Correa Morales, Juan Carlos

Introducción a la Estadística Bayesiana / Juan Carlos Correa Morales, Carlos Javier Barrera Causil. Medellín: Instituto Tecnológico Metropolitano, 2019

(Textos Académicos)

Incluye referencias bibliográficas

1. Estadística bayesiana I. Barrera Causil, Carlos Javier II. Título III. Serie

519.542 SCDD Ed.21

Catalogación en la publicación - Biblioteca ITM

Introducción a la Estadística Bayesiana

© Instituto Tecnológico Metropolitano

Ediciones:

Html, ene 2018: ISBN 978-958-5414-24-2

Epub, feb 2019: ISBN 978-958-5414-71-6

Pdf, feb 2019: ISBN 978-958-5414-72-3

Autores

JUAN CARLOS CORREA MORALES

CARLOS JAVIER BARRERA CAUSIL

Rectora

MARÍA VICTORIA MEJÍA OROZCO

Directora Editorial

SILVIA INÉS JIMÉNEZ GÓMEZ

Comité Editorial

JAIME ANDRES CANO SALAZAR, PHD.

SILVIA INES JIMENEZ GOMEZ, MSC.

EDUARD EMIRO RODRIGUEZ RAMIREZ, MSC.

VIVIANA DIAZ, ESP.

Corrección de textos

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Asistente Editorial

VIVIANA DÍAZ

Diagramación

CARLOS JAVIER BARRERA CAUSIL

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La incertidumbre está en todas partes y tú no puedes escapar de ella.

Dennis Lindley

El azar no es, sin embargo, una loca fantasía; responde a su vez a leyes.

Los dados obedecen a la gravedad y sólo tienen seis caras.

Juan José Sebreli

Comediantes y mártires: ensayo contra los mitos

Prefacio

La estadística bayesiana es un campo que ha tenido un desarrollo impresionante en los últimos años, en especial desde la introducción de la parte computacional. Muchas ideas han estado circulando desde hace tiempo, pero su imposibilidad práctica hacía que se miraran con cierto pesar, ya que eran muy atractivas pero inaplicables. Esto afortunadamente ha cambiado. Es lamentable que muchos de los libros básicos en estadística no hagan una presentación de los elementos básicos de esta aproximación para la solución de problemas estadísticos. Libros en estadística bayesiana han aparecido en las últimas dos décadas por cantidades apreciables. Antes de los años 90 se tenían libros más enfocados en la teoría de la decisión ([1]; [2]; [3]; [4]; [5]; [6]; [7]; [8]), en aspectos teóricos de la probabilidad subjetiva ([9]; [10]) y algunos pocos a la estadística bayesiana aplicada ([11]; [12]; [13]; [14]). En las últimas dos décadas esto se ha revertido y encontramos libros aplicados de estadística bayesiana en muchas áreas: generales ([15]; [16]; [17]; [18]; [19]; [20]; [21]; [22]; [23]; [24]; [25]), pronósticos [26], econometría [27], bioestadística ([28]; [29]; [30]), ciencias sociales ([31]; [32]), confiabilidad ([33]; [34]), mercadeo [35], aplicaciones en ingeniería civil [36] y otros dedicados a la parte computacional ([37]; [38]; [39]; [40]; [41]; [42]). Samaniego [43] presenta una extensa comparación entre los métodos frecuentistas y los métodos bayesianos. La estadística bayesiana no ha tenido un camino fácil en el mundo del trabajo aplicado. Qin [44] presenta un recuento histórico del uso, discusiones y reservas, de la estadistica bayesiana en econometría, historia que puede ser similar en diferentes áreas de investigación. La Inteligencia Artificial es un área de un fuerte desarrollo tanto teórico y aplicado de gran importancia que hace uso extenso de métodos bayesianos [45].

Aquí vamos a presentar una aproximación eminentemente práctica, esto es, el lector puede aplicar de forma casi inmediata los métodos a problemas reales. El software que se utilizará es de dominio público como el R [46] y el OpenBUGS. Se requiere familiaridad con el primer programa, al menos a un nivel operativo básico. Haremos énfasis en la parte de construcción de la distribución a priori que resuma el conocimiento previo del experto. Esta parte generalmente no es considerada en los textos de estadística bayesiana moderna, pero consideramos que es la esencia misma del análisis bayesiano y constituye el aporte de este trabajo. Consideramos que si la estadística bayesiana se diferencia en algo de la estadística tradicional (clásica) es en permitirle al usuario incorporar información disponible de una manera transparente y directa.

El programa y lenguaje estadístico R [46] se ha vuelto uno de los estándares para realizar trabajo estadístico, tanto aplicado como el desarrollo de nuevas metodologías. La estadística bayesiana se ha beneficiado enormemente de la flexibilidad y el potencial de este programa, el cual permite crear fácilmente librerías y ponerlas en la red de tal forma que usuarios a nivel mundial puedan usarlas y validarlas, retroalimentando a sus creadores de tal forma que, en muy poco tiempo se tengan subprogramas de gran eficiencia y calidad. Hay ahora muchas librerías que han sido creadas para resolver problemas de tipo general, como son modelos lineales y lineales generalizados, o más generales aún que permiten a un usuario resolver problemas propios mediante el uso de muestreadores proporcionados en estas librerías, como ejemplo tenemos MCMCpack [47] [48], la cual permite ajustar muchos modelos útiles en el trabajo aplicado de una manera simple y directa como se hace en R. Creemos que el éxito de R ha venido en el detrimento de programas como el WinBUGS, ya que un investigador prefiere crear programas que por un lado sean más transparentes y, por otro lado, que lleguen a un público más amplio, aunque los estadísticos bayesianos dicen que son complementarios.

Este texto está dirigido a investigadores, estudiantes de pregrado y posgrado en estadística, ingeniería y ciencias, que tengan familiaridad con los métodos estadísticos a un nivel operativo, al menos. Conocimiento de inferencia a un nivel de un texto básico de estadística matemática del estilo de Hogg y Craig [49] o Mood, Graybill y Boes [50] ayuda bastante.

