Colección Ton y Son

Coordinación de Difusión Cultural

Dirección General de Publicaciones y Fomento Editorial

Fundamentos teóricos de la

música atonal

Hebert Vázquez

Universidad Nacional Autónoma de México

2020

Contenido

Introducción

Definiciones básicas

Relaciones entre conjuntos

Operaciones con segmentos

Operaciones con conjuntos de c.a. y definiciones relacionadas

Contenido interválico e invariancia

Redes de transformaciones

Análisis de obras

Apéndice 1

Apéndice 2

Notas

Bibliografía

Aviso legal

Introducción

La teoría de la música atonal se ha venido desarrollando durante casi cincuenta años en los países anglosajones, particularmente en Estados Unidos. Su fundador, el compositor y teórico norteamericano Milton Babbitt, la concibió inicialmente como un método axiomático, de estricto carácter científico, que favoreciera el acercamiento analítico riguroso y sistemático al repertorio dodecafónico de la escuela de Arnold Schoenberg. En una serie de artículos paradigmáticos escritos durante la década de 1950, Babbitt establece las bases matemáticas de su método, que se fundamentan principalmente en las teorías de grupos y de conjuntos. Aunque los trabajos de Babbitt son esencialmente teóricos, pronto abren el camino a una abundante literatura analítica que penetra en el pensamiento estructural dodecafónico mucho más allá del tradicional método de “conteo de serie”, que limitaba el análisis musical a la localización y clasificación de las diferentes operaciones seriales utilizadas en la obra. Posteriormente, en la década de 1970, el teórico norteamericano Allen Forte implanta el concepto de complejos de conjuntos, o colecciones de clases de alturas no ordenadas, que extiende el campo de acción de la teoría hacia el ámbito de la música atonal no dodecafónica (si bien el trabajo analítico del propio Forte se concentra principalmente en la música atonal predodecafónica). Aunque el objeto de estudio de la teoría de la música atonal ha sido primordialmente el de las relaciones estructurales generadas a partir de la altura, también se han llevado a cabo esfuerzos por integrar de manera sistemática a otros parámetros musicales como la duración, el ritmo, la textura, etc. En la actualidad, y gracias al empeño de teóricos de la talla de David Lewin, Robert Morris y John Rahn, por nombrar sólo a unos cuantos, la teoría de la música atonal se ha consolidado como una de las aportaciones más significativas al pensamiento teórico-analítico musical del siglo XX.

No obstante que en los últimos 30 años la teoría de la música atonal ha producido un enorme acervo de literatura teórico-analítica y se ha instalado firmemente en los planes de estudio de la enseñanza musical profesional, sobre todo en los países anglosajones, en México es aún prácticamente desconocida.1 El principal objetivo de este libro es contribuir a remediar dicho rezago. Aunque el presente trabajo puede ser leído perfectamente en forma individual, ha sido concebido para su empleo como libro de texto en cursos teóricos y analíticos a nivel de posgrado, por lo que su tratamiento formal puede plantear al lector ciertas exigencias. De ninguna manera quisiera con esto desalentar su uso en entornos académicos menos especializados o como simple lectura de placer; por el contrario, se ha invertido un esfuerzo considerable para hacerlo accesible. Es con este propósito, por ejemplo, que se ha ubicado la información matemática más abstracta en las notas, salvo cuando ésta resulta indispensable para la formulación de un concepto esencial. Además el libro cuenta con un compendio de definiciones y operaciones matemáticas básicas, el apéndice 1, cuyo propósito es evitarle al usuario la molestia de consultar obras especializadas en la materia. El propio texto remitirá oportunamente al lector a dicho apéndice, si bien se le exhorta a hacerlo siempre que lo considere pertinente. Finalmente se ha incluido un número importante de ejemplos gráficos y musicales que complementan todos los procedimientos o definiciones expresados en forma abstracta, “aterrizándolos” intuitivamente.

Existen varios aspectos en los que esta obra se diferencia de la mayoría de los textos anglosajones de su tipo. Por supuesto el más relevante es quizás la importancia que se da al repertorio musical mexicano, en los ámbitos de ejemplificación teórica y analítico. Sin embargo, a esto hay que agregar una clara inclinación por la música compuesta en la segunda mitad del siglo XX, preferentemente en el transcurso de los últimos 20 años. Lo anterior obedece a una convicción personal acerca de la necesidad urgente de acercar la aventura creativa de nuestro tiempo a un espacio de reflexión académica. Es por eso que se ha evitado conferir un peso excesivo al estudio de la música dodecafónica, como suele ser el caso en este tipo de obras, optándose por asociarlas a nociones teóricas más amplias, sobre todo en los capítulos 3 y 5, en lugar de dedicarles un capítulo propio. A lo que sí se ha destinado un capítulo entero, el segundo, es al examen de las relaciones entre conjuntos, tema de gran potencial analítico al que, sin embargo, los libros de texto anglosajones no parecen conceder una importancia prioritaria. Por razones pedagógicas, las operaciones con segmentos (capítulo 3) preceden en este texto a las que involucran a conjuntos (capítulo 4). Efectivamente, el hecho de que (los elementos de) los primeros se encuentren ordenados facilita considerablemente el manejo de operaciones cuando se las enfrenta por primera vez. Un aspecto novedoso del libro es que introduce, si bien someramente, el tema de las redes de transformaciones en el capítulo 6. Hasta donde tengo entendido, esta herramienta teórico-analítica, desarrollada por David Lewin no figura en algún otro texto de teoría atonal general. También me he permitido proponer una nueva notación para expresar las alturas e intervalos en uno de los dos espacios generadores, el espacio-a. Ésta es la única contribución teórica original del libro.

Los primeros cinco capítulos son exclusivamente teóricos, con algún exabrupto analítico ocasional, y exhiben un orden progresivo de complejidad. Lamentablemente los conceptos simples y directos del primer capítulo se ven de alguna manera empañados por la formalización, algo más compleja que exige la nueva notación propuesta. Sin embargo estoy suficientemente convencido acerca de las bondades de la misma, como para asegurar que a la larga su aplicación es capaz de recompensar el esfuerzo invertido por el lector. El sexto capítulo inicia con una muy breve exposición teórica general, en el punto 6.1, después de la cual se concentra en la exploración de dos casos analíticos particulares. El séptimo y último capítulo es exclusivamente analítico y ofrece al lector una perspectiva práctica de la aplicación de las herramientas obtenidas en los capítulos teóricos, dentro de contextos estructurales amplios como, digamos, el de una pieza o movimiento completos. Afortunadamente no es un requisito contar con el total de la información teórica para abordarlo, sino que el lector es avisado cuando ya cuenta con la información suficiente para acometer cualquiera de sus tres análisis.

AGRADECIMIENTOS

Agradezco profundamente a Arturo Érdely su colaboración en las definiciones matemáticas relacionadas con la nueva notación de alturas e intervalos en el espacio-a, así como sus aportaciones en torno a la red de transformaciones y relaciones del capítulo 6. También ha resultado imprescindible la contribución de Julio Vargas, quien llevó a cabo la definición formal de los operadores dodecafónicos en el espacio-a, empleando la nueva notación, y dio los toques finales a la representación de alturas e intervalos, tomando como punto de partida el trabajo que yo había realizado previamente en colaboración con Arturo Érdely. Agradezco, asimismo, el apoyo proporcionado por el Consejo Nacional para la Cultura y las Artes (Conaculta), por medio del Sistema Nacional de Creadores de Arte (SNCA), del cual soy Creador Artístico.

Definiciones básicas
1.1. Espacio de alturas

En este capítulo discutiremos el parámetro de la altura, o frecuencia, así como los tipos de relaciones interválicas susceptibles de ser generadas a partir del mismo, dentro del sistema temperado. Para ello, primero será necesario definir dos tipos de espacios generadores que fijarán reglas de comportamiento a partir de las cuales las alturas y sus relaciones interválicas podrán ser formalizadas, y que servirán de marco referencial para la futura interpretación teórico-analítica del material musical. El primero que estudiaremos es el espacio de alturas, o espacio-a. Se trata del espacio lineal tradicional de alturas dividido en 12 sonidos por octava, en el cual cada sonido se encuentra a distancia de semitono con respecto del sonido inmediato inferior y superior, como en la escala cromática. Dos axiomas definen la altura en el espacio-a: la equivalencia enarmónica y la no equivalencia de octava. El que la equivalencia enarmónica se encuentre activa significa, por ejemplo, que el Fa índice 5, el Mi sostenido índice 5 y el Sol doble bemol índice 5 son equivalentes, lo que denotaremos como “F5 ≡ E#5≡Gbb5”; lo mismo sucede con F#3 ≡ Gb3, D7 ≡ Ebb7, etc. El que la equivalencia de octava permanezca inactiva significa, por ejemplo, que D5 D6 (el Re índice 5 y el Re índice 6 no son equivalentes), Ab2 Ab7, D#5 Eb3, etc.

Apéndice 1: Para una definición elemental de la relación de equivalencia en lógica, véase punto A1.1.

1.2. La altura en el espacio-a

En el espacio-a (espacio de alturas), las alturas son representadas por medio de números enteros, positivos y negativos. Debido a que el intervalo entre alturas contiguas dentro la escala cromática es siempre constante en el sistema temperado, se le asignará el valor de la diferencia mínima entre dos enteros (el número 1) a la diferencia mínima entre dos alturas (el semitono, en la teoría tradicional).

Se ha convenido que el C5 (el Do central) reciba el valor 0. Toda altura que se encuentre por debajo de dicho Do será clasificada con un número negativo que corresponderá a la cantidad de semitonos descendentes que la separen del 0, mientras que toda altura ubicada por encima del mismo recibirá un número positivo determinado por el número de semitonos ascendentes que la separen del 0.

EJEMPLO 1

REPRESENTACIÓN NUMÉRICA DE LAS ALTURAS EN EL ESPACIO-A

En el ejemplo 2 se pueden observar las propiedades de equivalencia enarmónica y no equivalencia de octava, características del espacio-a, expresadas por medio de notación musical y números enteros.

EJEMPLO 2

a) Equivalencia enarmónica

b) No equivalencia de octava

Si bien a primera vista puede parecer complejo tener que asignar un número entero a cada frecuencia audible de la gama cromática, existen dos factores que, en la práctica, lo facilitan considerablemente. En primer lugar, hay que considerar que, con excepción de las alturas comprendidas dentro del índice 5, no será necesario memorizar, sino calcular, los números correspondientes a las diversas alturas. En segundo lugar, el procedimiento para localizar numéricamente una altura determinada es muy simple, por lo cual se puede realizar mentalmente.

Para localizar alturas con números positivos se toma como referencia al 0 (o Do 5) y se le suman n veces 12 (el intervalo de la octava), hasta mapearlo con el Do que comparta el mismo índice acústico con la altura que se desee obtener (“mapear” significa transformar un objeto en otro por medio de una operación determinada), y se le suma el intervalo simple correspondiente. Si se quiere localizar el Ab7, por ejemplo, llevamos a cabo la siguiente suma: 0 (C5) + 12 + 12 (dos octavas) = 24 (C7); 24 + 8 (intervalo de sexta menor) = 32 (Ab7). Para obtener, por ejemplo, el Eb6: 0 + 12 = 12 (C6); 12 + 3 (intervalo de tercera menor) = 15 (Eb6) (ver la tabla con la representación numérica de los intervalos simples que aparece en el ejemplo 3).

Para localizar alturas con números negativos también se tomará como referencia al 0, al cual se le sumará n veces -12 hasta mapearlo en el Do que se ubique un índice acústico por encima de la altura que se desee obtener, y se le restará el intervalo simple correspondiente. Para localizar el F3, por ejemplo, llevamos a cabo la siguiente operación:

0 + (-12) = -12 (C4); -12 + (-7) (intervalo de quinta justa) = -19 (F3). Si se desea obtener, por ejemplo, el D4: 0 + (-10) (intervalo de séptima menor) = -10 (D4).

Apéndice 1: Reglas referentes a las operaciones de suma y resta de enteros positivos y negativos, ver punto A1.3.

1.3. Tipos de intervalos del espacio-a

Un intervalo, como ya se ha señalado, representa la distancia o espacio entre dos alturas, medida en semitonos y expresada en números enteros. Indicar los intervalos en forma numérica nos permite evitar la nomenclatura tradicional, que fue concebida para expresar la lógica tonal. Por ejemplo, los términos como “tercera menor” o “mayor” hacen alusión a los modos correspondientes, así como a los grados de la escala diatónica (una tercera es un intervalo que recorre tres grados de la escala diatónica), dos referencias carentes de significado en el contexto atonal.

