Grundlagen der Elektrotechnik

Grundlagen der Feldtheorie

von

Prof. Dr.-Ing. Michael Koch

Prof. Dr.-Ing. Joachim Patzke

Version 4.0

Grundlagen der Elektrotechnik – Grundlagen der Feldtheorie

Michael Koch, Joachim Patzke

Copyright: © 2021 M. Koch;J. Patzke

Benutzungshinweise zum eBook

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Inhalt

1       Felder 1

1.1     Physikalische Felder 1

1.2     Zeitlicher Verlauf der Felder 2

1.3     Arten von Feldquellen. 3

1.4     Darstellung von Feldern. 3

2       Elektrisches Feld und Strömungsfeld. 4

2.1     Allgemeine Zusammenhänge. 4

2.2     Stromdichte und Strom.. 4

2.2.1         Beispiel 1. 5

2.2.2         Aufgabe 1. 7

2.3     Vorgehen bei Widerstandsberechnungen. 8

2.3.1         Aufgabe 2. 8

2.3.2         Aufgabe 3. 8

2.4     Ladungserhaltungssatz. 9

2.5     Verhalten der Stromdichte an Grenzflächen. 11

2.5.1         Aufgabe 4. 12

2.6     Coulombkraft 13

2.7     Elektrische Feldstärke. 13

2.7.1         Beispiel 2. 14

2.7.2         Coulombintegral 15

2.8     Das elektrische Potential 17

2.8.1         Aufgabe 5. 18

2.9     Verschiebungsflussdichte und Gaußscher Satz. 19

2.9.1         Beispiel 4. 20

2.9.2         Aufgabe 6. 21

2.9.3         Aufgabe 7. 22

2.10      Kapazität 22

2.10.1      Vorgehen bei Kapazitätsberechnungen. 24

2.10.2      Beispiel 5. 24

2.10.3      Aufgabe 8. 25

2.10.4      Platten-, Zylinder- und Kugelkondensator 26

2.11      Kapazitäten in Schaltungen. 26

2.12      Parallel- und Reihenschaltung von Kapazitäten. 29

2.12.1      Parallelschaltung. 29

2.12.2      Reihenschaltung. 30

2.12.3      Aufgabe 9. 32

2.12.4      Aufgabe 10. 32

2.12.5      Aufgabe 11. 32

2.12.6      Aufgabe 12. 33

2.12.7      Zusammenschaltung geladener Kondensatoren. 33

2.12.8      Beispiel 6. 33

2.12.9      Aufgabe 13. 34

2.12.10       Aufgabe 14. 34

2.13      Verhalten an Grenzflächen. 35

2.13.1      Verschiebungsflussdichte an Grenzflächen. 35

2.13.2      Elektrische Feldstärke an Grenzflächen. 36

2.13.3      Brechungsgesetz der elektrischen Feldgrößen. 37

2.13.4      Längsgeschichtete Dielektrika. 37

2.13.5      Quergeschichtete Dielektrika. 39

2.13.6      Aufgabe 15. 40

2.13.7      Aufgabe 16. 41

2.13.8      Aufgabe 17. 41

2.14      Energie im elektrostatischen Feld. 42

2.14.1      Aufgabe 18. 43

2.14.2      Aufgabe 19. 43

3       Magnetfeld. 44

3.1     Historie. 44

3.2     Beobachtungen bei Magnetfeldern. 44

3.3     Feld eines Dauermagneten. 46

3.3.1         Feldlinienbild. 46

3.3.2         Magnetischer Dipol 47

3.3.3         Ursache des Magnetfelds. 47

3.4     Magnetfeld stromdurchflossener Leiter 48

3.4.1         Kraftwirkung zweier paralleler Leiter 48

3.4.2         Aufgabe 20. 51

3.4.3         Aufgabe 21. 52

3.4.4         Kraftwirkung auf eine bewegte Ladung. 52

3.4.5         Aufgabe 22. 53

3.4.6         Halleffekt 53

3.4.7         Überlagerung von Magnetfeldern. 55

3.5     Magnetische Feldstärke und Durchflutungsgesetz. 56

3.5.1         Magnetische Feldstärke. 56

3.5.2         Durchflutungsgesetz. 56

3.5.3         Beispiel 7. 57

3.5.4         Elektrische Durchflutung. 58

3.5.5         Die magnetische Spannung. 58