Índice general

I Elementos básicos

1. Introducción

1.1. Ejemplos típicos

1.2. Probabilidad personal o subjetiva

1.3. Aproximaciones al análisis bayesiano

1.4. Problemas con la aproximación clásica

2. Probabilidad subjetiva «a priori»

2.1. Clasificación de las distribuciones a priori

2.2. Distribuciones a priori no informativas

2.2.1. Distribuciones a priori informativas

2.2.2. Probabilidad personal

2.3. Probabilidad subjetiva, apuestas y loterías

3. Análisis preposterior

3.1. Distribución predictiva a priori

4. Teorema de Bayes

4.1. Usos de la función de verosimilitud en análisis bayesiano

5. Distribuciones conjugadas

5.1. Distribución binomial

5.2. Distribución binomial negativa

5.3. Distribución geométrica

5.4. Distribución multinomial

5.5. Distribución Poisson

5.6. Distribución exponencial

5.6.1. Caso especial: se observa solo el primer estadístico de orden

5.6.2. Caso especial: se observa solo el n-ésimo estadístico de orden

5.6.3. Caso especial: se observan algunos datos censurados en el punto x₀

5.6.4. Caso especial: se observan todos los datos censurados en el punto x₀

5.6.5. Aumentación (data augmentation)

5.7. Distribución normal

5.7.1. Inferencia sobre la media: precisión conocida

5.7.2. Inferencia sobre la precisión: media conocida

5.7.3. Media y precisión desconocidas

5.8. Distribución gamma

5.9. Conjugadas en tramos

6. Distribuciones a priori no informativas

6.1. El principio de la razón insuficiente de Laplace

6.2. A priori de Jeffreys

6.3. Otras alternativas para las a priori

7. Marginalización

8. Inferencia bayesiana

8.1. Estimación puntual

8.2. Regiones de credibilidad

8.2.1. Región de la densidad posterior más alta (RDPMA)

8.2.2. Intervalos frecuentistas tradicionales para la Poisson

8.2.3. Intervalos aproximados

8.3. Pruebas de hipótesis

8.3.1. Comparación de modelos

8.4. Cálculo del factor de bayes vía MCMC

8.4.1. Método de Carlin y Chib

8.4.2. Método de Dellaportas, Foster y Ntzoufras

8.5. Otras aproximaciones al factor de Bayes

8.6. La aproximación BIC

8.7. Verosimilitud cruzada para selección

8.7.1. Análisis exploratorio de datos

8.8. Estadística bayesiana empírica

II Estadística Bayesiana Computacional

9. Estadística bayesiana vía simulación

9.1. MCMC: Monte Carlo por cadenas de Markov

9.1.1. Glosario de cadenas de Markov

9.1.2. Muestreo de importancia

9.1.3. Muestreo por rechazo

9.1.4. Muestreador de Gibbs

9.1.5. Algoritmo Metropolis-Hastings

9.1.6. El algoritmo Metropolis

9.2. Reflexiones acerca el MCMC

9.2.1. Problemas con el muestreador de Gibbs

9.2.2. Ventajas y desventajas dos esquemas de muestreo

9.2.3. Una prueba simple de convergencia

9.2.4. Muestreador de Gibbs y problemas con datos censurados

9.3. Cálculo de integrales via simulación

10. Diagnósticos de los muestreadores MCMC

10.1. Monitoreo y convergencia de una MCMC

10.1.1. Diagnósticos

10.2. Diagnósticos en CODA

III Aplicaciones

11. Modelos lineales

11.1. La regresión clásica

11.1.1. Regresión simple

11.1.2. Modelo de regresión lineal múltiple

11.1.3. Notación matricial

11.2. Análisis conjugado

11.2.1. Distribución predictiva

11.2.2. Elicitación en el modelo lineal

11.2.3. Inferencias

11.2.4. Pruebas de hipótesis

11.3. Estrategias en modelación

11.4. Librería MCMCpack

11.5. Detección de outliers

12. Modelo lineal generalizado

12.1. Modelo logístico

12.1.1. Selección de la distribución a priori

12.1.2. Extensiones del modelo logístico

12.2. Regresión Poisson

13. Inferencia predictiva

13.1. Procedimiento exacto

13.2. Distribución predictiva vía MCMC

13.2.1. Algoritmo

14. Software para estadística bayesiana

14.1. Estadística bayesiana en R

14.1.1. Librería MCMCpack

14.2. Tutorial sobre OpenBUGS

14.3. ¿Qué se espera de un software para estadística bayesiana?

14.3.1. Utilización de WinBUGS y OpenBUGS

14.3.2. Algunos de los comandos de WinBUGS y OpenBUGS

Referencias

Parte I

Elementos básicos

Capítulo 1

Introducción

El problema fundamental del progreso científico, y uno fundamental en la vida diaria, es el de aprender de la experiencia. El conocimiento obtenido de esta manera es parcialmente una descripción de lo que ya hayamos observado, pero una parte consiste en la realización de inferencias de la experiencia pasada para predecir la experiencia futura [9].

La escuela bayesiana en estadística ha tomado fuerza en los últimos años, debido a su potencial para resolver problemas que no se pueden atacar con otros métodos y porque permite incorporar naturalmente información que es útil en la solución del problema enfrentado. Nadie niega que ante un problema en particular debemos utilizar toda la información disponible acerca del mismo o de sucesos similares. Para nuestro caso estadístico, la incertidumbre sobre parámetros poblacionales se resume por medio de distribuciones de probabilidad, que antes de recoger información muestral relevante para ellos, se conoce como ‘distribución a priori.’ El problema está en la forma de cuantificar esta información sin generar alguna contradicción.

La aproximación bayesiana es una herramienta fundamental en situaciones donde la recolección de información muestral sea muy difícil, por ejemplo en tópicos de alta sensibilidad social, tales como el consumo de drogas ilícitas, o extremadamente costosos o imposibles, como sería el caso de la determinación del riesgo de falla de una nueva nave espacial o cuál es la probabilidad de que haya vida inteligente en nuestra galaxia.

Un problema que se ha planteado cuando se habla de la escuela bayesiana es que dos personas enfrentadas ante un problema y una decisión a tomar, y asumiendo que tengan la misma información muestral, pueden llegar a dos decisiones opuestas si su información adicional es diferente. Greenland [51] afirma que «los epidemiólogos perciben la especificación de la distribución a priori como no práctica y además pocos epidemiólogos emplearían métodos que no están disponibles en paquetes estadísticos líderes». Dienes [52] discute en detalle las posiciones de ambas escuelas.

En estadística realizamos y tratamos de responder preguntas con respecto a las características de una o varias poblaciones. En la aproximación bayesiana tenemos:

■La información sobre un parámetro (puede ser un vector) que se tiene se debe resumir en una distribución de probabilidad, esta será llamada la distribución a priori.

■Los parámetros son considerados variables aleatorias (esto no es aceptable en la estadística clásica).

■La información a priori puede provenir de:

•Estudios previos.

•Información subjetiva de expertos (la cuantificación de esta información es lo que llamamos elicitación).

Albert [53] presenta las siguientes razones por las cuales se debería enseñar estadística desde el punto de vista bayesiano:

■El paradigma bayesiano es un medio natural de implementar el método científico donde la distribución a priori representa sus creencias iniciales acerca del modelo, usted recoge los datos adecuados, y la distribución posterior representa sus creencias actualizadas después de ver los datos.

■Si la incertidumbre acerca de los modelos es expresada utilizando probabilidad subjetiva, entonces la regla de Bayes es la única receta que uno necesita para realizar inferencias de los datos.

■Las afirmaciones inferenciales bayesianas son más fáciles de entender que las basadas en la inferencia tradicional basadas en muestreo repetido. La probabilidad de que un parámetro caiga dentro de un intervalo calculado es igual a 0.95. También, en contraste con los procedimientos tradicionales de pruebas de hipótesis, tiene sentido hablar acerca de la probabilidad de que una hipótesis estadística sea cierta.

■Por el principio de condicionalidad, los únicos datos relevantes para ejecutar inferencias son los datos realmente observados. Uno puede ignorar otros resultados de un espacio muestral que no son observados.

■Los problemas de predicción no son más difíciles que los problemas de estimación de parámetros. Parámetros y observaciones futuras son cantidades desconocidas que son modeladas subjetivamente.

Western y Jackman [54] hacen un recuento de las críticas que dos famosos estadísticos hacen de la aproximación bayesiana (Fisher y Efron). Una de las críticas es la introducción de información subjetiva a priori que haría que los prejuicios de los analistas fueran introducidas en los análisis, dañando los resultados. Tanto Fisher como Efron argumentan que con la inclusión de información subjetiva no es posible realizar un análisis justo de los datos. A lo cual Western y Jackman replican diciendo:

En la práctica, sin embargo, la información a priori entra en la mayoría de los análisis a través de decisiones de codificación, transformaciones y búsquedas no reportadas en conjuntos de variables exploratorias para obtener resultados que parezcan significativos en el sentido de caer dentro de un rango de valores esperados. Mientras todos los analistas de datos usan creencias previas, los bayesianos hacen la forma de volver estas aprioris explícitas e integrarlas sistemáticamente en el análisis. Y, reparafrasean a de Finetti quien dijo que el reconocimiento de la subjetividad es el camino a la objetividad.

Kyburg, Jr. [55] nos presenta esta reflexión sobre la incertidumbre:

Hay dos clases de ignorancias que considero: la clase más simple de ignorancia es la que hace que las loterías sean excitantes; la otra es la que hace que las carreras de caballos sean excitantes.

Una lotería es excitante debido que aunque sepamos exactamente que uno de los números de los posibles se obtendrá, y aunque sepamos que todo lo posible haya sido hecho para garantizar que ninguno estos números tenga ventaja sobre los otros, no sabemos cuál saldrá. Esto es generalmente expresado diciendo que la probabilidad de un estado es la misma que la de cualquier otro estado: o, en el caso particular de la lotería, que la probabilidad de que un tiquete gane es igual a la de cualquier otro tiquete. Esto no es el caso típico en las carreras de caballos; uno no puede organizar las carreras de caballos de tal forma que cada caballo en la carrera tenga (mediante algún consenso general) la misma probabilidad de ganar. Existe una gran cantidad de información acerca de cada caballo que determina la probabilidad que ese caballo gane (si es que tal probabilidad existe del todo), y no hay una forma aceptable de cambiar esas circunstancias- lastimándolo, digamos- tal que las probabilidades sean iguales. Uno encontraría difícil, quizá, elaborar una distinción clara y precisa entre estas dos clases de situaciones que no pudiera ser atacada como artificial; y aún así ellas parecen diferir de una forma importante. Yo consideraría la primera situación como una incertidumbre estadística; y la última, donde las probabilidades dependen fuertemente del conocimiento, como una incertidumbre epistemológica.