En el ejemplo 3 aparece una tabla con los intervalos simples (los que no superan el ámbito de la octava) y su representación numérica correspondiente. Por su importancia, se aconseja memorizarlos.

EJEMPLO 3.

Intervalos simples

El espacio-a es capaz de generar dos tipos de intervalos: el intervalo ordenado, en el que se enfatiza la dirección, ascendente o descendente, del mismo, y el intervalo no ordenado, que mide el espacio absoluto entre dos alturas.

1.4. Intervalo ordenado

El intervalo ordenado se utiliza únicamente para medir la distancia entre alturas no simultáneas. Si tenemos dos alturas x e y, de tal manera que y se presente después de x, podemos definir el intervalo ordenado entre x e y como i.a. <x, y> = y - x. La abreviatura i.a. significa “intervalo de altura” o, lo que es lo mismo, un intervalo que se localiza en el espacio-a. Los símbolos “<·>” indican que la información que contienen se encuentra ordenada de izquierda a derecha; en este caso, se trata de un orden cronológico.

Si al realizar la resta y – x obtenemos un número positivo, significa que el intervalo entre x e y es ascendente; si el resultado es un número negativo quiere decir que el intervalo es descendente, y si da cero estamos ante un sonido repetido. Estos tres casos se encuentran incluidos en el ejemplo 4.

EJEMPLO 4

CLASIFICACIÓN DE INTERVALOS ORDENADOS ENTRE ALTURAS (NO SIMULTÁNEAS)

Encima del pentagrama se indica el intervalo ordenado que relaciona a cada par de alturas; óbservese que, excepto por el 0, todos los intervalos van acompañados de un signo, incluso el intervalo ascendente localizado en a). De acuerdo con nuestra definición de intervalo ordenado, tenemos que en a) i.a.<5, 8> = 8 - 5 = +3; en b) i.a.<-3, -22> = -22 - (-3) = -22 + 3 = -19; en c) i.a.<1, -1> = -1-1 = -1 + (-1) = -2; en d) i.a.<31, 31> = 31 -31 = 0.

1.5. Intervalo no ordenado

El intervalo no ordenado se utiliza para medir la distancia absoluta entre dos alturas, por lo que el orden (cronológico) de éstas o la dirección (ascendente o descendente) del intervalo no son considerados en su aplicación. Dadas dos alturas x e y que sean real o conceptualmente simultáneas, entonces x - y e y - x producirán el mismo resultado, por lo cual se ignorará el símbolo numérico negativo (-), que necesariamente producirá alguna de las dos operaciones (por ejemplo, 3 - 2 = 1, mientras que 2 - 3 = -1), y se indicará el intervalo entre x e y con el símbolo de más/menos (±) o la notación de valor absoluto (|·|). De esta manera, el intervalo no ordenado entre las alturas x e y puede definirse como i.a.{x, y} = |y - x|. Aquí, las llaves ({·}) indican que los elementos que contienen no se encuentran ordenados, a diferencia de lo que ocurre con los ángulos (<·>). Nótese que la definición de intervalo no ordenado se deriva de la de intervalo ordenado, ya que i.a.{x, y} = |y - x| = |i.a.<x, y>|.

Apéndice 1: Definición de valor absoluto de un número, ver punto A1.2.

EJEMPLO 5

CLASIFICACIÓN DE INTERVALOS NO ORDENADOS ENTRE ALTURAS SIMULTÁNEAS Y NO SIMULTÁNEAS

En el ejemplo 5 a) tenemos las alturas simultáneas 6 y 14; de acuerdo con nuestra definición de intervalo no ordenado, 14 - 6 = |+8| ≡ 6 - 14 = |-8|, por lo que ambos resultados se representan simplemente como el intervalo no ordenado |8|.

En b) tenemos que 23 - 12 = |+11| ≡ 12 - 23 = |-11|, por lo que el intervalo no ordenado entre las alturas simultáneas 12 y 23 será |11|. Como se comentaba anteriormente, también la distancia entre alturas no simultáneas se puede expresar por medio de intervalos no ordenados, si se considera a dichas alturas como conceptualmente simultáneas, tal y como ocurre en c) y d).

En el ejemplo 6 podemos ver el uso de intervalos no ordenados en un fragmento de una pieza de Dallapiccola.

EJEMPLO 6

USO VERTICAL DE INTERVALOS NO ORDENADOS (LUIGI DALLAPICCOLA, QUADERNO MUSICALE DI ANNALIBERA, PARA PIANO: Nº 7-ANDANTINO AMOROSO E CONTRAPUNTUS TERTIUS, C. 1-4)

Los intervalos no ordenados nos revelan que el pasaje está construido sobre una estructura palindrómica casi perfecta a nivel de las díadas armónicas (ver las líneas de correspondencia debajo del ejemplo). El único punto de rompimiento del diseño simétrico, que aparece señalado con una línea de puntos, es producto de la inversión del intervalo de la quinta díada (la inversión de |7| es |5|, ya que |7| + |5| = |12|, que es el intervalo no ordenado que representa a la octava). 2 Es interesante observar que, como consecuencia del rompimiento del diseño simétrico, todas las díadas de la segunda parte del palíndroma se erigen sobre un intervalo no ordenado diferente.

En el ejemplo 6 se utilizaron los intervalos no ordenados para explorar pares de alturas simultáneas; en el siguiente ejemplo se establece una comparación entre el uso de intervalos ordenados y no ordenados en la catalogación de alturas lineales contiguas.

EJEMPLO 7

USO LINEAL DE INTERVALOS ORDENADOS Y NO ORDENADOS

En el ejemplo 7 podemos ver un pequeño fragmento para violín. Debido a que el objetivo aquí es clasificar alturas lineales, los intervalos entre alturas simultáneas producto del uso de dobles cuerdas en los compases 2, 3 y 4 son ignorados. Se puede apreciar en este análisis comparativo que, si bien ambos tipos de intervalos expresan con igual precisión la distancia entre alturas adyacentes, el intervalo ordenado se caracteriza por reflejar el contorno lineal, mientras que el intervalo no ordenado se concentra en la distancia absoluta entre alturas inmediatas.

1.6 Espacio de clases de alturas

El espacio de clases de alturas, o espacio-c.a., es circular y contiene solamente 12 clases de sonidos. Esto se debe a que tanto la equivalencia enarmónica como la equivalencia de octava se encuentran activas (recordemos que en el espacio-a solamente la equivalencia enarmónica se encontraba activa). Al activarse la equivalencia de octava, automáticamente deja de ser operativo el concepto de registro.

1.7. La altura en el espacio-c.a.

Para entender la organización de las alturas en el espacio-c.a., será necesario definir primero el concepto clase. Las clases de equivalencia en lógica se utilizan para reunir o clasificar proposiciones con el mismo significado, a las cuales se considera, por lo tanto, equivalentes. Por ejemplo, si tenemos la proposición p = Son las doce y media, la clase de equivalencia de dicha proposición podrá incluir, entre otras, a las proposiciones q = Dentro de cinco minutos serán las doce treinta y cinco; r = Son las doce treinta; s = Hace tres horas y media eran las las nueve; t = Dentro de treinta y cinco minutos serán las trece horas con cinco minutos, ya que p ≡ q, p ≡ r, p ≡ s, p ≡ t.

En el espacio-c.a., cada clase de altura representa la colección de aquellas alturas que son enarmónicamente equivalentes y/o se encuentran a distancia de una o más octavas. De esta manera, el espacio-c.a. genera 12 clases de equivalencias:

Cada conjunto, que representa una clase de equivalencia, contiene puntos suspensivos en sus dos extremos, lo que indica que su contenido es potencialmente infinito. Toda altura perteneciente a una clase de equivalencia se encuentra relacionada por medio del intervalo +12 (la octava ascendente), con la altura adyacente ubicada a su derecha. Asimismo, todas las alturas contenidas en un mismo conjunto son consideradas equivalentes; de esta manera tenemos, por ejemplo, que -36 ≡ -12 ≡ 48 ≡ 0 ≡ 12 ≡ -24.

Dado que cada clase de equivalencia contiene un número potencialmente infinito de alturas, es conveniente designar a una sola altura como su representante. El conjunto de representantes de las 12 clases de equivalencias disponibles en el espacio-c.a. será {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7, 8, 9, 10 ,11}. Cada uno de estos representantes recibe el nombre de clase de altura o c.a., en su forma abreviada. Por consiguiente, cada c.a. será equivalente a todas las alturas de una (y sólo una) clase de equivalencia. Para evitar posibles confusiones en su aplicación analítica, se ha acordado que los números 10 y 11 sean sustituidos por las letras A y B, respectivamente. Así, el conjunto de las doce clases de alturas disponibles en el espacio-c.a. se representará como {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7, 8, 9, A, B}.3

Recordemos que el hecho de que la equivalencia de octava se encuentre activa en el espacio-c.a. anula automáticamente el concepto de registro. Esto hace que la c.a. 3, por ejemplo, represente a todos los Eb5, D#8, Eb2, Fbb3, D#5, etc.

EJEMPLO 8

DOS CARACTERÍSTICAS DEL ESPACIO-C.A.

a)Equivalencia enarmónica

b)Equivalencia de octava

Apéndice 1: Para obtener una perspectiva algebraica básica en lo que respecta a las relaciones de equivalencia y otras definiciones relacionadas, ver punto A1.5 (previa lectura del punto A1.4, en caso de no encontrarse familiarizado con la notación utilizada en lógica y teoría de conjuntos).

1.8. El módulo 12 aritmético

El espacio-c.a. es un ejemplo de la aplicación del módulo 12 aritmético; otro ejemplo, éste de uso común, sería el de los 12 números de la carátula del reloj. La aritmética del módulo 12 nos ayudará a entender mejor el espacio-c.a., con sus 12 clases de alturas, así como a llevar a cabo operaciones de “traducción” de alturas individuales provenientes del espacio-a (algunos aspectos interválicos del uso del módulo 12 son discutidos también en el punto 1.10).

El módulo 12 aritmético contempla únicamente el uso de 12 números enteros, por lo que cualquier entero que se encuentre fuera del rango de esos 12 números tendrá que ser convertido por medio de múltiplos de 12. En el caso del espacio-c.a., sabemos que los 12 enteros representan a las c.a. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7, 8, 9, A y B. Así, para convertir la altura 18 (F#6, dentro del espacio-a) en una clase de altura por medio del módulo 12, se le sustraerá 12: 18 -12 = 6. El entero 6, a diferencia del 18, se encuentra incluido en conjunto de representantes de las 12 clases de equivalencias disponibles en el espacio-c.a., y corresponde a la c.a. F# (sin número de índice acústico, por supuesto).

Como ya sabemos, otros ejemplos de alturas (dentro del espacio-a) que se incorporarían a la c.a. 6 (dentro del espacio-c.a.) al ser convertidas al módulo 12, serían -18, 30, -6, etc. (recordemos que -18 + 12 + 12 = 6, 30 -12 - 12 = 6, y -6 + 12 = 6). Esta lógica de conversión también se encuentra presente en nuestra forma de medir el tiempo. Así, en la carátula del reloj las 14 horas aparece representada por el número 2 (14 - 12 = 2; en otras palabras, 14 hrs. ≡ 2 p.m.); las 18 hrs. aparecen representadas por el número 6 (18 - 12 = 6), etc. De hecho, la representación geométrica de las 12 clases de alturas en el espacio-c.a. es similar a la de las 12 horas en la carátula del reloj, con la diferencia de que el número 12 es sustituido por el 0.

EJEMPLO 9

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DOCE CLASES DE ALTURAS EN EL ESPACIO-C.A.

1.9. Tipos de intervalos del espacio-c.a.

En el espacio-c.a. existen dos tipos de intervalos que son semejantes a los intervalos ordenados y no ordenados del espacio-a; se trata de los intervalos ordenados de clase de altura y los intervalos no ordenados de clase de altura (a este último tipo también se le conoce como clase de intervalo y se le abrevia como “c.i.”).

1.10. Intervalo ordenado de clase de altura

El intervalo ordenado de c.a., al que también se le llama simplemente intervalo, se utiliza para medir la distancia entre clases de alturas no simultáneas. Es importante señalar que los intervalos entre las 12 clases de alturas no serán ascendentes ni descendentes, ya que no hay que olvidar que el concepto de registro no existe en el universo circular del espacio-c.a. Debido a que la equivalencia de octava en el espacio-c.a. excluye la posibilidad de un intervalo mayor a 11 (representado en nuestro sistema por la letra B), sólo se contará con 12 intervalos diferentes. Los intervalos que hasta ahora eran representados con números negativos deberán ser convertidos al módulo 12 por medio de sus correspondientes intervalos complementarios positivos, como se indica en el ejemplo 10.