3.5.6         Beispiel 8. 59

3.5.7         Aufgabe 23. 61

3.5.8         Aufgabe 24. 61

3.5.9         Aufgabe 25. 62

3.6     Materie im Magnetfeld. 63

3.6.1         Dia- und Paramagnetismus. 64

3.6.2         Ferromagnetismus. 65

3.6.3         Aufgabe 26. 67

3.7     Verhalten an Grenzflächen. 67

3.8     Der magnetische Fluss. 68

3.8.1         Beispiel 9. 69

3.8.2         Aufgabe 27. 70

3.9     Magnetische Kreise. 70

3.9.1         Berechnung magnetischer Kreise. 71

3.9.2         Beispiel 10. 72

3.9.3         Einflussgrößen bei magnetischen Kreisen. 74

3.9.4         Aufgabe 28. 77

3.9.5         Vereinfachte Berechnung für konstante Permeabilität 78

3.9.6         Aufgabe 29. 80

3.10      Induktionsgesetz. 81

3.10.1      Bewegungsinduktion. 82

3.10.2      Beispiel 11: Bewegter Leiter – Teil 1. 83

3.10.3      Beispiel 12: bewegter Leiter – Teil 2. 84

3.10.4      Ruheinduktion. 85

3.10.5      Richtungszuordnung der Induktionswirkung. 86

3.10.6      Beispiel 13. 86

3.10.7      Aufgabe 30. 87

3.10.8      Flussverkettung. 87

3.10.9      Richtungszuordnung in der Netzwerkmasche. 88

3.11      Selbstinduktion und Selbstinduktivität 90

3.11.1      Beispiel 14. 91

3.11.2      Aufgaben 31. 92

3.11.3      Aufgabe 32. 92

3.12      Energie im Magnetfeld. 93

3.13      Gegeninduktion und Gegeninduktivität 93

3.13.1      Aufgabe 33. 95

3.13.2      Aufgabe 34. 95

3.13.3      Das Vorzeichen in Maschengleichungen. 96

3.13.4      Aufgabe 35. 99

4       Anhang. 100

4.1     Verwendete Formelzeichen. 100

4.2     Abbildungsverzeichnis. 101

4.3     Tabellenverzeichnis. 102

4.4     Literaturverzeichnis. 103

4.4.1         Skriptum.. 103

4.4.2         Weiterführende Literatur 103

1      Felder

1.1   Physikalische Felder

Ein physikalisches Feld ist ein besonderer Zustand des Raumes, der durch physikalische Größen beschrieben werden kann. Nachgewiesen wird ein Feld durch seine Wirkung auf einen Probekörper. Der Probekörper darf dabei das Feld nicht stören und damit verfälschen. Dies ist ein großes Problem bei Feldmessungen.

Felder können wie folgt unterteilt werden.

Physikalische Felder

Skalarfelder

Vektorfelder

Jedem Punkt des Raumes wird eine skalare physikalische Größe zugeordnet

Jedem Punkt des Raumes wird ein Vektor (Betrag und Richtung) zugeordnet.

Beispiel: Temperatur

Beispiel: Elektrisches und magnetisches Feld

Vektorfelder sind komplexer als Skalarfelder. Man muss mit 3 Funktionen statt mit nur einer rechnen.

Manche Vektorfelder lassen sich jedoch aus einem Skalarfeld ableiten. Man kann daher mit dem „einfacheren“ Skalarfeld arbeiten und erst zum Schluss aus dem Skalarfeld das gesuchte Vektorfeld berechnen. Das übergeordnete Skalarfeld nennt man dann ein Potential des Vektorfeldes, das Vektorfeld wird auch als Potentialfeld bezeichnet. Das elektrische Feld Text lässt sich zum Beispiel aus dem elektrischen Potential Text ableiten.

1.2   Zeitlicher Verlauf der Felder

Man unterscheidet die folgenden Zeiteigenschaften elektrischer und magnetischer Felder.

Statisch:

Keine Bewegung, alle Ladungen sind in Ruhe. Die Anordnung ist verlustlos, das Feld bleibt ohne weitere Energiezufuhr erhalten.