1.1. Ejemplos típicos

Ejemplo 1.1. Cálculo de la edad de una persona. En nuestra sociedad es considerado como una forma de mala educación preguntar la edad de una persona. El día que conoce a alguien, usted más o menos puede calcular la edad de esta persona. Este proceso se hace de una manera inconsciente y usualmente llega a un número que aproxima sus creencias sobre la posible edad. Para esto usa la información recolectada previamente sobre ella, por ejemplo, si esta persona tiene una apariencia determinada, si se viste de cierta forma, si se graduó del colegio en cierta época, etc. Si dos personas tienen que calcular la edad de este sujeto, puede que ellas no coincidan en sus resultados, pero no se puede decir cuál de los dos está equivocado (o si los dos lo están), solo hasta el momento en que se conozca la verdadera edad de la persona en cuestión. La incertidumbre que usted tiene acerca de la edad de una persona la podemos expresar en términos probabilísticos con ayuda de la siguiente plantilla (ver Figura 1.1).

Figura 1.1: mediante la ayuda de la plantilla podemos ‘elicitar’ la distribución de probabilidad que nos refleja la incertidumbre que tenemos sobre la edad de una persona. Nota: todas las figuras y tablas del texto son de elaboración propia del autor

Ejemplo 1.2. La lotería que jugó anoche. Suponga que a usted un amigo le ofrece un billete de lotería, pero con el problema que la lotería jugó anoche. Su amigo, que ha demostrado ser una persona honesta le informa que él no sabe el resultado de la lotería, y usted tampoco. En una situación como esta podemos pensar en una probabilidad de que el billete sea el ganador es la misma que el billete tenía antes de que se jugara la lotería, ¿no lo piensa así?

Ejemplo 1.3. Estatura de los colombianos. Si pensamos en la estatura promedio de los hombres colombianos podemos pensar seriamente que este valor no es mayor que 180 cm., ni menor que 160 cm. Es claro que si conocemos muchos hombres colombianos nuestra información puede utilizarse en un proceso inferencial, pero confiaríamos más si la información sobre la estatura proviene de algún estudio previo realizado sobre el mismo tema.

Ejemplo 1.4. La nota esperada. A un estudiante que acaba de presentar un examen se le puede preguntar cuál es su nota esperada. Con base en su propio conocimiento de su capacidad y de su preparación, de cómo respondió el examen, él puede tener una idea sobre la nota que espera obtener al ser calificado su examen. Obviamente la nota exacta no la conoce ya que existen múltiples factores que entran en una evaluación, pero puede proporcionar un rango dentro del cual se sienta muy seguro.

Ejemplo 1.5. Sobre una proporción. Un estudiante universitario que visite con frecuencia los distintos campus puede intentar estimar el porcentaje de mujeres que estudian en ésta. Él puede establecer valores entre los cuales, cree, cae el porcentaje de mujeres que estudian en la universidad.

Ejemplo 1.6. Porcentaje de estudiantes que consumen una sustancia psicoactiva. Si queremos determinar el porcentaje de estudiantes que consumen un tipo de sustancia psicoactiva podemos utilizar la información que se haya recogido en estudios pasados.

Ejemplo 1.7. Tasa de estudiantes que ejercen la prostitución. Si queremos determinar el porcentaje de estudiantes que ejercen la prostitución en nuestra universidad, no parece fácil resolver esto mediante una simple encuesta, aunque es posible utilizar procedimientos como el de la respuesta aleatorizada, el hecho de enfrentar un encuestador puede llevar a dar respuestas socialmente aceptables.

1.2. Probabilidad personal o subjetiva

Las ideas iniciales de la probabilidad surgieron relacionadas con los juegos de azar y su conceptualización e interpretación son básicamente frecuentistas. Esta formulación frecuentista trabaja bien en muchas situaciones, pero no en todas.

Entre otras, destacamos las tres diferentes interpretaciones que Kyburg, Jr. [55] señala que pueden considerarse respecto a la probabilidad:

1.Interpretación empírico-frecuentista. Esta es la interpretación más común de la probabilidad y hace relación al comportamiento (real o hipotético) de ciertos objetos.

2.Interpretación lógica. Esta interpretación no es común entre los estadísticos y está más bien reservada al mundo de los lógicos. De acuerdo con esta interpretación, hay una relación lógica entre una afirmación (considerada como una hipótesis) y otra afirmación (considerada como evidencia), en virtud de la cual la primera tiene cierta probabilidad relativa a la segunda. Probabilidad lógica es el grado de creencia en proposiciones, que asocian un conjunto de premisas con un conjunto de conclusiones. En la probabilidad lógica , esta relación es única. Fue De Morgan quien primero definió la probabilidad en términos de «grados de creencia»[56].

Bajo la influencia de Bertrand Russell, Keynes adoptó una proposición (en lugar de un evento) «como eso que puede llevar el atributo de la probabilidad». Keynes dice que la probabilidad es relación lógica indefinible entre (1) una proposición y un cuerpo de conocimiento, (2) entre una afirmación y otra afirmación (es) que representa evidencia, una relación asociada con el grado de creencia racional en la proposición [56]. Un concepto de probabilidad lógica es empleado cuando uno dice, basado en la evidencia real, que la teoría de un universo permanentemente estable es menos probable que la teoría del Big Bang o que la culpabilidad de un acusado está probada más allá de una duda razonable no es completamente cierta. Qué tan probable es una hipótesis, dada una evidencia, determina el grado de creencia que es racional tener en esa hipótesis, si toda esa evidencia que uno tiene es relevante para ella [57].

Sivia [58] discute sobre cómo la definición frecuentista de la probabilidad más que ser objetiva, esconde dificultades mayores y que en términos generales va en contravía del quehacer científico. Nadie parte en ciencia de un desconocimiento total ni ejecuta experimentos en forma repetida, por ejemplo.

3.Interpretación subjetivista. Esta es una versión más débil de la interpretación lógica. Es más del tipo sicológico que lógico. El grado de creencia es el concepto fundamental de la interpretación: las afirmaciones probabilísticas representan los grados de creencias de los individuos (estos no son más que individuos idealizados).

Una característica distintiva de la estadística bayesiana es que tiene en cuenta de forma explícita la información previa y se involucra en el análisis en forma de distribución, llamada distribución a priori. La teoría clásica la considera básicamente para determinar tamaños muestrales y el diseño de experimentos y, a veces, como forma de crítica de los resultados hallados.

La expresión de la información previa en forma cuantitativa puede ser un proceso complejo y delicado, aunque se han hallado soluciones que pueden llegar a parecer extrañas, como lo puede ser el uso de lo que se conoce como distribuciones no informativas, pero que se utilizan extensamente en el trabajo bayesiano aplicado.

Fuentes tradicionales para la construcción de la distribución a priori son:

■Estudios previos similares. La utilización de estudios previos sobre unos pocos parámetros específicos ha dado origen a un área conocida como metaanálisis, la cual puede trabajarse desde el punto clásico y bayesiano.

■Opinión de expertos. La utilización de expertos es casi obligatoria en situaciones completamente nuevas donde experimentar puede ser muy costoso o imposible, por ejemplo en la implementación de políticas a nivel macroeconómico.

Wallsten y Budescu [59] presentan las condiciones para que un proceso de elicitación produzca una distribución apropiada. En teoría de la medición se menciona con frecuencia las dificultades que tienen los procesos de cuantificación de sentimientos en relación con eventos externos y la determinación del error. El proceso de codificación debe garantizar condiciones básicas, como confiabilidad y validez. La confiabilidad se mide como la correlación al cuadrado entre los valores observados de las probabilidades y las verdaderas probabilidades, . La probabilidad subjetiva es una variable aleatoria, p, que puede ser descompuesta como la verdadera probabilidad fija π y un error, e:

p = π + e.

Los siguientes supuestos son estándares para este modelo:

1.E(e) = 0

2.ρπe = 0

3.Para cualquier par de mediciones independientes los errores son incorrelacionados: ρeiej = 0 para i ≠ j

4.ρπiej = 0 para i ≠ j

Sea la varianza del error. La raíz cuadrada de esta cantidad se conoce como el error estándar de la medición. Del modelo y los supuestos anteriores se tiene:

Así, el coeficiente de confiabilidad será:

La confiabilidad está inversamente relacionado con el error de medición y es perfecta cuando = 0. Ya que π no puede ser observado directamente, no podemos determinar . Esto puede resolverse parcialmente a través de métodos indirectos, por ejemplo, usando varios métodos de cuantificación.