EJEMPLO 10.

Conversión de enteros negativos a enteros positivos (mód. 12)

-1 | -2 | -3 | -4 | -5 | -6 | -7 | -8 | -9 | -A | -B
B | A | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1

El proceso para la obtención de intervalos ordenados es muy parecido al que se siguió anteriormente para generar intervalos ordenados en el espacio-a: dadas dos clases de alturas, se le sustrae la primera a la segunda, lo cual representamos como i.<x, y> = y- x (mód. 12).

De esta manera, el intervalo ordenado de c.a. entre 6 y 8 será i.<6, 8> = 2 (ya que 8 - 6 = 2); entre 8 y 6 será i.<8, 6> = A (ya que 6 - 8 = -2 = A, como se señala en el ejemplo 10); entre 0 y 8 será i.<0, 8> = 8 (ya que 8 - 0 = 8) y entre 8 y 0 será i.<8, 0> = 4 (ya que 0 - 8 = -8 = 4, como se señala en el ejemplo 10). 4

Resultará más claro si ubicamos gráficamente los cuatro ejemplos anteriores en el universo circular del espacio-c.a., con sus 12 clases de alturas.

En el caso de i.<6, 8> = 2, el intervalo 2 expresa el desplazamiento de la c.a. 6 a la c.a. 8:

En el caso de i.<8, 6> = A, el intervalo A expresa el desplazamiento de la c.a. 8 a la c.a. 6:

En el caso de i.<0, 8> = 8, el intervalo 8 expresa el desplazamiento de la c.a. 0 a la c.a. 8:

Mientras que en el caso de i.<8, 0> = 4, el intervalo 4 expresa el desplazamiento de la c.a. 8 a la c.a. 0:

En todos los casos anteriores, los enteros 0, 1, ..., B representan las 12 c.a. del módulo 12 y los enteros entre paréntesis indican el número de semitonos que recorre cada intervalo en su trayecto de una c.a. a otra. Obsérvese que todos los recorridos interválicos entre clases de alturas se llevan a cabo en el sentido de las manecillas del reloj.

Recordemos que el concepto de registro es ajeno a la estructura del espacio-c.a., por lo que el intervalo ordenado i.<6, 8> = 2, por ejemplo, define a cualquiera de los pares de c.a. del ejemplo 11, entre otros.

EJEMPLO 11

ALGUNAS DE LAS POSIBILIDADES REPRESENTACIONES EN EL PENTAGRAMA DE LA APLICACIÓN DEL INTERVALO ORDENADO DE CLASE DE ALTURA I.<6, 8>=2

1.11. Intervalo no ordenado de clase de altura

El intervalo no ordenado de clase de altura, también conocido como clase de intervalo o c.i., se utiliza para medir la distancia entre clases de alturas que sean real o conceptualmente simultáneas. Aquí, encontraremos que x - y e y - x nos dan el mismo resultado, como sucedía con los intervalos no ordenados en el espacio-a; sin embargo, en este caso no será necesario recurrir a la notación de valor absoluto para la representación numérica de la c.i., ya que en el espacio-c.a. no hay enteros negativos. Debido a la ausencia del parámetro de registro, producida por la distribución circular del espacio-c.a., se recurrirá siempre a la distancia más pequeña entre dos sonidos simultáneos para representar su clase de intervalo. Por lo tanto, ahora diremos que x - y e y -x pertenecerán ambos a la clase de intervalo z, de forma que z sea igual al que resulte menor de los dos intervalos x - y e y - x, dentro del mód. 12. Podemos representar lo anterior definiendo el mínimo de dos cantidades; dados los intervalos x e y, tenemos que:

Por ejemplo el mín{3, 7} = 3, ya que 3 < 7. Ahora podemos definir la clase de intervalo entre las c.a. x e y como: i.{x, y} = mín{i.<x, y>, i.<y, x>}. Nótese que aquí, al igual que en el espacio-a, se está definiendo el intervalo no ordenado en función del intervalo ordenado5

EJEMPLO 12

GENERACIÓN DE LA C.I. A PARTIR DEL PRINCIPIO DEL “INTERVALO MÁS PEQUEÑO”

En el ejemplo 12 a) se ilustra el proceso para la obtención de la clase de intervalo entre las c.a. simultáneas 2 y 7 que aparecen en el primer compás. En los compases 2 y 3 se muestran los dos ordenamientos posibles que pueden tener dichas c.a., así como los intervalos ordenados que generan. Podemos apreciar que mín{i.<7, 2>, i.<2, 7>} = 5, ya que 5 < 7, por lo que 5 es la c.i. que mapea entre sí a las c.a. del compás 1, como se señala en el compás 4 del mismo ejemplo 12 a). Los intervalos ordenados i.<7, 2> = 7; i.<2, 7> = 5 (representados ambos por la c.i. 5) correspondientes a los compases 2 y 3, respectivamente, se encuentran también expresados de manera gráfica en el universo circular del espacio-c.a., debajo del pentagrama.

En el ejemplo 12 b) se lleva a cabo el mismo procedimiento con las c.a. 3 y 4. Se puede apreciar que la suma de cada par de intervalos pertenecientes a una misma c.i. siempre da como resultado 0 (mód. 12). En el caso del ejemplo 12 a), tenemos que 7 + 5 = 0 (mód. 12), mientras que en 12 b), 1 + B = 0 (mód. 12). Gráficamente, esto se traduce siempre en dos recorridos complementarios cuya unión es exactamente igual al recorrido total de la circunferencia del espacio-c.a. (véanse las gráficas de los ejemplos 12 a) y 12 b). La única c.i. cuyos dos intervalos expresan recorridos equidistantes en la circunferencia del espacio-c.a. es la c.i. 6, ya que 6 + 6 = 0 (mód. 12). Este caso se ilustra en el ejemplo 12 c).

En el ejemplo 13 se muestran las seis diferentes clases de intervalos que genera el espacio-c.a., acompañadas de los intervalos (ordenados) individuales que las conforman.

EJEMPLO 13

CLASES DE INTERVALOS CON INTERVALOS INDIVIDUALES INCLUIDOS

Es común en el pensamiento musical del siglo XX, concebir el material sonoro dentro de la dimensión del espacio-c.a. Como muestra de esto reconsideremos el pasaje presentado en el ejemplo 7.

EJEMPLO 14

APLICACIÓN LINEAL DE INTERVALOS ORDENADOS Y NO ORDENADOS EN EL ESPACIO-A Y C.A.

La perspectiva interválica ofrecida por el espacio-c.a. nos revela la existencia de una simetría estructural subyacente. Se trata de un palíndroma, similar al analizado anteriormente en el ejemplo 6. En el caso del ejemplo 14, el eje de simetría está representado por el intervalo 4 y la clase de intervalo 4 que separan a la última nota del primer sistema de la primera nota del segundo. Se puede apreciar que los intervalos y clases de intervalos ubicados en posiciones equidistantes a ambos lados de dicho eje coinciden:

En el ejemplo 14, esta estructura palindrómica pasa totalmente inadvertida en el análisis interválico del espacio-a, debido a que es obstaculizada por la intervención del parámetro de registro (inactivo en el espacio-c.a.). Esto no quiere decir que las herramientas interválicas del espacio-a sean menos poderosas o precisas que las del espacio-c.a. Como ejemplo de lo contrario, basta con revisar el ejemplo 6, en el cual dichas herramientas revelaron perfectamente el diseño estructural subyacente. Se trata más bien de herramientas diferentes, altamente especializadas, que adquieren relevancia en la medida en que el espacio dentro del cual se desenvuelve el discurso musical las ratifique. Si en el pasaje del ejemplo 14 se buscara establecer una comparación estadística entre los intervalos simples y compuestos, o definir aspectos del contorno melódico, tales como la ubicación de los puntos climáticos interválicos o de registro, entonces la información interválica del espacio-a sería el vehículo adecuado.

1.12. Una nueva notación para el espacio-a

La notación numérica de alturas e intervalos en el espacio-a, expuesta en los puntos 1.2 a 1.5, es la que se emplea cotidianamente en la teoría anglosajona de la música atonal, por lo que se ha considerado imprescindible ponerla al alcance del lector. Esta notación, sin embargo, presenta algunos inconvenientes.. 6

En lo que se refiere a las alturas, la notación funciona muy bien dentro del índice acústico 5, esto es, de las alturas 0 a 11, debido a que éstas tienen la misma representación numérica que las 12 clases de alturas del espacio-c.a., sin las letras A y B, por supuesto. Sin embargo, a medida que las alturas se alejan, ascendente o descendentemente, de esta octava central, su ubicación se va volviendo confusa y difícil de representar mentalmente, sin la ayuda del pentagrama. Por ejemplo, si pensamos por un momento en las alturas 33, 41, -19 o -21, por nombrar sólo algunas al azar, resulta evidente que las dos primeras son frecuencias altas y las dos últimas frecuencias bajas. No obstante, ubicarlas con precisión como La índice 7, Fa índice 8, Fa y Mi índice 3, respectivamente, no se da inmediatamente como una consecuencia natural de la notación, sino que requiere de un esfuerzo mental adicional.

Algo parecido sucede con la notación numérica de los intervalos. En este caso, se privilegia a los intervalos simples, que resultan fáciles de manejar, sobre los compuestos. Los números +19, +30 y |21|, por ejemplo, indican que se trata de intervalos amplios, pero difícilmente evidencian su cualidad sonora, en caso de no contarse con el apoyo de la notación musical.

En los siguientes puntos del capítulo, se expondrá una nueva notación numérica para los intervalos y alturas, la cual será la empleada en el resto del libro. Esto se hace con la esperanza de que su manejo, al que consideramos más sencillo y más cercano a la intuición musical del lector que el de la notación anglosajona convencional, justifique el riesgo que se asume al alejarse de ésta, dado que su uso es generalizado.

La nueva notación no modifica las caracterísiticas del espacio-a: se sigue tratando de un espacio lineal de 12 alturas por octava, ubicadas a distancia de semitono con respecto al sonido inmediato inferior y superior. Los axiomas de equivalencia enarmónica y no equivalencia de octava siguen vigentes.

1.13. Nueva notación numérica de la altura

Empecemos por notar que una clase de altura â puede ser expresada como:

â = {x|x = 12q + a}, con a, q ∈ Z, donde Z es el conjunto de los enteros, y 0 ≤ a ≤ 11.

Otra clase de altura sería:

ĉ = {y|y = 12p + c}, donde c, p ∈ Z, 0 ≤ c ≤ 11.

Esto nos permite convertir cualquier altura a una clase de altura. Tomemos, por ejemplo, las alturas 0, 20, -22, 35 y -6 que, expresadas como c.a., nos dan: 0 = 12(0) + 0 ∈ 0^; 20 = 12(1) + 8 ∈ 8^ ; -22 = 12(-2) + 2 ∈ ^2; 35 =

12(2) + B ∈ B^ ; -6 = 12(-1) + 6 ∈ ^6. Estos resultados se muestran en el

ejemplo 15.

EJEMPLO 15

CONVERSIÓN DE ALTURAS A CLASES DE ALTURAS

Volviendo a nuestras dos c.a., â = {x|x = 12q + a} y ĉ = {y|y = 12p + c}, definidas un poco más arriba, se propone ahora escribir una altura x ∈ â, como x ≡ âd, donde d = q + 5. Análogamente denotaremos una altura y∈ ĉ , como y ≡ ce, donde nuevamente e = p + 5. La altura âd nos indica que se trata de la c.a. â en el índice acústico d. 7

Al “traducir” las alturas 0, 20, -22, 35 y -6 del ejemplo 15 a la nueva notación, obtenemos: 0 = 12(0) + 0 ≡ 0(0+5) = 05; 20 = 12(1) + 8 ≡ 8(1+5) = 86; -22 = 12(-2) + 2 ≡ 2(-2+5) = 23; 35 = 12(2) + B ≡ B(2+5) = B7; -6 = 12(-1) + 6 ≡ 6(-1+5) = 64.

