer dazu anhielten, in den iterativen Abläufen zur Erzeugung fraktaler Bilder immer mal wieder den elektronischen Zufallsgenerator einzuschalten, wurde die Kritik etwas gedämpft. Die so erzeugten Fraktale ähnelten den natürlichen Strukturen erstaunlich auffällig. Sie hatten nun auch individuelle Züge, Unregelmäßigkeiten, Abweichungen von der Gleichmäßigkeit.

Längst ist klar: Mit Hilfe der fraktalen Geometrie und der aus ihr resultierenden Visualisierung der Ergebnisse chaotischer Dynamik ist es möglich, Bilder von Mustern und Strukturen zu erzeugen, die denen der Natur frappierend ähnlich sehen. Es stellt sich allerdings die Frage, ob es sich dabei nicht doch nur um gelungene, aber mathematische Fälschungen der Wirklichkeit oder um erstaunlich gute Nachbildungen natürlichen Geschehens handelt, während die Natur sich nicht unbedingt nach den Prinzipien der fraktalen Geometrie organisieren muss. Aber irgendeinen Zusammenhang zwischen der nichtlinearen Mathematik und den Prozessen in der Natur muss es wohl geben, wenn die mathematischen Gebilde so auffällige Ähnlichkeiten mit Objekten der Realität aufweisen. Und warum soll die Natur nicht die fraktale Geometrie beherrschen?

Allerdings ist das so eine Sache mit den Dimensionen. Diese beschäftigen die Mathematiker seit Langem und immer wieder. Es hat sich längst gezeigt, dass es nicht so einfach ist, klar zu definieren, was eine Dimension ist und welche Eigenschaften man ihr zubilligen muss. Die Mathematiker gehen ziemlich selbstverständlich mit mehreren, verschiedenen Dimensionen um, deren Anwendung auf ein bestimmtes Objekt nicht immer eindeutig zu entscheiden ist. So gibt es auch verschiedene Versionen der fraktalen Dimension. Sie können beim gleichen Objekt zu unterschiedlichen Ergebnissen führen, je nachdem für welche Dimension man sich entscheidet. Es ist leicht zu sagen, die fraktale Dimension eines Objektes sei soundso. Ob man die Selbstähnlichkeits-Dimension, die Zirkel-Dimension oder die Box- Dimension anwendet, muss nicht, aber kann zu unterschiedlichen Ergebnissen führen. Die mit diesen verschiedenen Dimensionen verbundenen Vorstellungen und mathematische Formalismen im Einzelnen zu erläutern, würde hier zu weit führen und mich auch irgendwo überfordern, denn da haben schon professionelle Mathematik-Spezialisten ihre Schwierigkeiten. Nur soviel:

Von der Zirkel-Dimension haben wir schon eine bestimmte Vorstellung gewonnen. Aus dem Anwachsen der Küstenlänge Großbritanniens bei Verkleinerung der Zirkelschrittweite können die Mathematiker die Komplexität der Küstenlänge mathematisch ausdrücken. In der Zirkel-Dimension hat die Küste Großbritanniens die

Impressum

Texte © Copyright by
Dieter Gluschke Leipziger Straße 43/1704 10117 Berlin d-gluschke@t-online.de

Bildmaterialien © Copyright by
Dieter Gluschke

Alle Rechte vorbehalten.

http://www.neobooks.com/ebooks/d-g--berlin-weltbilder-sind-zeitbilder-ebook-neobooks-AWJJnmLvnUUXdZUaO9Fq

ISBN: 978-3-7427-4480-7