La validez se define como la correlación entre dos procedimientos de cuantificación independientes, digamos ρxy.

Ayyub [60] presenta una clasificación de la ignorancia que es importante considerar cuando se determina la claridad de un experto. La ignorancia puede ser consciente o ciega. La ignorancia ciega incluye conocimiento irrelevante que puede estar conformado por un conocimiento relevante y que es descartado o no considerado intencionalmente y por un conocimiento no confiable (prejuicios) o que no aplica al problema de interés.

Un elicitador subjetivo está bien calibrado si para cada probabilidad p, en la clase de todos los eventos en los cuales asigna una probabilidad subjetiva, la frecuencia relativa de ocurrencia es igual a p.

A pesar de que el concepto anterior es atractivo, en la práctica puede ser difícil de verificar, excepto en ciertas circunstancias donde el elicitador permanentemente construye distribuciones de probabilidad subjetivas, como es el caso de los meteorólogos. En estos caso se pueden construir pruebas de tipo estadístico para medir el nivel de concordancia de lo elicitado con lo observado. A nivel experimental se pueden establecer ambientes controlados en los cuales los elicitadores pueden ser evaluados, sin embargo no hay garantía que el resultado de un laboratorio pueda extrapolarse a un ambiente real.

1.3. Aproximaciones al análisis bayesiano

Una clasificación de las diversas aproximaciones que podemos realizar cuando consideramos el enfoque bayesiano es la siguiente [61]:

1.Análisis bayesiano objetivo: esta posición se caracteriza por la utilización de distribuciones no informativas.

2.Análisis bayesiano subjetivo: la utilización de distribuciones a priori subjetivas es a menudo disponible como alternativa en algunos problemas.

3.Análisis bayesiano robusto: esta posición asume que es imposible especificar completamente la distribución a priori o el modelo, en cuyo caso es mejor trabajar dentro de clases donde haya un nivel de incertidumbre sobre esta distribución o modelo.

4.Análisis bayesiano-frecuentista: hay problemas en los cuales la aproximación frecuentista produce resultados satisfactorios, como en los métodos no paramétricos, y al bayesiano le toca aceptarlos como soluciones seudobayesianas.

5.Análisis cuasibayesiano: esta aproximación utiliza distribuciones a priori seleccionadas de una forma que acomoden a la solución «bonita»del problema, ajustando estas distribuciones a priori de diversas formas, por ejemplo seleccionando distribuciones a priori vagas, o ajustando los parámetros.

1.4. Problemas con la aproximación clásica

Desde otras disciplinas puede parecer extraño el mundo estadístico como lo expresa el físico Loredo [62].

Para un extraño, la estadística puede tener la apariencia de ser una simple ‘industria’ donde métodos estadísticos son inventados sin un claro criterio racional, y luego son evaluados por una masa de datos simulados y se analiza el comportamiento promedio a largo término. Como resultado, a menudo hay varios métodos disponibles para un asunto estadístico particular, y cada uno da una respuesta algo diferente de los otros, sin ningún criterio determinante para escoger entre ellos.

Esta queja es válida y permanente, como más adelante lo ilustramos con referencia a la construcción de intervalos de confianza para algunos problemas típicos. Sawyer y Peter [63] señalan:

«Debido a que los investigadores toman muchas decisiones que pueden influenciar enormemente la probabilidad de rechazar la hipótesis nula, es equivocado considerar el proceso de pruebas de significancia estadística como objetivo solamente debido a la objetividad de las matemáticas».

La estadística clásica (Fisher y Neyman-Pearson) ha utilizado como bandera en contra de la estadística bayesiana el concepto de objetividad, aunque Savage [10] discute ampliamente este hecho y muestra cómo la única forma de hacer una estadística coherente es vía probabilidades subjetivas. Sawyer y Peter [63] ilustran diversas partes del proceso de probar estadísticamente una hipótesis que pueden generar problemas entre los usuarios, usualmente debido a interpretaciones equivocadas (valores p, tamaño de la prueba y potencia) o a problemas técnicos involucrados en el proceso (tamaños muestrales o diferencias significativas desde el punto de vista práctico). Labovitz [64], Sawyer y Peter [63], Lecoutre, Lecoutre y Poitevineau [65] y Harrell [66] han presentado algunos de los problemas que ocurren con la aproximación clásica a varios problemas estadísticos. Quizás un factor principal que contribuye al valor percibido de las pruebas de significancia estadística es la ilusión de que ellas son completamente objetivas. La probabilidad de rechazar la hipótesis nula es una función de cinco factores: si es una prueba de una o de dos colas, del nivel, de la desviación estándar, del tamaño de la desviación verdadera y del número de observaciones.

1.En pruebas de hipótesis:

■Un experimento proporciona los elementos para una posibilidad de rechazar la hipótesis nula. Considere el siguiente ejemplo presentado por Berger y Wolpert [67]:

Ejemplo 1.8. Berger y Wolpert [67]. Suponga que X = 1, 2 ó 3 y θ = 0, 1, con Pθ(x) dada en la siguiente tabla

La prueba, que aceptaría P₀ si x = 3 y a P₁ en otro caso, es una prueba más potente con ambas probabilidades de error igual a 0.01. Luego, desde el punto de vista frecuentista se puede afirmar que el tamaño de la prueba es 0.01. Esto parece equivocado, ya que si se observa x = 1, la razón de verosimilitud es 9 a 1 en favor de P₀, que con la prueba se estaría rechazando. Esto nos permite presentar el principio establecido por ellos:

Principio de aptitud (adequacy). Un concepto de evidencia estadística es (muy) inepto si no distingue evidencia de (muy) diferentes fortalezas.

■El rechazo de una hipótesis nula es diferente de su rechazo lógico.

■Una hipótesis contradicha por los datos (un valor-p pequeño) significa que un evento improbable ha ocurrido, o que la hipótesis nula es falsa, o ambas. Un ejemplo que aparece en la literatura [20] y que se debe a Lindley y Phillips es el siguiente: asuma que se desea verificar la hipótesis que una moneda tiene una probabilidad de caer en cara H₀ : π = 1/2 contra la alternativa H₁ : π > 1/2. Se tienen 12 lanzamientos, de los cuales 9 corresponden a caras. El problema que surge es que el modelo de muestreo que genera los datos se vuelve determinante en el cálculo del valor-p. Si el modelo es binomial (n se fija de antemano) el valor-p se calcula como

y si el modelo es binomial-negativo (se determina observar 9 caras de antemano y se cuenta el número de fracasos hasta obtener las 9 caras) el valor-p será

¡A un nivel de 0.05 con un esquema no rechazamos H₀ y con el otro sí!

■¿Qué hacer si la hipótesis nula no es rechazada?

■De acuerdo con Fisher una hipótesis nula nunca es aceptada.

■¿Cuál estadístico de prueba utilizar?

•No hay una regla general sobre cuál estadístico de prueba utilizar. Existe un consenso implícito en el uso de prueba de tipo asintótico, que son usadas a la ligera por muchos usuarios sin darse cuenta de las restricciones que estas imponen con respecto a tamaños muestrales. Pawitan [68] presenta una situación donde uno de los estadísticos más usados, el estadístico de Wald, puede fallar inesperadamente en ciertos problemas.

•Diferentes estadísticos pueden llevar a diferentes conclusiones del mismo análisis. Con datos categóricos se trabajan muchas veces pruebas asintóticas usando χ² de Pearson o vía LRT (Likelihood ratio test) que también se distribuye χ², con resultados similares muchas veces, pero otras veces contradictorios. Savage [69] realza la falta de integridad de la estadística clásica.

•Se pueden obtener conclusiones inconsistentes de manera lógica, por ejemplo colapsando tablas de contingencia y realizando pruebas χ².

■En la teoría de Neyman-Pearson una prueba estadística de hipótesis (H₀) no está sola sino contra teorías competidoras (H₁). Se pueden cometer dos tipos de errores y la idea es tener probabilidades de ambos errores tan pequeñas como sean posibles. El problema es de interpretación: ¿Qué significa aceptar o rechazar?

■En ambas escuelas no hay probabilidades de que las teorías sean correctas.