EJEMPLO 16

ALTURAS DEL EJEMPLO 15 EXPRESADAS POR MEDIO DE DOS NOTACIONES

A diferencia de lo que sucede con la notación convencional, la nueva notación es fácilmente descifrable en cualquier registro. Esto se debe, por un lado, a que toda altura ad, al ser transferida de octava, mantiene invariante el valor de a. Por otro lado, el valor de d en ad resultará evidente para el músico con formación académica, acostumbrado al manejo de los índices acústicos.

El ejemplo 17 ilustra la equivalencia enarmónica y no equivalencia de octava, propias del espacio-a, expresadas por medio de notación musical y de la nueva notación numérica de la altura.

EJEMPLO 17

DOS PROPIEDADES DEL ESPACIO-A, EXPRESADAS MEDIANTE LA NUEVA NOTACIÓN DE LA ALTURA

a)Equivalencia enarmónica

b)No equivalencia de octava

1.14. Intervalo ordenado simplificado

El intervalo ordenado simplificado en el espacio-a, al que podemos abreviar como “i.s.”, se indica por medio de un entero que representa un intervalo simple (menor a la octava), cuyo valor numérico se encuentra definido, por lo tanto, para 0, 1, 2, ..., 11 (con el objeto de mantener homogénea la notación, continuaremos escribiendo 10 como A y 11 como B). A éste entero se le agrega un subíndice que precisa el número de octavas a través de las cuales se extiende el intervalo.

Pero antes de abordar el intervalo ordenado simplificado será necesario definir la función “signo” (sgn).

Sea Z el conjunto de los números enteros y x cualquier entero (x ∈ Z).

La función sgn mapea a todo Z en {-1, 0, 1}, lo que denotamos como:

sgn:Z→ { -1,0,1 }

Así , por ejemplo, tenemos que sgn(-8) = -1, sgn(0) = 0 y sgn(4) = +1.

Ahora es posible definir el intervalo ordenado simplificado en función de los cuatro casos que se muestran a continuación.

Caso 1. Sea la secuencia ordenada de alturas ac, bd. Sean a ≥ b, c ≥ d.

Caso 2. La misma secuencia de alturas. Sean a ≤ b, c ≤ d.

Caso 3. La misma secuencia de alturas. Sean a > b, c < d (caso mixto).

Caso 4. La misma secuencia de alturas. Sean a < b c > d (caso mixto).

En resumen, los resultados son:

α ) Para los dos casos mixtos: i.s.<ac, bd> = S(-|b - a|) |d - c|8

β ) Para los dos casos mixtos: i.s.<ac, bd> = S(-|b - a|) mód.12|d - c| - 1 donde S = sgn(d - c)

y mód. 12 significa que lo que está entre paréntesis se calcula por medio de la aritmética mód. 12.

Los dos resultados anteriores se pueden condensar en la siguiente fórmula: i.s.<ac, bd> = S((-1)|b - a|) mód. 12|d - c| - (1)

donde (-1) indica que se multiplica por -1 si y sólo si tenemos un caso mixto.

-(1) indica que se resta -1 si y sólo si tenemos un caso mixto.

Digamos que nos interesa obtener el intervalo simplificado entre las alturas <56, A5>. Se puede apreciar que 5 < A y 6 > 5, por lo que estamos ante un caso mixto. Procedemos entonces a sustituir las variables de la fórmula correspondiente al caso mixto por las alturas 56 y A5: i.s.<56, A5> = S(-|A - 5|) mód. 12|5 - 6| - 1. Al realizar las operaciones indicadas obtenemos: S(-|5|) mód. 12|-1| - 1. Ahora bien, -5 (mód. 12) = -5 + 12 = 7 y, en lo que respecta a la operación señalada en el subíndice, tenemos que |-1| - 1 = 1 - 1 = 0, lo que nos da: S(7)0. Sólo resta saber si el intervalo es ascendente o descendente, para lo cual será necesario obtener el valor de S. La definición de caso mixto nos dice que S = sgn(d - c), lo que en nuestro caso nos da: S = sgn(5 - 6). Como 5 - 6 = -1, tenemos que S = sgn(-1). Vemos que el signo de -1 es menos (-), por lo que S será sustituido por dicho signo: S(7)0 = -70. Por lo tanto, i.s.<56, A5> = -70, es decir, que para ir de la altura 56 a la altura A5 se debe de descender siete semitonos (y ninguna octava), como se muestra en el ejemplo 18.

EJEMPLO 18

i.s. <5₆, A₅>=7₀

En el ejemplo 19 tenemos cuatro intervalos ordenados simplificados que corresponden a cada uno de los casos posibles. Debajo del pentagrama se desglosa el procedimiento para su obtención.

EJEMPLO 19

EL INTERVALO ORDENADO SIMPLIFICADO REPRESENTADO EN SUS CUATRO CASOS

Una característica fundamental de la nueva notación es que, independientemente de la extensión que presente el intervalo ordenado, es capaz de expresar con claridad su cualidad sonora. Esto es posible debido a que la variable a en ± ac nos indica cuál es el intervalo simple, ascendente o descendente, que se extiende a lo largo de c octavas, cosa que no sucede con la notación numérica tradicional, más allá de la primera octava de extensión.

El lector habrá notado que la obtención informal del intervalo ordenado simplificado es sencilla. Basta con sumar mentalmente n octavas ascendentes o descendentes, dependiendo de la dirección del intervalo, a la nota de partida hasta ubicarla a menos de una octava de distancia de la nota de arribo, lo que nos da el valor de c en ac; después se obtiene el intervalo simple a.

1.15. Intervalo no ordenado simplificado

El intervalo no ordenado simplificado, al igual que el ordenado, se divide en cuatro casos:

Caso 1. Sean las alturas ac, bd. Sean a ≥ b, c ≥ d.

Caso 2. Las mismas alturas. Sean a ≤ b, c ≤ d.

Caso 3. Las mismas alturas. Sean a > b, c < d (caso mixto).

Caso 4. Las mismas alturas. Sean a < b, c > d (caso mixto).

α) Para los dos primeros casos: i.s.{ac, bd} = |b - a||d - c|

β ) Para los dos casos mixtos: i.s.{ac, bd} = (-|b - a|) mód. 12|d - c| - 1

Los dos resultados anteriores se pueden condensar en la siguiente fórmula:

i.s.{ac, bd} = ((-1)|b - a|) mód. 12|d - c| - (1)

donde (-1) indica que se multiplica por -1 si y sólo si tenemos un caso mixto.

-(1) indica que se resta -1 si y sólo si tenemos un caso mixto.

Se puede apreciar que la definición de intervalo no ordenado simplificado es similar a la de intervalo ordenado simplificado, sólo que sin la función sgn (signo). Esto se debe a que dicha función es la que define la dirección ascendente o descendente del intervalo, la cual no opera en el intervalo no ordenado simplificado, ya que éste mide la distancia absoluta entre dos alturas que son consideradas como real o conceptualmente simultáneas.

Nótese que, por definición, i.s.{ac, bd} = i.s.{bd, ac}, es decir, que el orden en el cual se escriban las dos alturas es irrelevante (lo que resulta imprescindible dado que éstas son simultáneas). Lo anterior también es posible gracias a la exclusión de la función sgn de la definición del intervalo no ordenado simplificado.

Ahora veamos un ejemplo. Digamos que se desea obtener el intervalo simplificado entre las alturas simultáneas {43, 84}. Vemos que 4 < 8 y 3< 4, lo que nos indica que se trata de un ejemplo del caso 2. Sustituyendo las variables de la fórmula correspondiente a dicho caso por las alturas 43 y 84, se obtiene: i.s.{43, 84} = |8 - 4||4 - 3|. El resultado de las restas anteriores es: i.s.{43, 84} = 41, es decir, que la distancia absoluta entre las alturas 43 y 84 es de cuatro semitonos más una octava.

EJEMPLO 20

Se observa que el intervalo no ordenado simplificado, a diferencia de lo que sucedía con el intervalo no ordenado abordado en el punto 1.5, no se expresa con notación de valor absoluto; ésta resulta innecesaria, ya que el intervalo en sí carece de signo por el simple hecho de que la función sgn no figura en su definición.8

En el ejemplo 21 tenemos cuatro intervalos no ordenados simplificados que corresponden a cada uno de los casos posibles. Debajo del pentagrama se presenta el procedimiento para su obtención. Nótese que en el caso 1 el intervalo simplificado no ordenado es empleado con alturas consecutivas, por lo que éstas son consideradas como “conceptualmente simultáneas”.9

EJEMPLO 21

EL INTERVALO NO ORDENADO SIMPLIFICADO REPRESENTADO EN SUS CUATRO CASOS

Relaciones entre conjuntos
2.1. Introducción al manejo de conjuntos

El rompimiento con la tonalidad llevado a cabo por varios compositores a principios del siglo XX estableció una serie de retos en materia de estructuración sonora. Nuevos medios tuvieron que ser desarrollados con el fin de obtener una coherencia lineal y armónica que fuera independiente de la jerarquía derivada de las funciones armónicas y la conducción lineal del viejo sistema, así como de la omnipotencia de la tríada (a partir de cuya horizontalización, de acuerdo con Schenker, se generan las estructuras tonales en todos los niveles). Ya hacia el final de la primera década del siglo XX, Schoenberg y sus alumnos, Webern y Berg, habían empezado a establecer los fundamentos del nuevo universo sonoro.

A manera de toma de contacto con el nuevo tipo de estructuración, empecemos por explorar en forma intuitiva el inicio de la primera de las tres piezas para piano op. 11, compuestas por Schoenberg en 1909.

EJEMPLO 22

EXPLORACIÓN INTUITIVA DEL INICIO DE UNA PIEZA ATONAL (ARNOLD SCHOENBERG. DREI KLAVIERSTÜCKE, OP. 11: Nº 1, CC. 1-8)

Indudablemente, lo primero que salta a la vista son los puntos de contacto con la tradición presentes aún en el pensamiento schoenberguiano, entre los cuales destaca la textura homofónica de los tres primeros compases, con la melodía de claro perfil temático localizada en la mano derecha y el acompañamiento representado por dos acordes. También se puede apreciar la delimitación de la primera referencia temático-estructural de la obra dentro de un periodo “normativo” de ocho compases (los compases 9-11, no mostrados en el ejemplo, retoman el material temático de los compases 1-3, acompañados de un cambio de tiempo), que, sin embargo, rompe su simetría interna al estar dividido en dos frases de 3+5 compases.10

A pesar de las consideraciones anteriores, no cabe la menor duda del carácter revolucionario del lenguaje, sobre todo tomando en cuenta que la pieza representa uno de los primeros esfuerzos, en la historia de la música occidental, por establecer un universo coherente libre de la influencia tonal. Por ejemplo, destaca el alto grado de saturación en el manejo de las clases de alturas, así como el control de la distribución de los 12 sonidos. De esta manera, la melodía de los compases 1-3 presenta seis sonidos diferentes (las c.a. B, 8, 7, 9, 5, 4) con apenas una repetición inmediata (la c.a 5 del segundo al tercer compás), mientras que los dos acordes que la acompañan aportan las nuevas c.a. 6, 1 y A (todas ellas ubicadas en las voces extremas, que es donde más destacan auditivamente), con lo que tenemos ya nueve c.a. diferentes en sólo tres compases. De las tres c.a. que faltan para completar el total cromático, dos de ellas, las c.a. 0 y 2, aparecen en las voces internas de las dos primeras díadas armónicas (una en cada mano) del compás 4, lo que evidencia una distribución simétrica del material. Además, ambas díadas sirven de presentación del material contrastante de los compases 4-8 y aparecen precedidas por silencios de cuarto que realzan su importancia estructural (a nivel local, por supuesto). El último sonido, la c.a. 3, queda reservado para hacer su aparición junto con el siguiente material contrastante, por lo que tendrá que esperar hasta el compás 12 (no incluido en el ejemplo), en donde servirá de bajo a un arpegio ascendente-descente que inaugurará una serie de parámetros, tales como la dinámica ppp, el uso de treintaidosavos, el pedal de sordina y un tiempo marcado “más rápido”. Si ahora observamos más de cerca la organización de los diversos “objetos sonoros” que conforman el discurso, podremos apreciar que los tres primeros compases muestran una marcada inclinación por los grupos de tres notas. La melodía, por ejemplo, está claramente dividida en dos grupos, o conjuntos, cada uno de los cuales contiene tres notas diferentes (el primer conjunto contiene las c.a. B, 8, 7 y el segundo las c.a. 9, 5, 4). Desde una perspectiva melódica, el primer conjunto representa un motivo que es expandido por el segundo conjunto. Dicha expansión no se limita al contorno (el primer motivo tiene un descenso total de i.a.<B5, 75> = -40, mientras que el segundo presenta un descenso de i.a.<95, 45> = -50), y a los intervalos individuales (el primer motivo está formado por los intervalos ordenados -30, -10, y el segundo por -40, -10), sino que también afecta el número de ataques (el primer motivo tiene tres notas sin repetición = 3 ataques, mientras que el segundo motivo repite la segunda nota = 4 ataques), y la duración (el primer motivo abarca un total de 7 octavos y su nota más larga dura 3 octavos, mientras que el segundo abarca un total de 9 octavos y su nota más larga dura 4 octavos).11 Este motivo de tres notas se seguirá desarrollando a lo largo de la pieza, en una forma que no puede evitar compararse con la manipulación temática Mahleriana, tan cara a Schoenberg durante su primera etapa tonal (es importante señalar, sin embargo, que las otras dos piezas de la op. 11 inician el abandono de la dependencia temática).