Beispiel: Elektrostatisches Feld (z.B. Plattenkondensator)

Stationär:

Ladungen bewegen sich, die Bewegung ändert sich aber nicht mit der Zeit. Treten Verluste auf, so ist ständige Zufuhr von Energie notwendig, um das Feld aufrecht zu erhalten.

Beispiel: Strömungsfeld bei Gleichstrom

Quasistationär:

Im elektrischen Sinn langsam veränderliche Felder, die sich ähnlich wie stationäre Felder behandeln lassen.

Beispiel: Strömungsfeld bei 50 Hz Wechselstrom

Schnellveränderliche Felder:

Felder in der Hochfrequenztechnik. Energie kann nach außen abgestrahlt werden.

Beispiel: Wellenausbreitung (Licht)

1.3   Arten von Feldquellen

Man unterscheidet die folgenden Feldarten

Quellenfelder

Wirbelfelder

Die Feldlinien treten aus den Quellen aus und verschwinden in den Senken. Sie haben Anfang und Ende.

Die Feldlinien sind in sich geschlossen und haben weder Anfang noch Ende

Beispiel: Elektrostatisches Feld

Beispiel: Magnetfeld

1.4   Darstellung von Feldern

Mit zunehmender Komplexität (2-/3-dimensional, Skalar-/Vektorfeld) wird die grafische Darstellung von Feldern schwieriger und erfordert ein zunehmend hohes Maß an Abstraktions- und Vorstellungsvermögen [ 3 ].

2      Elektrisches Feld und Strömungsfeld

2.1   Allgemeine Zusammenhänge

Schon in der Gleichstromtechnik [ 1 ] wurden die meisten physikalischen Größen des elektrischen Felds für homogene Felder und stationäre Vorgänge eingeführt. Für den Fall beliebiger Feldverteilungen und zeitveränderlicher Vorgänge bedürfen die beschriebenen Zusammenhänge einer allgemeingültigen Erweiterung. Diese liegt im Wesentlichen darin, dass fundamentale Größen wie Strom, Spannung und Ladung nicht mehr durch einfache Multiplikation, sondern durch Integration berechnet werden müssen.

Tabelle 2-1 Größen des el. Felds

Physikalische

Größe

Einheit

Homogen /

stationär

Inhomogen /

zeitveränderlich

Spannung

Strom

Widerstand

Ladung

2.2   Stromdichte und Strom

Der Strom durch eine Fläche A berechnet sich als Flächenintegral der Stromdichte.

( 2-1 )

Ist die Stromdichte ungleichmäßig über einen Leiterquerschnitt verteilt (z.B. durch den Skineffekt), dann kann u.U., je nach analytischer Beschreibung der Verteilung, das Integral gelöst werden.

Verallgemeinerte Problemstellungen zu symmetrischen Basisanordnungen (Kugelsymmetrie, Zylindersymmetrie) sind oft so angelegt, dass bei entsprechender Bezugsfläche (Kugeloberfläche, Zylindermantel) der Betrag der Stromdichte über dieser Fläche konstant ist. In diesen Fällen vereinfacht sich das Stromdichteintegral wieder zu einer einfachen Multiplikation

( 2-2 )

2.2.1  Beispiel 1

Ein Hochspannungsmast ist mit einem ideal leitfähigen, halbkugelförmigen Erder versehen. Durch einen Defekt kommt es zu einem Kurzschluss, bei dem der Kurzschlussstrom I K ins Erdreich abfließt. Das Strömungsfeld bildet sich dabei ausschließlich in radialer Richtung im Erdreich aus.

a)  Wie groß sind Stromdichte Text und elektrische Feldstärke Text im Erdreich?

b)   Wie groß ist für die Fälle:

     1. Nasse Erde: Text

2. Trockene Erde: Text

die Schrittspannung U S, wenn ein Unglücklicher mit einem Fuß direkt auf der Kante des Erders bei r = r 0 steht und die Schrittweite s = 1 m beträgt, so dass der zweite Fuß bei r = r 0 + 1 m aufsetzt?

Lösung:

a)   Wählt man als Integrationsfläche für die Stromdichte eine Halbkugelfläche mit dem Radius r, so hat die Stromdichte an jedem Ort den gleichen Betrag und ist immer parallel zum Flächennormalenvektor.

Das Skalarprodukt wird zu einem Produkt von Skalaren, die für gleiches r konstante Stromdichte kann vor das Integral geschrieben werden und das Integral über die Halbkugelfläche ergibt den bekannten Ausdruck für die halbe Kugeloberfläche.