■Problemas con los valores-p:

•Solo pueden ser utilizados como evidencia contra una hipótesis, no proporcionan evidencia a favor de una hipótesis. Un ejemplo extremo es el siguiente: Queremos verificar, para el caso de una población Poisson, H₀ : λ = 1 versus H₀ : λ = 1.5. Suponga una muestra de tamaño 100 y una media muestral = 5. El valor-p en este caso es prácticamente cero, pero bajo la alternativa también es cero!

•Valores-p iguales no proporcionan igual evidencia acerca de una hipótesis [70].

•Si usamos valor-p < 0.05 como un evento binario, la evidencia es mayor en estudios más grandes.

•Si usamos el valor-p real, la evidencia es mayor en estudios más pequeños.

■Muchos resultados pueden ser estadísticamente significativos debido a un n grande y no a una diferencia significativa desde un punto de vista práctico.

Rosenkranz [71] propone construir algunos indicadores para percibir mejor los resultados de pruebas de hipótesis, en especial el valor-p, pero en el fondo termina con una interpretación bayesiana.

2.En estimación:

■Los intervalos de confianza son a menudo malinterpretados. La mayoría de los usuarios tienden a pensar que el nivel de confianza es una forma de probabilidad y es a veces frustrante cuando se le dice al usuario que el verdadero parámetro está en el intervalo obtenido con probabilidad uno o con probabilidad cero. Solo la interpretación probabilística del nivel se le puede dar a un proceso imaginario de muestreo repetitivo (que nunca se realizará).

Winkler [72] presenta argumentos similares en el área de la salud. Sus puntos son:

1.Los métodos frecuentistas tienden a responder las preguntas equivocadas. Por ejemplo, en lugar de buscar la probabilidad que el efecto de un tratamiento sea positivo o que esté por encima de cierto nivel, ellos dan la probabilidad de los datos, dado los valores del efecto del tratamiento. Las interpretaciones de intervalos de confianza son realizadas con frecuencia en términos probabilísticos.

2.Los métodos frecuentistas violan a menudo principios importantes, principalmente el principio de verosimilitud. La función de verosimilitud da la posibilidad del valor observado dados diferentes valores del parámetro¹, y el principio de verosimilitud significa que cualquier otro resultado diferente al observado es irrelevante para el proceso inferencial. Si se observa el valor p, sin embargo, este involucra las verosimilitudes de otros resultados diferentes a los observados y por lo tanto viola el principio de verosimilitud.

3.Los resultados de los análisis frecuentistas a menudo son simplistas y pueden confundir. Un ejemplo típico es el uso generalizado de valores tales como 0.05 para α, la probabilidad del error de tipo I en pruebas de hipótesis. Tales valores son usado a menudo sin pensar seriamente acerca de la seriedad de los dos tipos de error y sin ninguna consideración de la probabilidad del error tipo II, que consiste en no rechazar una hipótesis nula falsa.

4.Parte del problema es del abuso del marco de prueba de hipótesis. Muchos problemas son forzados a caer en el marco de la dicotomía acepto-rechazo que pudiera no ser apropiado.

5.La salida de los análisis frecuentistas no son muy útiles en el proceso de toma de decisiones. Lo que usualmente se necesita en un proceso de toma de decisiones son probabilidades, bien sea probabilidades de futuros resultados (probabilidades predictivas) o probabilidades de valores de los parámetros (probabilidades posteriores). La estadística clásica no admite tales probabilidades.

6.Los métodos frecuentistas se pueden aplicar demasiado fácilmente sin pensar. Es notable el uso extenso de pruebas de hipótesis realizadas a modelos que los programas estadísticos sacan por defecto y que el usuario añade a sus análisis sin que realmente se tenga una idea clara de la justificación o relevancia de las mismas. Muchos programas estadísticos producen demasiados resultados sin que el usuario los solicite (un ejemplo típico es el PROC UNIVARIATE de SAS, el cual produce por defecto una prueba de normalidad) y que terminan siendo interpretados, a veces de forma equivocada.

Una línea de trabajo que se ha desarrollado últimamente es el desarrollo de programas de análisis inteligentes de datos. La idea es que ante el acceso a megabases de datos, el usuario tenga un conjunto de rutinas que hagan los análisis. Esto tiene su lado positivo, pero no le quita al analista la responsabilidad de entender qué es lo que el programa hace en su interior con sus datos.

7.Contrario a lo que se dice, los métodos frecuentistas no son objetivos. La forma en que el problema es planteado, la manera en que los datos son recolectados, y los diferentes supuestos de los modelos (por ejemplo, la selección de un modelo lineal, un conjunto particular de variables explicativas, la distribución normal para los errores) son selecciones subjetivas. Las distribuciones muestrales y las funciones de verosimilitud no están en algún lugar para que sean usadas; ellas son resultados de las selecciones de los modelos hechas por el analista.

Diferencias entre la teoría clásica y la teoría bayesiana
Característica | Teoría clásica | Teoría bayesiana
Parámetros de interés | Constantes desconocidas | Variables aleatorias
Distribución a priori | No existe | Existe y es explícita
Modelo muestral | Se asume | Se asume
Distribución posterior | No existe | Existe y se deriva
Razonamiento | Inductivo | Deductivo

Utilizaremos la siguiente notación:

θ′ = (θ₁, . . . , θk) | Vector de parámetros
x₁, . . . , xn | Observaciones muestrales (i.i.d.)
ξ(θ) | Distribución a priori conjunto de θ
f(xi|θ) | Distribución de xi dado θ

Notas al pie

¹ Bayarri, DeGroot y Kadane [73] presentan una discusión extensa sobre este concepto y algunas variantes.

Capítulo 2

Probabilidad subjetiva «a priori»

El trabajo estadístico descansa en el concepto de probabilidad. La definición matemática es clara: es una función aditiva no negativa, cuyo máximo valor es la unidad [74]. El problema fundamental está en la forma como se determine esa función. Ashby [75] comenta «tres interpretaciones se le pueden dar a las distribuciones a priori: como distribuciones de frecuencia basadas quizá en datos previos, como representaciones normativas y objetivas de lo que es racional creer acerca de un parámetro o como una medida subjetiva de los que un individuo particular realmente cree».

2.1. Clasificación de las distribuciones a priori

Definición 2.1 (Distribución a priori propia). Es una distribución que asigna pesos no negativos y que suman o integran hasta uno, a todos los valores posibles del parámetro.

Así, una distribución propia satisface las condiciones de función de densidad de probabilidad. Una distribución impropia es la que suma o integra a un valor diferente de uno, digamos K. Si K es finito, entonces la distribución impropia induce una distribución propia normalizando la función. Si K es infinito, entonces la distribución tiene un papel de ponderación o de herramienta técnica para llegar a una distribución posterior.

Definición 2.2 (Distribución a priori no informativa). Decimos que una distribución a priori es no informativa cuando refleja una ignorancia total o un conocimiento muy limitado sobre el parámetro de interés.

Definición 2.3 (Distribución a priori conjugada). Decimos que una distribución a priori es conjugada, si al proceder a su actualización mediante la información muestral, la distribución a posteriori es igual a la a priori, excepto en los hiperparámetros, es decir, en parámetros distintos al los del modelo muestral.

2.2. Distribuciones a priori no informativas

En muchas ocasiones sabemos nada o muy poco acerca del parámetro de interés o no queremos involucrar en nuestro estudio información previa, sino más bien dejar que sean los datos los que «hablen por ellos mismos». En este caso la distribución debe reflejar nuestro total desconocimiento de los valores posibles del parámetro. Esta es un área de trabajo que ha crecido enormemente.

Bernardo y Ramón [76] señalan:

Desde un punto de vista fundamental, la derivación de una posterior no subjetiva deberá verse como una parte de un análisis de sensibilidad necesario, diseñado para analizar los cambios en la posterior de interés inducidos por los cambios en la a priori: una posterior no subjetiva trata de dar una respuesta a una pregunta sobre qué puede decirse acerca de una cantidad de interés, si el conocimiento a priori de uno estuviera dominado por los datos. Cuando la información subjetiva a priori es especificada, la correspondiente posterior pudiera ser comparada entonces con la a posteiori no informativa para determinar la importancia relativa de las opiniones iniciales en la inferencia final. José Bernardo ha sido un gran investigador junto con sus colaboradores en el área de aprioris no informativas.