Siguiendo con nuestra aproximación intuitiva al inicio de la pieza, podemos ver que los dos acordes de los compases 2 y 3 también son ejemplos de conjuntos de tres sonidos. Ahora bien, si buscamos establecer una comparación entre los cuatro conjuntos localizados hasta el momento, nos será de utilidad la aproximación propuesta en el ejemplo 23.

EJEMPLO 23

CONJUNTOS DE TRES SONIDOS EXTRAÍDOS DE LOS TRES PRIMEROS COMPASES DEL EJEMPLO 22

Lo que se ha hecho aquí es reordenar los cuatro conjuntos, ubicándolos en el espacio-c.a. (esto es, ubicando cada conjunto dentro de los límites de una octava) y escribiendo primero el intervalo más pequeño entre los elementos (clases de alturas) que los conforman. Los conjuntos a) y b) contienen las c.a. de los dos motivos melódicos analizados anteriormente, mientras que los conjuntos c) y d) contienen las c.a. de los acordes de los compases 2 y 3, respectivamente. Se puede observar que existe un alto grado de similitud entre las sonoridades representadas por los cuatro conjuntos, sobre todo debido a que todas contienen un intervalo 1 y excluyen los intervalos 2, 7, 9, A y B. Esto se traduce auditivamente en un sonido muy homogéneo que le proporciona gran unidad a los tres primeros compases, independientemente de la distribución espacial que reciben los cuatro conjuntos en la pieza (los conjuntos a) y b) se encuentran localizados dentro de los límites de la octava, mientras que los conjuntos c) y d) la rebasan). Esto, sin duda, crea una subcategoría auditiva que se une a la diferenciación entre melodía y acompañamiento. Además podemos notar que los conjuntos a) y d) comparten la misma estructura interválica, por lo que representan la relación más directa entre los cuatro objetos sonoros y establecen un vínculo auditivo entre la melodía y el acompañamiento (en otras palabras, se podría decir que el conjunto d) transfiere al acompañamiento la imagen sonora del primer motivo melódico de la pieza).

Echemos un vistazo ahora al material sonoro de los compases 4 a 8, empezando por el pentagrama superior. Se puede observar que toda la música en dicho pentagrama es susceptible de ser incorporada a, o contenida por, el conjunto de clases de alturas {0, 4, 7, A, B}, al que llamaremos conjuntoX. De hecho, todo el material musical de los compases 5 al 8 (en el pentagrama superior, por supuesto) se reduce a tres apariciones de X, claramente separadas por medio de silencios (ver ejemplo 22). Sin embargo, el orden en el que se presentan las clases de alturas varía en cada aparición del conjunto (lo mismo se puede decir de sus duraciones individuales), sin que por ello se ponga en riesgo su pertenencia al mismo (de igual modo sucede con la reordenación propuesta en el ejemplo 23 con respecto del orden original que guardan en la pieza los elementos de los conjuntos que aparecen en a), b), c) y d)). Ésta es una de las características más importantes de los conjuntos de alturas y de clases de alturas: los que comparten los mismos elementos son considerados equivalentes, independientemente del orden que presenten dichos elementos en la partitura.

En el pentagrama inferior encontramos un conjunto cuya presencia domina los compases 4 al 8; se trata del conjunto de c.a. {2, 6, 8, 9, A, B}, al que llamaremos conjunto Y, y que, también en este caso, aparece en tres ocasiones. En los compases 7 y 8, entre la segunda y tercera aparición del conjuntoY, se encuentran las c.a. 1 y 0 que no pertenecen al mismo y que dejaremos a un lado por el momento. Se puede observar que, a diferencia del conjunto X, el conjuntoY presenta siempre sus elementos en el mismo orden (y con los mismos valores de duración) en sus diferentes apariciones.12

EJEMPLO 24

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS EN LOS COMPASES 4 Y 5 DEL OP. 11, Nº1, DE SCHOENBERG

Existen varios puntos de contacto entre el conjuntoX y el conjuntoY. Uno de ellos, por supuesto, es que comparten las c.a. A y B. En el ejemplo 24 a), que muestra la aparición de ambos conjuntos en los compases 4 y 5, se puede apreciar cómo éstos generan un subconjunto de tres notas que incluye, en ambos casos, las c.a. A y B. El subconjunto del conjunto X abarca la totalidad de la voz inferior, mientras que el subconjunto de Y comprende las tres últimas notas de la voz superior. En el ejemplo 24 b) se presentan ambos subconjuntos en su disposición más compacta, lo que nos permite apreciar que tienen la misma estructura interválica. El nexo entre los mismos se ve reforzado, además, debido a que las dos c.a. que comparten —las c.a. A y B—, se encuentran en el mismo índice acústico en todas sus apariciones (si transferimos estas c.a. al espacio-a se convertirán en A4 y B4 en los dos subconjuntos) y, en el caso particular de los compases 4 y 5 (ejemplo 24 a)), se suceden en forma directa.

Otro nexo importante entre los conjuntos X eY se evidencia en los compases 7 y 8 en donde, debido a una nueva disposición de los elementos del conjunto X, queda al descubierto un subconjunto formado por una tríada mayor, que es expuesta en forma imitativa por los dos conjuntos, como se puede observar en el ejemplo 25. Es importante señalar que las diferentes relaciones en el subconjunto que han surgido entre los conjuntos X eY se deben a las redistribuciones de los elementos del conjunto X en sus diversas apariciones.

EJEMPLO 25

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS EN LOS COMPASES 7 Y 8 DEL OP. 11, Nº1 DE SCHOENBERG

Como se comentó anteriormente, en el compás 7 aparecen las c.a. 1 y 0, a las que hemos considerado ajenas a los conjuntos X eY debido a que no se encuentran presentes en las otras apariciones de dichos conjuntos. En el ejemplo 26 a) podemos ver que al unir dichas c.a. con el Re natural del conjunto Y, se crea un nuevo conjunto {1, 0, 2}. El ejemplo 26 b) nos muestra que el nuevo conjunto presenta la misma estructura interválica que los subconjuntos analizados en el ejemplo 24 b). Finalmente, en el ejemplo 26 c) las flechas muestran que el nuevo subconjunto {1, 0, 2}, localizado en el pentagrama inferior, es una imitación retrógrada al intervalo -A0, del conjunto de la línea inferior de X; esta relación explica la inversión del orden y del valor numérico de sus respectivos intervalos ordenados de altura.

EJEMPLO 26

IMITACIÓN RETRÓGRADA ENTRE LOS ELEMENTOS DE DOS CONJUNTOS (ARNOLD SCHOENBERG. DREI KLAVIERSTÜCKE, OP. 11: Nº 1, CC. 7-8)

Por último, cabe preguntarse si existirá algún tipo de conexión entre el material de los compases 1-3 y el de los compases 4-8. La respuesta se encuentra en los compases 4 y 5. Aquí se puede observar que las c.a 7 y B en el pentagrama superior y la c.a. 8 en el pentagrama inferior corresponden a las c.a. del conjunto de las tres primeras notas de la pieza (ver los ejemplos 22 y 23 a)). Además, en los compases 7 y 8 las tres c.a. se encuentran claramente relacionadas al ser atacadas al mismo tiempo y mantenerse sonando hasta el siguiente compás, mientras que todas las notas a su alrededor duran únicamente un octavo (con la única excepción del Mi del compás 4 que dura un cuarto). Obsérvese, también, que las tres c.a. no volverán a estar relacionadas con tanta claridad en las dos siguientes apariciones de los conjuntos X e Y (ver ejemplo 22). Resulta claro que Schoenberg buscó establecer la conexión más fuerte entre los materiales contrastantes de los compases 1-3 y 4-8 en el momento mismo de la transición entre dichos materiales, asegurando así el punto de unión entre ambas secciones.

Esta introducción informal al manejo de conjuntos ha pretendido servir de punto de contacto con respecto a algunas relaciones básicas que se pueden establecer entre los mismos, con el propósito de sugerirle al lector su importancia estructural en el pensamiento musical atonal. En este capítulo y los siguientes, procederemos a tratar éstas y otras relaciones en forma un poco más detallada y rigurosa.

2.2 Conjuntos de clases de alturas

Antes de abordar los diferentes tipos de relaciones que se dan entre los conjuntos, será conveniente definir el conjunto y sus elementos, establecer el concepto de cardinalidad y conocer algunos tipos de conjuntos básicos como el agregado, el universo, y el conjunto vacío.

Los conjuntos de clases de alturas, a los que podemos llamar simplemente conjuntos, se utilizan para representar sonoridades en el espacio-c.a. Un conjunto es una colección de clases de alturas no ordenadas y escritas sin repeticiones.

Normalmente, se usan letras mayúsculas para representar los conjuntos. En contextos en los cuales la notación pudiera resultar ambigua, es recomendable evitar aquellas letras que en la teoría atonal representan operaciones o entidades ajenas a los conjuntos, tales como A, B, C, D, E, F, G, que podrían ser confundidas con alturas o clases de alturas, o también T, I, U, M, P, R, V, cuyo significado se irá revelando en este libro.

Los elementos de los conjuntos se delimitan por medio de llaves ({·}) y pueden escribirse de corrido o separados por medio de comas o espacios. Por ejemplo, dado un conjunto Y que contenga las c.a. 0, 1 y 3, dicho conjunto puede aparecer representado en cualquiera de las siguientes maneras: Y = {013}; Y = {0 1 3}; Y = {0, 1, 3}.

EJEMPLO 27

EL CONJUNTO COMO REPRESENTACIÓN DE UNA SONORIDAD

(MARIO LAVISTA, SIMURG, PARA PIANO: A) = CC. 1-2, B) = CC. 44-45. C) = CC. 48. D) = CC. 62, E) = CC. 64)

En este ejemplo se presentan varios extractos de una pieza para piano de Mario Lavista. En el primer compás de la obra se expone, en el bajo, un fragmento de cuatro notas al que clasificaremos como el conjunto X = {3,4,9,A}. Dicho conjunto representa el cimiento sobre el cual se erguirá toda la arquitectura de la pieza, como nos deja ver claramente el compositor al presentarlo al inicio de la obra, aislado de cualquier interferencia sonora. Durante los primeros diez compases de la pieza, el conjunto X será tratado como un ostinato, monopolizando la parte del bajo (los primeros dos compases del ostinato aparecen en el ejemplo 27 a)). Sin embargo, se podrá apreciar en el ejemplo que, lejos de permanecer limitado al bajo, X hace su aparición en prácticamente todas las voces, registros y disposiciones imaginables: se le puede ver desplegado en forma lineal, armónica o mixta; con o sin repetición de clases de alturas; presentado en forma contigua o fracturada (este último caso se puede apreciar en la voz superior del ejemplo 27 c) donde X aparece escindido por la c.a. 8, que no forma parte del conjunto); localizado en una o varias voces; con valores de duración largos o muy breves (como en el caso de las notas de adorno del ejemplo 27 a)); limitado a un registro reducido o esparcido a lo largo de dos o más octavas, etc. Lo importante es que, independientemente de la forma en que sea presentado, el conjunto X puede ser reducido conceptualmente a una entidad sonora única al ser clasificado como X = {3,4,9,A}. Con lo anterior, se le despoja de atributos tales como el ritmo, registro, disposición o repetición de sus elementos y se le convierte en una abstracción de su sonoridad básica, establecida en función de la simple enumeración de las clases de alturas que lo componen.