Stellt man die Gleichung nach der gesuchten Stromdichte um, ergibt sich

Für die Feldstärke folgt

b)   Die Spannung wird aus dem Wegintegral der Feldstärke berechnet. Der Integrationsweg in radialer Richtung ist parallel zu Text und somit wird auch hier das Skalarprodukt zu einem Produkt von Skalaren.

Einsetzen der Zahlenwerte:

2.2.2  Aufgabe 1

In einem Experiment soll in einem koaxialen, rohrförmigen Durchlauferhitzer Wasser durch direkten Stromdurchgang erwärmt werden.

Berechnen Sie bei gegebenem Strom I die Stromdichte in Abhängigkeit vom Radius unter der Annahme, dass die Feldlinien exakt radial verlaufen.

2.3   Vorgehen bei Widerstandsberechnungen

Für die Berechnung des Widerstands einer Anordnung ist allgemein wie folgt vorzugehen:

·        Den Strom I zunächst als gegeben annehmen.

·    Die Stromdichte S mittels Text bzw. Text berechnen.

Der qualitative Feldverlauf muss bekannt sein.

·    Die elektrische Feldstärke Text berechnen.

·    Die Spannung Text zwischen den Klemmen der Anordnung berechnen.

·     Schließlich den angenommenen Strom I über Text eliminieren.

Einfache Anordnungen können gegebenenfalls auch auf Reihen- oder Parallelschaltungen von Widerständen zurückgeführt werden.

2.3.1  Aufgabe 2

Berechnen Sie den Widerstand der Anordnung in Aufgabe 1.

2.3.2  Aufgabe 3

Der gegebene Zylinderausschnitt wird von einen Strom I durchflossen. Die vordere und die hintere Fläche sind ideal leitfähige Kontakte.

a)   Bestimmen Sie allgemein den Widerstand R.

b)   Berechnen Sie R konkret für die gegebenen Werte.

2.4   Ladungserhaltungssatz

Die Ladung ist eine Erhaltungsgröße, d.h. sie ändert sich in physikalischen Prozessen nicht. Betrachtet man ein bestimmtes Raumgebiet, so ist die Differenz aus ab- und zufließendem Strom gleich der zeitlichen Abnahme der in der Hülle des Raumgebiets eingeschlossenen Ladung Qe (Abbildung 2-1).

Abbildung 2-1 Ladungserhaltung in einem Raumgebiet

Es gilt der Ladungserhaltungssatz (Kontinuitätsgleichung):

( 2-3 )

Der Konvention entsprechend zeigt der Flächennormalenvektor des geschlossenen Volumens nach außen. D.h. für den Fall

( 2-4 )

fließt Ladung aus dem Raumgebiet ab. Andernfalls fließt Ladung dem Raumgebiet zu.

Befindet sich das Strömungsfeld ausschließlich in elektrischen Leitungen und ist dort homogen über den Querschnitt verteilt (Abbildung 2-2), gilt:

( 2-5 )

Abbildung 2-2 Ladungserhaltung bei konzentrierten Leitungen

Und damit

( 2-6 )

Für eine Anfangsladung Q 0 und Gleichströme I j gilt gemäß Beispiel (nach Gl. ( 2-4 ) zählen herausfließende Ströme positiv):

( 2-7 )

Im stationären Strömungsfeld sind die Ströme über der Zeit konstant. Es ist unmittelbar einsichtig, dass die Summe der Knotenströme gleich Null sein muss, da sonst der Betrag der eingeschlossenen Ladung gemäß Gl. ( 2-7 ) unbegrenzt wachsen würde.

Es gilt daher der Knotensatz:

( 2-8 )

Da die rechte Seite der Gleichung Null ist, kann die Zuordnung des Vorzeichens zur Zählpfeilrichtung beliebig gewählt werden.

2.5   Verhalten der Stromdichte an Grenzflächen

Zur Beschreibung des Verhaltens beim Durchgang des Strömungsfelds durch die Grenze zwischen zwei Gebieten unterschiedlicher Leitfähigkeit wird der Stromdichtevektor in eine Normal- und eine Tangentialkomponente zerlegt. Es seien die sehr kleine Volumina (Δx ∙Δy ∙Δz) beiderseits der Grenze betrachtet, innerhalb derer das Strömungsfeld als homogen angenommen werden kann (Abbildung 2-3).