Un argumento adicional presentado por Bernardo y Ramón [76] sobre la bondad de usar aprioris no informativas es que la automatización de procesos bayesianos en software estadístico que utiliza ciertos procesos numéricos, estilo MCMC, se vuelven mucho más complejos e imprácticos si no se usan aprioris no informativas.

Evans [77] afirma:

No es claro para mí por qué los bayesianos son tan insistentes con las aprioris ignorantes. Al menos en ingeniería, la idea debe ser cuantificar lo que el ingeniero conoce, no lo que él no sabe. Muchos artículos en bayesiana comienzan con una o más aprioris ignorantes. Si usted no sabe nada de antemano, qué tiene la bayesiana para ofrecer? Igualmente, si los datos van a tumbar la a priori, qué tiene la bayesiana para ofrecer?…En una situación en ingeniería, rara vez hay una excusa para escoger una a priori ignorante. Si los ingenieros no tienen una buena idea razonablemente de cómo las cosas pueden resultar, todos ellos deben ser despedidos y cada línea de producción debió pararse hace tiempo.

2.2.1. Distribuciones a priori informativas

Una de las mayores dificultades en la ejecución de un análisis bayesiano concierne con la identificación, de la selección y la justificación de la distribución a priori. Las siguientes preguntas deben ser resueltas sin lugar a dudas:

■¿Qué clase de distribución a priori debemos utilizar?

■¿Qué tipos de datos están disponibles para seleccionar el modelo a priori?

■¿Cómo cuantificamos la información subjetiva?

■¿Cómo ajustamos la distribución a priori con los datos subjetivos disponibles?

2.2.2. Probabilidad personal

Horowitz [78] define la probabilidad como:

La probabilidad no es sino un número índice entre 0 y 1, que expresa un pensamiento del individuo sobre la posibilidad del resultado, relativo, de una experiencia. Debemos por tanto, reconocer que podemos evaluar la probabilidad, bien cuando el suceso es único o se trata de un suceso de carácter repetitivo, que pueda presentarse en varias pruebas. El hecho de que el suceso vaya a ocurrir una vez no impide que un individuo pueda formar un juicio acerca de lo probable que suceda respecto a otros posibles resultados; es decir, puede asignar probabilidades a cada uno de los posibles resultados.

Para Poirier [79]:

Para un subjetivista, la probabilidad es interpretada como un grado de creencia fundamentalmente interna de un individuo como opuesto a alguna característica del mundo externo. La probabilidad subjetiva mide una relación entre el observador y los eventos (no necesariamente ‘repetitivos’) del mundo exterior, expresando la incertidumbre personal del observador acerca de esos eventos.

2.3. Probabilidad subjetiva, apuestas y loterías

Shafer [80] dice:

Laplace, escribiendo a comienzos del siglo diecinueve, definió la probabilidad numérica como la medida de la ‘razón que tenemos de creer.’ Pero a mediados del siglo diecinueve, muchos estudiante de la probabilidad estaban buscando una definición más empírica. Ellos hallaron esta definición en la idea de la frecuencia, y ellos procedieron a rechazar aquellas aplicaciones de la teoría de la probabilidad que no pudiera estar basada en las frecuencias observadas. En particular, rechazaron el método de Laplace de calcular la probabilidad de las causas, que es un caso especial de la estrategia de probabilidad condicional.

La filosofía frecuentista restringe severamente el dominio de aplicaciones de la probabilidad numérica, y aquellos quienes querían usar probabilidades numéricas más generalmente fueron forzados a buscar una fundamentación filosófica para la estrategia de la probabilidad condicional que ajustaría la posición positivista. Tal fundamentación filosófica fue finalmente establecida en el siglo veinte por Ramsey, de Finetti y especialmente Savage. Estos autores concibieron la idea que a la probabilidad subjetiva se le debe dar una interpretación de comportamiento y por lo tanto positivista. Las probabilidades de una persona deben ser deducibles de sus elecciones. Ellos formulan postulados para lo que llaman un comportamiento racional, postulados que aseguran que las elecciones de una persona determinan probabilidades numéricas. Y ellos argumentan que es normativo que se sigan estos postulados y por lo tanto normativo tener probabilidades subjetivas. Poirier [79] afirma que los frecuentistas interpretan probabilidad como una propiedad del mundo externo.

Cox [81] afirma:

En una discusión bayesiana completamente personal, de la forma que lo entiendo, las afirmaciones probabilísticas no pueden estar equivocadas: ellas son lo que son y asumiendo que son consistentes, esto es, consistentes internamente, que es todo lo que se requiere. A un nivel más pragmático pudieran presentarse dificultades si los datos están en conflicto con cualquier modelo de las formas propuestas o si los datos y la a priori discrepan. Así una posible muestra de una distribución Poisson podría tener una varianza aproximadamente igual a su media pero una media bien metida en las colas de la distribución a priori propuesta. Eso podría significar que los datos tienen algún error sistemático o que la a priori está basada en conceptos errónes (o ambos). Si la a priori se supone inocua, o seleccionada con una mirada soslayada de los datos, esta dificultad no aparece. Sin embargo, como una atracción del formalismo bayesiano, la a priori es un intento serio de incluir información adicional, el tema de la consistencia de la a priori y los datos parece en principio importante y rara vez discutida. En tanto la a priori pueda considerarse como seudo-datos, los chequeos son ciertamente posibles, aunque ellos están por fuera de la formulación bayesiana.

Las creencias pueden ser expresadas en términos de apuestas, esto se hace mucho en la práctica, y esto puede ser utilizado como una forma general de hacer las creencias relativas explícitas [82]. Hay condiciones naturales a ser impuestas sobre las apuestas:

■La apuesta debe ser reversible y que ninguna apuesta pueda ser elaborada tal que uno pierda o gane con certeza. Esta condición obliga al sujeto a asignar las apuestas consistentemente con sus creencias.

■La anterior también obliga a aceptar la segunda condición: una vez él ha fijado los odds, él debe estar preparado para apostar en cualquier dirección. Esta coherencia juega dos papeles importantes:

1.Es moral y obliga a la gente a ser honesta.

2.Otro formal, que permite que las reglas básicas de la probabilidad sean derivadas como teoremas.

Una probabilidad puede pensarse en términos de las cantidades que se involucren en una apuesta y la porción que el sujeto estuviera dispuesto a arriesgar. Por ejemplo, si usted dice, «Las posibilidades que el equipo de fútbol A gane el torneo son de uno entre 10», esto implica que,

y

Así, para el equipo A es nueve veces más posible que no gane el torneo, a que gane el torneo, según su opinión. En términos de apostadores se dice que las apuestas están 9 a 1. Esto en otras palabras significa que si usted apuesta un peso por el evento «A gana el torneo», si este evento ocurre, usted ganaría nueve pesos.

Es evidente que «subjetividad»no se puede confundir con «arbitrariedad», ya que todos los elementos para la asignación de probabilidades deben tenerse en cuenta, incluyendo el conocimiento que otros puedan asignar a las diferentes posibilidades de los mismos eventos.

Winkler [12] presenta el siguiente ejemplo sobre como funcionaría un proceso de elicitación usando loterías (la construcción formal desde un punto de vista constructivista de la definición de probabilidad subjetiva mediante el uso de loterías ha sido desarrollada por Anscombe y Aumann [83]):

Suponga que una persona debe escoger entre la Lotería A y la Lotería B.

Lotería A La persona gana $100 con probabilidad .

La persona gana $0 con probabilidad .

Lotería B La persona gana $100 si llueve mañana.

La persona gana $0 si no llueve mañana.

Dado que el premio es el mismo en ambas loterías, la persona preferiría la lotería que le dé la mayor posibilidad de ganar el premio. Así, si el individuo escoge la Lotería B, entonces debe sentir que la probabilidad que llueva mañana es mayor que ; si esta escoge la Lotería A, entre las dos loterías, entonces sentiría que esta probabilidad es menor que ; si la persona es indiferente entre las dos loterías, entonces siente que la probabilidad que llueva mañana es igual a . Ahora, consideremos las mismas loterías, excepto que las probabilidades en la Lotería A se cambiaron a y . Si el individuo aún prefiere la Lotería A a la B, lo que implica que siente que tiene una mayor oportunidad de ganar con A que con B, entonces su probabilidad subjetiva de lluvia es menor que . Presumiblemente la persona puede estar cambiando las probabilidades en la Lotería A hasta que sea indiferente a la selección entre la Lotería A y la Lotería B; si esto sucede cuando sus probabilidades sean 0.1 y 0.9, entonces su probabilidad subjetiva de lluvia es 0.1. De forma similar, puede determinar su probabilidad subjetiva de cualquier evento.