Es importante tener presente que no es un conjunto ordenado: X = {3,4,9,A} = {3,4,A,9} = {3,9,4,A} = {3,9,A,4} = {3,A,4,9} = {3,A,9,4} = {4,3,9,A} = {4,3,A,9} = {4,9,3,A} = {4,9,A,3} = {4,A,3,9} = {4,A,9,3} = {9,3,4,A} = {9,3,A,4} = {9,4,3,A} = {9,4,A,3} = {9,A,3,4} = {9,A,4,3} = {A,3,4,9} = {A,3,9,4} = {A,4,3,9} = {A,4,9,3} = {A,9,3,4} = {A,9,4,3}. En otras palabras, los elementos de X pueden ser escritos en cualquier orden sin que la integridad del conjunto se vea afectada. Esta propiedad es inherente a todo conjunto no ordenado.13

También se pueden emplear los conjuntos para representar alturas en el espacio-a. Éstos se conocen como conjuntos de alturas y se utilizan para clasificar grupos de notas de registro fijo, sobre todo acordes. Así, en el ejemplo 28, el acorde ubicado en el primer tiempo de los compases 1 y 2 y en el compás 3 se representaría como Q = {02, 03, 06, 26, 07}. En este caso, tampoco importa el orden en que aparezcan los elementos de Q.

EJEMPLO 28

EL CONJUNTO DE ALTURAS COMO REPRESENTACIÓN DE UN ACORDE DE REGISTRO FIJO (ARMANDO LUNA, SONATA PARA PIANO: 1ER MOV., DANZA, CC. 1-3)

2.3. Los elementos de un conjunto

Si W es un conjunto y w es uno de los objetos contenidos dentro del conjunto, entonces escribiremos: w ∈ W, lo cual leeremos como “w es un elemento del conjunto W”. En caso de que w no se encuentre entre los elementos de W, escribiremos: w ∈ W, lo cual leeremos como “w no es un elemento del conjunto W”. En el caso del ejemplo 27, tenemos que las clases de alturas 3, 4, 9, A ∈ X, mientras que la c.a. 5 ∈ X. Siempre se utilizarán letras minúsculas para representar a los elementos de un conjunto.

2.3. El agregado y el universo

Es común encontrar en textos de matemática relativos a la teoría de conjuntos, que los términos agregado y conjunto son utilizados como sinónimos.14 En la teoría atonal, sin embargo, se le llama agregado al total cromático ubicado en el espacio-c.a., o sea, al conjunto que contiene las 12 clases de alturas.

El agregado ha jugado un papel muy importante como colección referencial, no sólo dentro de la técnica dodecafónica, sino en la música atonal en general (pre y post-dodecafónica).15 En el caso del ejemplo 29, la disposición de los compases se encuentra determinada por la distribución temporal del agregado, por lo cual se establece una relación de uno o dos agregados por compás.

EJEMPLO 29

COMPASES DETERMINADOS POR EL AGREGADO (JUAN TRIGOS, CUARTETO DA DO, PARA CL., SAX., GUIT. Y BONGÓS: DANZA L, CC. 1-8)

En el ejemplo 30, el agregado juega también un papel fundamental en la conformación del discurso musical, aunque de una forma totalmente distinta a la del ejemplo 29, en el cual el agregado se manifiesta desde el primer compás y mantiene su presencia a lo largo del pasaje, mientras que en el ejemplo 30 representa el objetivo de un proceso acumulativo lineal. Dicho de otra forma, en el primer caso la música fluye desde el agregado; en el segundo, hacia el agregado.

EJEMPLO 30

EL AGREGADO COMO OBJETIVO DE UN PROCESO LINEAL ACUMULATIVO (GEORGINA DERVEZ, FANTASÍA, PARA VIOLÍN Y PIANO: I. PRELUDIO, CC. 1-10)

Veamos el ejemplo 30 un poco más en detalle. La pieza inicia con el conjunto C1 = {7,8,9}; en el segundo compás C2 incorpora la c.a. 6 y forma la colección {6,7,8,9}; el proceso de acumulación de clases de alturas continúa con—C3 y C4, hasta alcanzar el agregado (al que hemos llamado C5) en los cc. 8-9. El lector habrá advertido que todos los conjuntos anteriores son cromáticos. De hecho, el proceso acumulativo es llevado a cabo en el espacio-a dentro de una sola octava, de tal manera que la consolidación del agregado coincida con la saturación cromática de ésta, como se puede apreciar en el ejemplo 31.

EJEMPLO 31

DESPLIEGUE TEMPORAL DEL AGREGADO DEL EJEMPLO 30 EN FORMA CROMÁTICA EN EL ESPACIO-A

Esta condensación extrema de las alturas contrasta con la textura del ejemplo 29, en la cual los agregados se distribuyen libremente en el espacio-c.a. y ninguna de las partes instrumentales es cromática.

La distribución del agregado suele estar íntimamente ligada a la instrumentación. Así, en el ejemplo 29 la mitad de las c.a. de cada agregado es destinada invariablemente al clarinete, mientras las seis restantes se reparten entre el saxofón y la guitarra, excepto en el caso del primer agregado, en el cual la instrumentación hace un énfasis particular en la c.a. 0. En lo que respecta al fragmento del ejemplo 30, cada nuevo elemento que se acumula en el camino hacia el agregado expande cromáticamente el registro del piano en forma descendente, hasta alcanzar una extensión máxima de 60 al momento de ser incorporada la c.a. 3, tal como se muestra en el ejemplo 31.

En el compás 8, la entrada del violín propicia un relevo instrumental en lo que se refiere a la asignación de las cinco últimas notas del agregado (cada una de ellas podrá aparecer en el piano sólo después de haber sido escuchada en el violín). En el ejemplo 31, este relevo instrumental va asociado a un cambio de dirección en el despliegue del agregado, que ahora asciende cromáticamente a partir de la altura A5, la cual se encuentra a un intervalo de +10 con respecto a la altura superior del piano, hasta alcanzar la altura 26 (en la partitura la altura 26 aparece dos dieciseisavos antes que la 16: ver el compás 9 del ejemplo 30). Desde la perspectiva de la dinámica, la compositora ha cuidado también que el punto climático del pasaje se localice cerca del lugar en el que es alcanzado el agregado: el piano logra su máxima dinámica al inicio del compás 10, solamente un tiempo después de que el violín completa el agregado, mientras que el clímax dinámico del violín es diferido un tiempo más, para hacerlo coincidir con la nota más aguda del pasaje, la altura 76.

El universo o conjunto universal, al que representaremos con la letra U, no es una colección fija, sino un conjunto que contiene el número total de elementos disponibles dentro de un contexto determinado. Veamos, por ejemplo, el caso de la pieza Dérive, de Boulez, en la que todas las alturas tienen un registro fijo y se distribuyen con base en un sistema de seis acordes, que son empleados como zonas de influencia armónica.

EJEMPLO 32

DISTRIBUCIÓN ESPACIAL DE LOS SEIS ACORDES GENERADORES EN DÉRIVE

Dado que las alturas fijadas por los seis acordes del ejemplo 32 son las únicas que se utilizan en la pieza (salvo algunos casos aislados de notas fuera de registro que aparecen sobre todo hacia el final de la obra), el universo de Dérive se encontrará representado por el conjunto U ={B2,23,53,A3,14,24,34,44,64,74,94,A4,B4,05,35,45,55,65,85,A5,06,26,46,66,86,57}, que contiene todas las alturas del ejemplo 32, sin duplicaciones.

El universo del ejemplo anterior es susceptible de ser traducido al espacio-c.a. y generar un agregado, ya que contiene una representación de las 12 clases de alturas. De hecho, el agregado es la colección mayor que se puede obtener en el espacio-c.a. Sin embargo, puede ocurrir, tanto en el espacio-a como en el espacio-c.a., que el universo sonoro de una pieza atonal sea menor que el agregado.

EJEMPLO 33

EL CONJUNTO UNIVERSAL COMO COLECCIÓN CONTEXTUAL (IGOR STRAVINSKY, QUATRE ÉTUDES, PARA ORQUESTA: I, DANSE, CC. 38-41)

El ejemplo 33 expone un fragmento del primero de los cuatro estudios para orquesta de Stravinsky. El pasaje orquestal del ejemplo integra a todos los instrumentos que participan en la pieza. El estudio se desarrolla en el espacio-a, ya que cada instrumento tiene asignado un conjunto de alturas fijas que se mantiene sin variación a lo largo de toda la pieza. Esto quiere decir que cualquier altura emitida por un instrumento se encontrará también presente, en el mismo instrumento, en el fragmento del ejemplo 33.

Las maderas tienen asignada la función melódica principal en la obra y se mueven paralelamente a distancia de octava(s), como se aprecia en el ejemplo 33. Podemos ignorar las diferencias de octava traduciendo el pasaje al espacio-c.a., lo que nos permite expresar el material melódico de las maderas por medio del conjunto J = {0,7,9,B}. Por su parte, los violines primeros y segundos, reforzados por los cuatro cornos y las violas, presentan un breve motivo melódico de cuatro notas descendentes. Esta melodía secundaria, que a lo largo de la pieza interactúa de manera intermitente con la melodía principal de las maderas, se encuentra representada en el ejemplo por el conjunto de c.a. K = {1,3,4,6}. Un último grupo instrumental, conformado por el piano, el arpa, los timbales, las violas, los chelos y los contrabajos, tiene a su cargo la función del acompañamiento y su contenido de c.a. es expresado por el conjunto L = {0,1,2,3}. Si reunimos en un solo conjunto las c.a. de J, K y L, obtenemos el conjunto universal de la pieza, que es U = {0,1,2,3,4,6,7,9,B}. Por lo tanto, la obra presenta un universo sonoro más pequeño que el agregado, ya que 5, 8, A ∈ U.

2.5. El conjunto vacío.

Un conjunto sin elementos recibe el nombre de conjunto vacío o nulo, y se representa con el símbolo Ø.

2.6. Cardinalidad de un conjunto

La cardinalidad de un conjunto X expresa el número de elementos que éste contiene y se indica como “|X|”. Así, diremos que los conjuntos J = {0,7,9,B}, K = {1,3,4,6} y L = {0,1,2,3} del ejemplo 33 tienen, todos, una cardinalidad de 4 (ya que cada uno de ellos cuenta con cuatro elementos), lo que indicaremos como |J| = 4, |K| = 4 y |L| = 4. También tenemos, por ejemplo, que |Ø| = 0, mientras que en el espacio-c.a., |U| = 12.

2.7. Relación de inclusión entre conjuntos

Si S y Q son dos conjuntos, diremos que S está incluido en Q, o que S es un subconjunto de Q, cuando todo elemento de S sea también elemento de Q. Dicha relación se escribe: S ⊂ Q.

Lo anterior puede ser expresado por medio de la siguiente proposición:

(S ⊂ Q) ≡ (∀ s ∈ S, s ∈ S ⇒s ∈ Q)

En la teoría atonal, la inclusión será siempre estricta, lo que significa que el conjunto incluido será de cardinalidad menor que el que lo incluye. Lo anterior queda expresado en la siguiente proposición:

(S ⊂ Q) ≡ (∀ s ∈ S, s ∈ S ⇒s ∈ Q) ∧ (∃q | q ∈ Q ∧ q ∉ S)

En el caso anterior, S se encuentra literalmente incluido en Q, por lo que dichos conjuntos recibirán el nombre de subconjunto y superconjunto, respectivamente.

Si, por otro lado, S y Q son dos conjuntos, tales que |S| < |Q|, y al menos un elemento de S no es elemento de Q, escribiremos S ⊄ Q, lo que significa que S no está incluido en Q, o lo que es lo mismo, S no es un subconjunto de Q:

(S ⊄ Q) ≡ (∃ s | s ∈ S ∧ s ∉ Q)

Apéndice 1: Conceptos básicos de lógica y teoría de conjuntos, ver punto A1.4.

EJEMPLO 34

RELACIÓN DE INCLUSIÓN ENTRE CONJUNTOS DE CLASES DE ALTURAS (GEORGINA DERBEZ, FANTASÍA, PARA VIOLÍN Y PIANO: I, PRELUDIO, CC. 1-10)

En el ejemplo 34 se cita el pasaje de la Fantasía para violín y piano de Georgina Derbez, previamente analizado en el ejemplo 30. En esta ocasión, nos concentraremos en algunos aspectos concernientes a la organización de las c.a. en el piano.

Los conjuntos K contienen las c.a. tocadas por el piano a lo largo del pasaje y han sido ordenados cronológicamente por medio de una sucesión numérica ascendente K1, K2, ..., K5. Aquí, la relación de inclusión expresa el proceso acumulativo de K hacia la obtención del agregado, ya que K1 ⊂ K2 ⊂ K3 ⊂ K4 ⊂ K5. No nos debe sorprender el hecho de que la cardinalidad máxima alcanzada por los conjuntos K, que es de 9 en K5, sea menor al agregado: recordemos que la tarea de completarlo ha sido asignada al violín.