Abbildung 2-3 Stromdichte an der Grenzfläche zweier Leitungsgebiete

Unter der Voraussetzung konstanter Raumladungsdichte gilt gemäß Ladungserhaltungssatz

( 2-9 )

Auf das betrachtete Raumgebiet angewendet ergibt sich

( 2-10 )

Und somit

( 2-11 )

→      An der Grenzfläche zwischen Gebieten unterschiedlicher Leitfähigkeit ist die Normalkomponente der Stromdichte stetig.

2.5.1  Aufgabe 4

Gegeben ist eine halbkreisförmige Scheibe der Dicke d. Sie besteht aus zwei Bereichen mit den unterschiedlichen Leitfähigkeiten κ 1 und κ 2. Die Innen- und Außenleiter sind ideal leitend. Der Innenelektrode wird der Strom I zugeführt, der zur Außenelektrode abfließt.

a)   Berechnen und zeichnen Sie die Stromdichte und die elektrische Feldstärke als Funktion des Radius.

b)   Berechnen Sie allgemein den Widerstand zwischen Innen- und Außenelektrode.

c)   Berechnen Sie R konkret für folgende Werte:

2.6   Coulombkraft

Die elektrische Kraftwirkung auf zwei punktförmige, geladene Körper wurde bereits in der Einführung zur Gleichstromtechnik [ 1 ] als Coulombkraft vorgestellt und wie folgt mathematisch beschrieben:

( 2-12 )

mit

Q 1, Q 2

Punktförmige Ladungen im Raum

Permittivität (Dielektrizitätskonstante) des freien Raumes

Stoffabhängige relative Permittivität

ε r Luft = 1,0006 ≈ 1

Permittivität eines Stoffs

r 12

Abstand zwischen Q 1 und Q 2

Vektor in Richtung von Q 1 nach Q 2 mit der Länge 1.

Sind mehr als zwei Punktladungen gegeben, kann die Gesamtkraft auf eine Ladung im Punkt P aus der Überlagerung der Einzelkräfte berechnet werden:

( 2-13 )

2.7   Elektrische Feldstärke

Die von Ladungen Q j hervorgerufene Kraft auf eine punktförmige Ladung Q P im Raum kann auch als Wirkung eines elektrischen Feldes interpretiert werden das von den Quellladungen Q j erzeugt wird. Die Ladung Q P dient dem Nachweis des elektrischen Feldes und wird als Probeladung q bezeichnet.

Abbildung 2-4 Elektrische Feldstärke der Quellladungen

( 2-14 )

Die elektrische Feldstärke

( 2-15 )

in einem Raumpunkt P ist nur eine Funktion der Quellladungen und deren Koordinaten.

2.7.1  Beispiel 2

Gegeben ist eine positive Punktladung Q im Ursprung.

a)   Berechnen Sie allgemein das elektrische Feld in Kugelkoordinaten.

b)   Wie groß ist für Q = 10⁻⁸ C und Text die Kraft auf eine Probeladung q = 10⁻⁹ C im Abstand von r P = 10 cm zum Ursprung?

Lösung:

a)   Da nur eine Quellladung vorhanden ist und sich diese im Ursprung befindet, vereinfacht sich der Ausdruck für die Feldstärke zu

Text.

In Kugelkoordinaten ist Text und Text und damit einfach

b)   Selbst lösen.

2.7.2  Coulombintegral

Oft ist nicht das Feld diskreter Ladungen, sondern kontinuierlicher Verteilungen von Interesse (Abbildung 2-5). Das Superpositionsprinzip lässt sich auf diesen Fall wie folgt erweitern. In einem Raumgebiet mit der Ladungsdichte

( 2-16 )

befindet sich in einem kleinen Volumen die Ladung

( 2-17 )

Abbildung 2-5 Von einer kontinuierlichen Ladungsverteilung verursachte Feldstärke

Das von diesem Volumen verursachte elektrische Feld berechnet sich zu

( 2-18 )

Diese Gleichung bezeichnet man als Coulombintegral für kontinuierliche Ladungsverteilungen im Raum. Darüber hinaus können Ladungen auch auf Flächen oder Linien lokalisiert sein. Man spricht dementsprechend von

Raumladungsdichte

( 2-19 )

Flächenladungsdichte

( 2-20 )

Linienladungsdichte

( 2-21 )

2.8   Das elektrische Potential

In der Einführung zur Gleichstromtechnik [ 1 ] wurde bereits festgestellt, dass die Spannung zwischen zwei Punkten gleich der Differenz ihrer Potentiale ist:

( 2-22 )

Das Potential φ B eines beliebigen Raumpunktes bestimmt sich demzufolge als

( 2-23 )

wobei φ A ein frei wählbares Bezugspotential ist.