Una definición formal de probabilidad subjetiva puede darse en términos de loterías como sigue. Su probabilidad subjetiva P(E) del evento E es el número P(E) que hace que el interesado esté indiferente entre las siguientes dos loterías.

Lotería A La persona gana X con probabilidad P(E).

La persona gana Y con probabilidad 1 − p(E).

Lotería B La persona gana X si ocurre E.

La persona gana Y si no ocurre E.

Aquí X y Y son dos «premios». La única restricción sobre X y Y es que uno debe ser preferido sobre el otro; si el individuo es indiferente entre X y Y , entonces será indiferente entre las dos loterías sin importar la escogencia de P(E).

Un problema con esta forma de elicitación es que es altamente demandante tanto para el elicitador como para la persona que está proporcionando la información. Esto genera agotamiento y a la larga la persona elicitada termina dando información a la ligera [84].

Un problema que ha sido señalado para las apuestas es que realmente se asume que las personas involucradas son “agentes racionales” [85] cuyo fin es maximizar su propia función de utilidad¹, que por simplicidad se asume lineal con respecto al dinero involucrado. Obviamente esto no es cierto para cualquier rango de dinero, ya que no todo el mundo tiene la misma percepción sobre el valor del dinero a ciertos niveles. Un ejemplo es si una lotería involucra cantidades en miles de pesos, las personas actúan diferente a si se refieren a millones de pesos. Aun para dos personas, la misma cantidad puede tener utilidades diferentes, suponga el costo de una bolsa de leche, que puede ser muy marginal para mucha gente, pero esta cantidad puede apreciarse diferente desde el punto de vista de una madre pobre con un bebé a quien alimentar.

Otra alternativa similar consiste en el uso de un contrato de referencia [12]. En esta situación se asume la existencia de un premio muy atractivo que depende de la ocurrencia de un evento de interés. Por ejemplo, suponga que a un individuo le ofrecen un contrato que le paga un millón de pesos si su carro es robado en menos de un año (asumamos que su carro cuesta esta cantidad). Cuál es la máxima cantidad de dinero que el individuo estaría dispuesto a pagar por este contrato? Si él está dispuesto a pagar cien mil pesos, entonces su probabilidad subjetiva es 100.000/1.000.000 = 0.1. Este argumento es simular al caso de las apuestas y la idea detrás es la maximización de la utilidad del individuo. Kadane y Winkler [86] discuten la relación entre elicitación de probabilidades y utilidades y otras alternativas.

Notas al pie

¹ Una función de utilidad U es una función de valor real definida en R si tiene la siguiente propiedad: Sean P₁ y P₂ dos funciones de probabilidad tal que EP₁ [U] y EP₂ [U] existan. Entonces P₁ será a lo más tan preferido como P₂, denotado por P₁ P₂, si, y solo sí, EP₁ [U] ≤ EP₂ [U]. Para cada premio r ∈ R, el número U(r) es llamada la utilidad de r. El EP [U] se conoce como la utilidad de P . Los siguientes dos resultados son consecuencias de la definición de función de utilidad:

1.Si r₁ y r₂ son dos premios en R, entonces r₁ r₂, si, y solo sí, U (r₁) ≤ U (r₂).

2.Si es el conjunto de distribuciones de probabilidad de interés, entonces las funciones de probabilidad se pueden comparar. Esto es, podemos ordenarlas.

Los siguientes supuestos son establecidos en teoría de la utilidad:

■Si P₁, P₂ y P son distribuciones en la clase de referencia y si α es un número cualquiera en (0; 1). Entonces P₁ P₂ si, y solo sí, αP₁ + (1 − α)P αP₂ + (1 − α)P .

■Si P₁, P₂ y P son distribuciones en la clase de referencia tal que P₁ P P₂. Entonces existen números α y β en (0; 1) tal que P αP₂ + (1 − α)P₁ y P βP₂ + (1 − β)P₁.

Un resultado importante que permite justificar la construcción de distribuciones a priori vía loterías es el siguiente: Sean r₁, r₂ y r tres premios cualesquiera en R tal que r₁ r₂ y r₁rr₂. Entonces existe un único número v (0 ≤ v ≤ 1) tal que r ∼ v r₂ + (1 − v)r₁.

Capítulo 3

Análisis preposterior

Dadas las características del proceso bayesiano, es sano tener una posición crítica con relación a cualquier a priori que obtengamos por cualquier método, deberíamos realizar pruebas que permitan determinar de alguna manera la calidad de la distribución a priori. Martz y Waller [33] recomiendan lo siguiente para garantizar la realización de un buen análisis bayesiano:

1.Una justificación y análisis detallado de la distribución a priori seleccionada, con un claro entendimiento de las implicaciones matemáticas de la a priori. Por ejemplo, la selección de una familia normal para representar nuestro conocimiento a priori sobre un parámetro nos restringe a una clase de distribuciones unimodales.

2.Una documentación completa de las fuentes de datos utilizados en la identificación y selección de la a priori.

3.Un análisis preposterior de la distribución a priori con resultados de prueba hipotéticas.

4.Una distribución a posteriori claramente definida para los parámetros de interés.

5.Un análisis de sensibilidad de las inferencias bayesianas para el modelo a priori seleccionado.

Cada uno de estos puntos debe desarrollarse cuidadosamente tanto en el proceso de elicitación como en el de validación de la información recogida. El segundo paso de la lista de Martz y Waller es ejecutado casi simultáneamente en la misma elicitación. Al experto se le alienta a dar respuestas, pero el elicitado debe proporcionar una retroalimentación oportuna, lo que en términos prácticos significa que es inmediata. Para llevar a cabo esta tarea, se puede generar muestras de la población bajo diferentes condiciones planteadas en la a priori, por ejemplo, podemos tomar la mediana, la media, la moda y cuartiles para generar estas muestras. Si el sujeto se siente cómodo con los valores que las muestras están presentado y él cree que no aparecen valores muy raros, o no observa valores que considera deberían estar presentes en la población, esto no obliga a revisar la elicitación.

Es necesario documentar detalladamente el proceso en sí mismo, bien sea con grabaciones o registro fílmico, para su posterior análisis. Cuando la distribución a priori es obtenida a partir de estudios o datos previos, es necesario justificar plenamente la pertinencia de esos estudios o datos en el problema que estamos enfrentando. Un estudio realizado sobre consumo de drogas en Medellín-Colombia puede no ser útil para uno que se realice en alguna ciudad del exterior, pero ser pertinente para un estudio similar en Cali-Colombia. En otros casos puede darse la pertinencia debido a que se estudian fenómenos biológicos que puedan de alguna manera ser generalizados a poblaciones de muchos lugares, por ejemplo, si queremos determinar la duración promedio de un embarazo.

La selección de la distribución a priori puede realizarse de muchas maneras, unas más fáciles que otras. De cualquier manera es recomendable usar varios procedimientos para su elicitación, los cuales deben coincidir de alguna manera. La distribución elicitada a mano alzada debería ser muy parecida a algún modelo paramétrico ajustado, por ejemplo.

El análisis preposterior debe realizarse con la distribución a priori para verificar la confianza de los resultados obtenidos como resultantes del proceso elicitado. Por ejemplo, si se elicita el número promedio de goles realizados en un partido de fútbol, y además se asume que el número de goles marcados en un partido se puede modelar mediante la distribución de Poisson, valores de la probabilidad de observar ciertos marcadores, condicionados en valores tomados de la a priori sobre la media, deben ser consistentes con lo que el sujeto piensa. Este análisis es equivalente a un análisis exploratorio de datos (EDA), en el cual se buscan características y problemas con la distribución a priori especificada. Luego de este análisis uno podría responder afirmativamente a la siguiente pregunta: ¿estaría confiado, bajo el supuesto que no pueda obtener información muestral, para usar esta distribución para realizar todo el trabajo inferencial?

Otro punto que se analiza en esta etapa es la calidad de la a priori. ¿Es creíble? ¿Se puede utilizar fácilmente a nivel computacional? ¿Está completamente definida sobre el espacio parametral? ¿Cambia radicalmente si se obtienen unos pocos datos?