Los conjuntos J contienen únicamente las c.a. correspondientes a la mano derecha del pianista (ubicadas en el pentagrama superior de la parte del instrumento); por definición, entonces, tenemos que cada conjunto K incluirá un conjunto J (de hecho, veremos un poco más adelante que puede llegar a incluir a más de uno).

J, al igual que K, es sometido a un proceso acumulativo, expresado por la relación J1 ⊂ J2 ⊂ J3. Existen varias razones para aislar a la mano derecha como objeto de estudio particular. En primer lugar, el comportamiento lineal de las dos manos es contrastante: la mano derecha tiene a su cargo únicamente sonidos simultáneos, que reciben una sola articulación por compás durante los cc. 1 a 3; en el cuarto compás da inicio un pulso isócrono de cuarto, primero sugerido por la articulación de la resonancia bajo la presión silenciosa de las teclas y, a partir del compás 6, ejecutado en forma tradicional. De hecho, es este pulso isócrono el que activa el proceso acumulativo de la mano derecha J1 ⊂ J2 ⊂ J3, que se traduce en acordes cuya densidad creciente va de dos a tres y, finalmente, cuatro notas por ataque, respectivamente. La mano izquierda, en cambio, toca exclusivamente sonidos no simultáneos, de duración variable, que a partir del compás 6 se contraponen rítmicamente al pulso de la mano derecha. En segundo lugar, el proceso acumulativo de la mano derecha se desarrolla en forma independiente al del piano, considerado en su totalidad (véase el desfasamiento de los ciclos J y K en el ejemplo 34): J1⊂ (K1, K2, K3); J2 ⊂ (K3, K4, K5); J3 ⊂ K5. Esto crea una tensión discursiva entre el desarrollo lineal de la mano derecha y el movimiento hacia el agregado del piano. Por último, la conformación interválica de los conjuntos J contrasta con la de los conjuntos K; si éstos se aglutinan cromáticamente en el espacio-a, las alturas (contiguas) de los primeros se encuentran conectadas por el intervalo 20. Esto quiere decir que mientras el piano en su totalidad tiende hacia el agregado, la mano derecha, por su parte, parece dirigir su atención hacia una colección de tonos enteros. Antes de abandonar el fragmento, vale la pena destacar un par de congruencias estructurales. La primera tiene que ver con la manera en que los conjuntos J llevan a cabo su proceso de incorporación de alturas: la díada vertical {75, 95} incorpora primero a la altura 55 (en J2), que se encuentra al intervalo -20 de la altura 75, y después incorpora a la altura B5 (en J3), que se encuentra al intervalo +20 de la altura 95. Este proceso es una réplica a escala de la forma en la cual el agregado es desplegado por los conjuntos C en el ejemplo 30. Allí, el piano lleva a cabo la incorporación de alturas por medio del intervalo -10 en los cc. 1-7 (conjuntos C1 a C5) y después, en los cc. 8- 10 (conjunto C5), el violín culmina el proceso con base en el intervalo +10, tomando como punto de partida la nota más alta del piano, la altura 95 (ver ejemplo 31).

La segunda congruencia involucra tanto al proceso acumulativo de la mano derecha del pianista, como a la tendencia hacia el agregado del piano y su obtención final por parte del violín. Ya vimos (e ilustramos en el ejemplo 31) que el registro del piano alcanza una extensión máxima de 60, antes de que aparezca el violín, en el compás 8, para llevar a cabo el relevo instrumental en el despliegue del agregado. Pues bien, la misma extensión máxima de 60, asociada a una densidad máxima de cuatro notas por ataque, es alcanzada por la mano derecha en J3, precisamente en el momento en el que el violín completa el agregado, como se puede ver en el ejemplo 34. Esta coordinación entre el punto climático de la mano derecha y la obtención del agregado por parte del violín sugiere una atractiva hipótesis para explicar la permutación de los dos últimos elementos del agregado del violín, las alturas 16 y 26. Recordemos que el violín empieza desplegando el agregado en forma cromática ascendente, en dirección opuesta al piano, por lo que se esperaría que concluyera con la altura 26, precedida por la 16, tal como se muestra en el ejemplo 31. Sin embargo, el orden de estas últimas dos alturas se encuentra permutado en la partitura, lo que propicia una coincidencia exacta entre la nota más alta del agregado en el violín, la altura 26, y el primer ataque del acorde, también climático, de la mano derecha del pianista, representado por J3.

En el ejemplo 35 se presenta un diagrama del tipo de Euler-Venn que ayudará a visualizar la relación de inclusión entre conjuntos. La letra U representa al universo.

EJEMPLO 35.

Diagrama de la relación de inclusión entre los conjuntos S y Q

También se puede indicar la inclusión invirtiendo los términos, es decir, escribiendo S ⊃ Q, que significa “S contiene a Q”, como se puede ver en el diagrama anterior.

2.8 Relación de unión entre conjuntos

Si S y Q son dos conjuntos, entonces podemos tener un tercer conjunto S ∪ Q, al que llamaremos “la unión de S y Q”, que es el conjunto más pequeño posible que contiene a S y Q como subconjuntos. Esto lo representamos como:

S ∪ Q = {x | x ∈ S v x ∈ Q}

Lo que significa que S ∪ Q es el conjunto cuyos elementos son aquellas x tales que x es uno de los elementos de S, o x es uno de los elementos de Q. En otras palabras, S ∪ Q es el conjunto que resulta de reunir en uno solo a los elementos de S y Q.

En el ejemplo 28 se abordó un pasaje de la sonata para piano de Armando Luna, que es reproducido ahora en el ejemplo 36. Viéndolo más detenidamente, se puede observar que el pasaje está basado en un gesto musical que involucra dos elementos: 1) un acorde de cinco notas que aparece en el primer tiempo de los compases 1 y 2, así como en el compás 3, y 2) un arpegio ascendente que se mueve por cuartas y que va incorporando elementos en cada una de sus apariciones (la primera vez que se escucha contiene las c.a. 0 y 6, mientras que en su segunda aparición contiene las c.a. 0, 6 y B). Si bien en el ejemplo sólo se muestran los primeros tres compases de la pieza, la tendencia acumulativa del arpegio es un elemento fundamental del discurso inicial de la obra.

En el ejemplo 36, el proceso acumulativo de los arpegios queda expresado en la relación K ⊂ L; mientras que la sonoridad total del fragmento, concebida como el producto de la reunión de dos procesos (conjuntos) independientes, queda expresada en la relación L ∪ J = X

EJEMPLO 36

RELACIÓN DE UNIÓN ENTRE CONJUNTOS DE CLASES DE ALTURAS (ARMANDO LUNA, SONATA PARA PIANO: 1ER MOV., DANZA, CC. 1-3)

El siguiente diagrama nos ayuda a visualizar la relación de unión entre conjuntos:

EJEMPLO 37.

Diagrama de la relación de unión entre los conjuntos

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2.9. Relación de intersección entre conjuntos

Si S y Q son dos conjuntos, entonces podemos tener un tercer conjunto que resulta de quedarse únicamente con los elementos que S y Q tienen en común. Este nuevo conjunto, al que llamaremos S∩Q, denota la intersección entre ambos.

Podemos representar la definición anterior por medio de la siguiente proposición:

S∩Q = {x | x ∈ S ∧ x ∈ Q}

Lo que significa que S ∩ Q es el conjunto cuyos elementos son aquellas x tales que x es elemento de S y x es elemento de Q.

En el ejemplo 38 tenemos un pasaje de Chain 2, para violín y orquesta, de Lutoslawski, en el que solamente participan el instrumento solista y la sección de cuerdas.

EJEMPLO 38

RELACIÓN DE INTERSECCIÓN ENTRE CONJUNTOS DE CLASES DE ALTURAS (WITOLD LUTOSLAWSKI, CHAIN 2, PARA VIOLÍN Y ORQUESTA: 4. A BATTUTA, Nº DE ENSAYO 116-117)

El conjunto V = {1,2,3,8,9,A,B} representa las c.a. empleadas por el violín en el pasaje, mientras que el conjunto S = {0,4,6,7,8} corresponde a las c.a. de la sección de cuerdas. La intersección entre ambos conjuntos aparece representada por el conjunto V ∩ S = {8}, ya que ésta es la única c.a. que comparten.

Se puede observar que la c.a. 8 juega un papel muy particular dentro del fragmento, ya que se escucha dos veces dentro del primer grupo de dieciseisavos en la parte del violín, mientras que en la sección de cuerdas es diferida hasta la entrada de los contrabajos; sin embargo, una vez que es incorporada al conjunto de la sección de cuerdas, desaparece de la parte del solista y es sustituida por la c.a. 1, que hace su aparición en el segundo grupo de dieciseisavos (en la parte del violín). De esta forma, la intersección entre los dos conjuntos es utilizada para llevar a cabo una transferencia de material entre el solista y la sección de cuerdas.

La relación de intersección entre conjuntos se ejemplifica en el siguiente diagrama:

EJEMPLO 39

Diagrama de la relación de intersección entre los conjuntos S y Q

2.10. Conjuntos ajenos

Si S y Q son dos conjuntos, y S ∩ Q = ∅, entonces se dice que los conjuntos S y Q son ajenos o disjuntos, ya que no tienen ningún elemento en común.

En el ejemplo 40, la relación de conjuntos ajenos enfatiza el contraste entre el discurso dinámico del instrumento solista, localizado en un primer plano, y la desintegración rítmica de la sección de cuerdas, que es empleada como textura de fondo.

EJEMPLO 40

RELACIÓN DE CONJUNTOS AJENOS ENTRE CONJUNTOS DE CLASES DE ALTURAS (WITOLD LUTOSLAWSKI, CHAIN 2, PARA VIOLÍN Y ORQUESTA: 1. AD LIBITUM, Nº DE ENSAYO 2-3)

El conjunto del violín es: V = {0,1,3,4,5,8,B}, mientras que el correspondiente a la sección de cuerdas, que actúa en el pasaje sin los violines primeros, es S = {2,6,9,A}. Obsérvese que V ∩ S = ∅, ya que estos dos conjuntos no comparten ninguna c.a.

EJEMPLO 41

Diagrama de la relación de conjuntos ajenos entre S y Q

El conjunto S - Q

Si S y Q son dos conjuntos, entonces podemos tener un tercer conjunto que denotaremos con el símbolo S - Q, que leeremos “S menos Q” o “complemento de Q relativo al conjunto S”, que se caracteriza por ser el subconjunto más grande de S que es ajeno a Q :

En el ejemplo 38 se representó con el conjunto V = {1,2,3,8,9,A,B} el material del violín solista y con S = {0,4,6,7,8} el de la sección de cuerdas, por lo que S - V = {0,4,6,7}. Este último contiene todas las clases de alturas de los instrumentos de la sección de cuerdas que inician a principio de compás, quedando excluida la c.a. 8 que aparece posteriormente en los contrabajos (ver ejemplo 38).

EJEMPLO 42.

2.12. Conjuntos complementarios

Si S y Q son dos conjuntos, entonces Q será el complemento de S si contiene todos los elementos del universo que no aparecen en el conjunto S. El complemento de un conjunto se indica normalmente trazando una línea horizontal sobre la letra que lo representa. Así, S será el complemento del conjunto S y viceversa:

S = { x I x ∉ S ∧ x ∈ U }

Observemos que U - S = S, por lo que S ∪ S =U, mientras que S ∩ S = ∅.

EJEMPLO 43

CONJUNTOS DE C.A. COMPLEMENTARIOS (WITOLD LUTOSLAWSKI, CHAIN 2, PARA VIOLÍN Y ORQUESTA: 1. AD LIBITUM, Nº DE ENSAYO 15-16)

En el ejemplo 43, el conjunto V = {2,3,4,5,6,7,8,9} contiene las c.a. utilizadas por el violín solista, mientras que el conjunto W = {0,1,A,B} contiene las c.a. utilizadas tanto por el piano como por la sección de cuerdas (sin violines primeros). Obsérvese que el conjunto W = V, ya que contiene todas las c.a. del universo que no se encuentran en V, además de no compartir ninguna c.a. con dicho conjunto.

No olvidemos que nos encontramos en el espacio-c.a., por lo que U = agregado =V ∪ V.