Oft wählt man das Erdpotential oder einen Punkt im Unendlichen als Bezug und setzt dort das Bezugspotential φ 0 zu Null.

Verbindet man alle Punkte gleichen Potentials so erhält man die sogenannten Äquipotentialflächen. Bei zweidimensionalen Anordnungen spricht man von Äquipotentiallinien.

Zwei benachbarte Punkte P₁ und P₂ haben genau dann gleiches Potential, wenn gilt:

( 2-24 )

Abgesehen von dem trivialen Fall Text trifft dies dann zu, wenn Text und Text senkrecht aufeinander stehen.

→      Äquipotentialflächen/-linien sind immer senkrecht zum elektrischen Feld und zum Strömungsfeld (Text). Der Normalenvektor weist an jeder Stelle einer Äquipotentialfläche in Richtung des elektrischen Feldes. Ideale Leiter (Text) sind wegen Text immer Äquipotentialflächen/-linien.

Da für die Spannung nur die Potentialdifferenz relevant ist, muss das Ergebnis der Integration unabhängig vom Weg sein (z.B. Weg 1 und 2 in Abbildung 2-6) und die Integration über einen geschlossenen Weg, von A nach B und wieder zurück (z.B. Weg 1 und 3 in Abbildung 2-6), immer Null ergeben.

( 2-25 )

Dies entspricht dem Maschensatz bei Netzwerken.

Abbildung 2-6 Äquipotentialflächen und Integrationswege in einem beliebigen Raumgebiet

2.8.1  Aufgabe 5

Gegeben ist die Anordnung aus Beispiel 2.

a)   Berechnen Sie das elektrische Potential. Nutzen Sie die Konvention φ(∞) = 0.

b)   Welches sind die Äquipotentialflächen im Raum? Zeichnen Sie in der x-y-Ebene einige Feldlinien und die Schnittlinien der Äquipotentialflächen mit der Ebene.

2.9   Verschiebungsflussdichte und Gaußscher Satz

Ladungen sind die Quellen des elektrischen Feldes. Die von den Quellladungen hervorgerufene elektrische Feldstärke bestimmt die Wirkung des Feldes – nachweisbar durch die Kraft auf eine Probeladung – in Abhängigkeit vom vorhandenen Dielektrikum.

Gemäß der Vorstellung, dass es auch eine ausschließlich die Ursache beschreibende Feldgröße gibt, definiert man die Verschiebungsflussdichte

( 2-26 )

Man erhält als Integral der Verschiebungsflussdichte über eine geschlossene Hüllfläche die eingeschlossene Ladung.

( 2-27 )

Diese Beziehung gilt allgemein, auch für kontinuierliche Raumladungsverteilungen und wird als Gaußscher Satz bezeichnet.

Der Gaußsche Satz kann bei einfachen Geometrien zur Feldberechnung genutzt werden. Bei geeigneter Bezugsfläche (Kugeloberfläche, Zylindermantel) vereinfacht sich das Integral zu einer einfachen Multiplikation:

( 2-28 )

Allgemein bezeichnet man das Flächenintegral

( 2-29 )

als elektrischen Verschiebungsfluss. Ist die Fläche eine geschlossene Hülle gemäß Gl. ( 2-27 ), dann spricht man auch vom Hüllenfluss

( 2-30 )

2.9.1  Beispiel 4

a)   Berechnen Sie mit Hilfe des Gaußschen Satzes die Verschiebungsflussdichte und die elektrische Feldstärke für:

1) Eine Punktladung Q im Ursprung.

2) Eine Hohlkugel um den Ursprung mit dem Radius r K und der Gesamtladung Text auf der Oberfläche.

b)   Berechnen und skizzieren