El ejemplo 44 presenta otro caso de conjuntos complementarios.

EJEMPLO 44

EL COMPLEMENTO DE LA UNIÓN DE DOS CONJUNTOS (ARMANDO LUNA, SONATA PARA PIANO: 1ER MOV., DANZA. CC. 21-32)

El conjunto V = {0,B} del compás 21 representa, desde la perspectiva del registro, el punto climático de un pasaje previo de contorno ascendente, no incluido en el ejemplo. Se puede apreciar que la influencia de V como punto climático se mantiene a lo largo de todo el pasaje, y que su actividad rítmica se ve incrementada paulatinamente hasta el momento en que finalmente desemboca en el acorde del compás 32.16 El conjunto V interactúa con otros dos objetos sonoros a lo largo del fragmento (sin contar el acorde final del compás 32); éstos son: los nonillos con valor de dieciseisavo, representados por el conjunto W en la mano derecha y X en la mano izquierda, y el conjunto formado por las c.a. 0 y 6, que aparecen a principio del compás 24 y en el compás 26. Dejando a un lado este último conjunto, así como el acorde final del pasaje, que serán discutidos en el capítulo 4 (punto 4.1), tenemos que los conjuntos W = {2,4,5,7,9} y X = {1,3,6,8,A} son conjuntos ajenos, ya que W∩ X = ∅. Debido a que W y X aparecen siempre en forma simultánea, además de que tienen la misma duración y comparten un contorno simétrico invertido, dicho par de conjuntos son percibidos auditivamente como una sola sonoridad, a la que llamaremos conjunto Y, que se define por la relación W ∪ X =Y = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,A}. Podemos observar también que V = Y, y viceversa, ya que V ∩ Y = ∅ y V∪ Y =U dentro del contexto del espacio-c.a. La relación de complementos mutuos entre V e Y se encuentra resaltada en la partitura por la cercanía que ambos conjuntos mantienen durante todo el pasaje.

EJEMPLO 45

Diagrama de conjuntos complementarios

Ya se comentó que no importa la cardinalidad de cada conjunto, por lo que S ≤ S, ó S > S.

2.13. Diferencia simétrica o suma booleana

Esta relación entre conjuntos se define en función de la unión, intersección y diferencia relativa. Si S y Q son dos conjuntos, entonces S ∆ Q = (S ∪ Q)- (S ∩ Q).

La diferencia simétrica indica que S ∆ Q es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a S o a Q, pero no a ambos (es decir, los elementos de S y Q que quedan fuera de la intersección entre ambos conjuntos).

El pasaje musical del ejemplo 46 hace un uso extenso de la diferencia simétrica.

EJEMPLO 46

DIFERENCIA SIMÉTRICA ENTRE CONJUNTOS DE C.A. (HEBERT VÁZQUEZ, LAS NOSTÁLGICAS MUTACIONES DEL NÚCLEO, PARA GUITARRA AMPLIFICADA Y ORQUESTA: CC. 260-266)

Los conjuntos en los que están organizadas las clases de alturas del fragmento son α = {0,2,3,5,6,8,9,B}, β = {0,1,3,4,6,7,9,A}, y γ = {1,2,4,5,7,8,A,B}. Estos tres conjuntos de cardinalidad 8 poseen la misma estructura interválica, basada en la alternancia de intervalos 1 y 2 entre elementos contiguos. A este tipo de conjuntos se le conoce con el término genérico de colección octáfona y únicamente existen tres ejemplares diferentes de ellos, justamente los que hemos denominado α, β y γ. Un aspecto interesante de los tres conjuntos octáfonos es que α Δ β = γ; α Δ γ = β; y β Δ γ = α. Esto quiere decir que la diferencia simétrica entre dos conjuntos octáfonos cualesquiera será siempre igual al tercer conjunto octáfono faltante, como podrá comprobar el lector.

El material generador del ejemplo 46 es la línea melódica que inicia en los violines primeros y lleva a cabo un relevo instrumental en la guitarra para regresar a los mismos violines en los últimos dos compases. Se puede apreciar que dicha melodía está conformada exclusivamente por conjuntos α, β y γ en sucesión ininterrumpida (en realidad, la mayor parte son subconjuntos de α, β y γ, ya que su cardinalidad es menor a 8). El resto de las c.a. del fragmento, que se organizan en diversos grupos instrumentales, son generadas a partir de la diferencia simétrica entre los conjuntos adyacentes de esta melodía principal. Así, el grupo constituido por los violines segundos, las violas y los chelos se encuentra asociado a los violines primeros, y sus c.a. son definidas por la diferencia simétrica entre los conjuntos contiguos de estos últimos. En los dos primeros compases, por ejemplo, la línea de los violines primeros se compone de β seguido de γ, de manera que es precisamente la diferencia simétrica entre estos dos conjuntos la que establece las c.a. de los violines segundos, las violas y los chelos (ver ejemplo 46). De hecho, el trazo melódico de estos instrumentos podría ser continuo, como el de los violines primeros, pero en lugar de esto todos ellos presentan silencios en los puntos en que se localizan las c.a. de los violines primeros, que pertenecen a la intersección entre β y γ, es decir, en las c.a. 1, 4, 7 y A. Lo anterior se debe a que estas c.a., al quedar excluidas por definición de la relación β Δ γ (no olvidemos que β Δ γ = (β ∪ γ) - (β ∩ γ), son incapaces de ser decodificadas por los violines segundos, las violas y los chelos, para producir sus propias notas. Lo mismo sucede con el clarinete y el fagot, cuyo contenido de c.a., así como su rítmica común, se derivan de la diferencia simétrica entre los conjuntos adyacentes de la guitarra, a la que acompañan.

El código armónico que establece las clases de alturas de los instrumentos acompañantes es el que se muestra en las tablas del ejemplo 47.17

EJEMPLO 47.

Código armónico del pasaje correspondiente al ejemplo 46

Cada tabla posee ocho columnas de tres c.a. cada una; siempre nos referiremos a estas columnas numerándolas de izquierda a derecha. La c.a. ubicada en el extremo superior de cada columna pertenecerá invariablemente a la línea generadora y las dos restantes a los instrumentos que la acompañan. Tomemos como ejemplo la línea generadora de la guitarra, que inicia en el tercer compás del ejemplo 46: sus dos primeros compases están conformados por el conjunto g seguido de a. Por lo tanto, las c.a. del clarinete y el fagot, que la acompañan, son obtenidas de la relación α Δ γ, que es la que corresponde a la tabla 3. En la partitura, la guitarra inicia con la c.a. 1, que en la tabla 3 se encuentra como nota superior de la segunda columna, acompañada por las c.a. 9 y 4, que son tocadas por el clarinete y el fagot, respectivamente. La guitarra procede, entonces, con la c.a. 4, que ubicamos como nota superior de la cuarta columna, acompañada por la c.a. 6 en el clarinete y la c.a. 7 en el fagot. La tercera nota de la guitarra es la c.a. 2, pero dado que 2 ∉ (α Δ γ), el clarinete y el fagot, incapaces de decodificarla, la sustituyen por un silencio de dieciseisavo. Y así, podemos seguir con la lectura de la partitura. De esta manera, el código de las tres tablas no se limita a la generación de contenido armónico, sino que igualmente extrae variantes rítmicas de la línea continua original, al imponer silencios en los instrumentos que la acompañan.

Hay un último ingrediente del código armónico que fue concebido para otorgar mayor plasticidad al discurso musical. Se trata de una regla que establece que toda nota que aparezca por segunda ocasión en una línea melódica generadora, dentro de un pasaje continuo definido por la misma diferencia simétrica, será decodificada por un nuevo grupo instrumental en forma de notas tenidas asociadas a un crescendo. Tal es el caso de la c.a. 7, que es emitida dos veces por la guitarra en el quinto compás del ejemplo 46. En ese momento, las c.a. del clarinete y el fagot se encuentran bajo el dominio de α ∆ β, cuyo código armónico es generado por la tabla 2. De esta manera, la primera c.a. 7 de la guitarra es acompañada por la c.a. 5 del clarinete y A del fagot, de acuerdo con lo estipulado en la quinta columna de dicha tabla. Pero al ejecutar la guitarra su segunda c.a. 7, las c.a. 5 y A del acompañamiento (que ahora incorpora también a la propia c.a. 7) son transferidas a la flauta (c.a. 7), el oboe (c.a. 5), el corno (c.a. A) y los contrabajos (c.a. 7), y asociadas con una duración de cinco dieciseisavos y un crescendo de piano a mezzoforte (salvo en el caso de los contrabajos, cuya dinámica es de mezzoforte).

El código armónico-rítmico-instrumental estudiado en el pasaje del ejemplo 46 se extiende a lo largo de 25 compases, en los que sigue estando definido por los conjuntos octáfonos y sus diferencias simétricas (que también son conjuntos octáfonos, como ya vimos). Esto le confiere a la música una sonoridad característica.

EJEMPLO 48

Diagrama de la relación S ∆ Q

2.14. Algunos ejemplos de relaciones entre conjuntos en el espacio-a

Los seis acordes en los que está basada la obra Dérive de Boulez, expuestos en el ejemplo 32, nos servirán para explorar algunas relaciones entre conjuntos, ahora en el espacio-a.

Tenemos los siguientes conjuntos derivados de los acordes correspondientes:

Podemos empezar por investigar qué posibilidades de notas comunes tenemos entre dos acordes dados dentro del sistema; para esto, utilizaremos la relación de intersección:

De lo anterior se desprende la siguiente información:

1. Dado cualquier par de acordes, tendremos no menos de una nota común, ni más de dos, entre ambos; salvo en el caso de los acordes 3 y 5, que no presentan notas comunes entre sí.

2. El acorde 5 no tiene dos notas comunes con ningún otro acorde (0 acordes); el acorde 6 tiene dos notas comunes con el acorde 4 (1 acorde); el acorde 2 tiene dos notas comunes con el acorde 1 (1 acorde); el acorde 4 tiene dos notas comunes con los acordes 3 y 6 (2 acordes); el acorde 3 tiene dos notas comunes con los acordes 1, 2 y 4 (3 acordes).

3. Las posibilidades de notas comunes entre más de dos acordes son:

Esto es, la altura 94 actúa como nota común entre los acordes 1, 2 y 5; los acordes 4, 5 y 6 comparten la altura 14; mientras que la altura 35 es compartida por todos los acordes, excepto el acorde 5.

Si bien es cierto que esta información es meramente estadística y que su importancia real depende totalmente de las intenciones estructurales del compositor, es también indiscutible que nos da una perspectiva del potencial del material, lo cual puede resultar muy valioso como punto de partida analítico.

Por ejemplo, en el siguiente pasaje, tomado del inicio de la obra, las notas comunes entre los acordes 1 y 2 actúan a manera de puente entre ambos.

EJEMPLO 49

LA INTERSECCIÓN UTILIZADA COMO ENLACE ENTRE SONORIDADES (PIERRE BOULEZ, DÉRIVE, PARA FL., CL. EN LA, VN., VC., Y PF.: CC. 1-2)

En el ejemplo 49 se lleva a cabo un cambio del acorde 1 al 2 a mitad del primer compás. Las primeras dos notas tocadas por el piano al inicio del acorde 2 (esto es, las alturas 94 y 35) representan la intersección entre ambos acordes y son usadas por el compositor en el momento de pasar de una sonoridad a la otra, destacando su función de notas comunes. La entrada de la flauta coincide con el cambio de acorde,18 y su primera nota, la altura 3 , es también una nota común (dado que las alturas de los acordes son todas de registro fijo, la flauta no puede emitir la altura 94, ya que queda fuera de su ámbito). Las alturas 06 y 46 del grupo de notas de adorno de la flauta, sin embargo, pertenecen al acorde 1, tal como se señala en el ejemplo.

Ahora, digamos que nos interesa, por ejemplo, investigar la propiedad contraria, qué alturas son privativas de cada acorde y no se encuentran en ninguno de los demás. Para esto utilizaremos una variante de la relación S - Q vista en el punto 2.11:

Con la relación anterior se crea, en cada caso, un subconjunto del acorde inicial, cuya característica será tener por elementos a las alturas que no se pueden encontrar en otros acordes. Dicho subconjunto, por consiguiente, representa la porción del acorde cuya sonoridad es totalmente original. Así, en a) tenemos que {24, B4, 46} es el subconjunto de las notas del acorde 1 que no se encuentran en ningún otro acorde; en b) el subconjunto {A5, 66, 86, 57} es privativo del acorde 2, etcétera.

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