Una de los asuntos más delicados es la obtención de dos o más aprioris que sean muy diferentes por parte de diferentes expertos o por diferentes métodos de elicitación. En caso de diferencias irreconciliables, es sano trabajar paralelamente con varias aprioris. Hoy en día esto no es una gran problema, debido a la disponibilidad de recursos computacionales.

3.1. Distribución predictiva a priori

La construcción de la distribución predictiva a priori es una de las herramientas que tiene el analista para determinar la calidad de la distribución a priori elicitada, además de entregar información que puede ser útil para determinar los procedimientos de análisis posteriores. Si ξ (θ) representa la distribución a priori sobre θ elicitada y si se conoce (obviamente hasta cierto nivel) la distribución que genera los datos, siendo f (y |θ) la distribución de las observaciones futuras, entonces la distribución predictiva a priori se define como,

Si los datos generados por esta distribución se «acomodan»a lo que el analista cree deben ser, entonces puede, de cierta manera pensar que la a priori concuerda con lo que piensa y proceder al proceso posterior.

Este análisis se puede realizar con diferentes distribuciones a priori de tal forma que se puede mirar la robustez de los resultados ante cambios de la a priori. Observemos que este análisis no es posible de realizarse con distribuciones a priori no informativas.

Ejemplo 3.1. Número promedio de goles en el fútbol colombiano. Supongamos que elicitamos el número promedio de goles que se marcan en un partido del fútbol profesional en Colombia a un experto y obtenemos que θ ∼ N (2.5, (0.20)²). Además si pensamos que el número de goles que se marcan en un partido del rentado colombiano es Poisson(θ), la distribución predictiva a priori será

# Simulación de la Distribución Predictiva a priori

# Nro. promedio de goles del campeonato colombiano

# A priori: Normal(2.5, 0.20^2)

# Dist. muestral: Poisson(theta)

# función que muestrea de la predictiva

dist.predictiva<-function(Nsim=10000,media=2.5,dt=0.20){

# genera valores de la Poisson con parámetros de la normal

res<-rpois(Nsim,rnorm(Nsim,mean=media,sd=dt))

# tabla de frecuencias para los valores generados

tabla<-table(res)

print(tabla/sum(tabla))

barplot(tabla)  # diagrama de barras para valores generados

print(summary(res)) # resumen estadístico

print(var(res)) }  # fin de la función

dist.predictiva()

title(main=’Distribución predictiva\n campeonato colombiano’, xlab=’Número de Goles’, ylab=’Frecuencia’)

legend(7,2000,c(’Media a priori=2.5’,’Desv. Est. a priori=0.20’) ,bty=’n’)

Los resultados de la anterior simulación son los siguientes:

Tabla 3.1: distribución predictiva a priori para el número de goles marcados en el fútbol colombiano

Tabla 3.2: resumen estadístico de los datos simulados de la predictiva.

A priori, notamos que la mediana del número de goles para un nuevo partido del rentado colombiano sería de 2 goles.

Figura 3.1: distribución predictiva a priori. Esta distribución no es una distribución Poisson debido a nuestra propia incertidumbre sobre la media del proceso, la cual la expresamos mediante una distribución Normal

Capítulo 4

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes es ahora una de las piedras fundamentales del trabajo estadístico y sigue siendo de cierta discusiones, tanto de sus orígenes como de sus implicaciones filosóficas [87]. Este teorema fue publicado varios años después de la muerte de reverendo Thomas Bayes por un amigo.

Teorema 4.1. (Teorema de Bayes) Sean B₁, B₂, · · · ,Bk eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos. Para cualquier evento nuevo A, tenemos:

Prueba: Ejercicio.

Teorema 4.2. (Teorema de Bayes para variables aleatorias) Sean X y θ variables aleatorias con fdp’s f (x|θ) y ξ(θ).

Dentro del marco bayesiano tenemos que:

■X : datos (escalar o vector o matriz)

■θ: parámetro desconocido (escalar o vector o matriz)

■f (x₁, . . . , xn|θ): verosimilitud de los datos dado el parámetro (desconocido) θ.

■ξ(θ): distribución a priori de θ.

Por el teorema anterior,

Esta es llamada la distribución posterior. La inferencia bayesiana se deriva de esta distribución. En la práctica, el denominador de la expresión anterior no necesita ser calculado en general, y la regla de Bayes se escribe como:

ξ (θ|x₁, . . . , xn) ∝ f (x₁, . . . , xn|θ) ξ(θ).

Por lo tanto, solo necesitamos conocer la distribución posterior hasta una constante de normalización. Muchas veces somos capaces de identificar la distribución posterior de θ mirando solamente este numerador. El teorema de Bayes lo que hace es una «actualización»de ξ(θ) a ξ (θ|x₁, . . . , xn).

Nota: El aprendizaje bayesiano será:

Por lo tanto el teorema de Bayes nos muestra cómo el conocimiento acerca del estado de la naturaleza representada por θ es continuamente modificada a medida que nuevos datos son adquiridos.

Ejemplo 4.1. Distribución a priori uniforme truncada. Muchas veces somos capaces en un problema binomial de especificar claramente en qué región es imposible que esté el parámetro, pero somos incapaces de especificar mejor nuestro conocimiento sobre él. Podemos pensar en utilizar una distribución a priori que refleje esta ignorancia, para ello consideremos una uniforme truncada, es decir,

π ∼ U (π₀, π₁)

Esto es,

La distribución posterior de π dado x = (x₁, x₂, . . . , xn) es

donde

Notemos que el denominador de la función es la P (π₀ < W < π₁|y + 1, n − y + 1), donde W ∼ Beta(y + 1, n − y + 1), y esto se calcula fácilmente en programas como R.

Es fácil hallar la media y la varianza a posteriori. Ellas son:

y

Ejemplo 4.2. Aplicación numérica del caso anterior. Suponga que creemos que el porcentaje de mujeres que actualmente estudia en cierta universidad está entre el 35 % y el 70 %, o sea,

Asumamos, además, que tomamos una muestra al azar de la población de 10 estudiantes y encontramos que 6 son hombres y 4 mujeres, o sea, y = 4 y n = 10. El intervalo de confianza clásico (clásico porque la mayoría de los textos básicos es el único que presentan) basado en el teorema central del límite, y a pesar de que el tamaño muestral sea pequeño, se puede aplicar, dada la casi simetría de la distribución poblacional, será:

lo que produce (0.0963, 0.704) a un nivel del 95 %.

La aproximación bayesiana nos da una distribución posterior,

donde:

Entonces,

E (π|n = 10, y = 4, π₀ = 0.35, π₁ = 0.70) = 0.4823673,

y un intervalo de credibilidad del 95 % es (0.3561442, 0.6680237). Este último se encuentra resolviendo:

y formando el intervalo (π∗, π∗). Note que, este intervalo representa una actualización de la creencia inicial en el problema, en el cual se aprecia una mayor precisión al intervalo inicial.

Definición 4.1 (Consistencia posterior). La distribución posterior, ξ (θ |Datos), se dice que es consistente en un valor dado θ₀ si para cualquier vecindad V de θ₀, ξ (θ ∉ V |Datos) → 0 (en probabilidad) cuando n → ∞, siendo θ₀ el verdadero valor del parámetro.

La consistencia posterior equivale a decir que bajo condiciones muy generales, no importa qué a priori se use, en el fondo si el tamaño muestral crece indefinidamente, la a priori no tendrá efecto y lo que es fundamental es el experimento que genera los datos, ya que se presupone que es un experimento «insesgado».

4.1. Usos de la función de verosimilitud en análisis bayesiano

Berger, Liseo y Wolpert [88] presenta diferentes usos para la función de verosimilitud, L(θ):

1.Reporte científico: se considera una buena práctica de reporte presentar separadamente L(θ) y ξ(θ|x), a menudo gráficamente, para indicar el efecto de la distribución a priori. Esto le permite a otros investigadores utilizar sus propias distribuciones a priori.

2.Análisis de sensibilidad: es importante estudiar la sensibilidad a ξ(θ), y tener disponible L(θ) para este propósito es valioso.

3.Costo de elicitación: obtener distribuciones a priori subjetivas es a menudo muy costoso, tanto en tiempo como en esfuerzo. Es a menudo efectivo a nivel de costos eliminar los parámetros de molestia de una forma básica, produciendo L(θ), y concentrar la elicitación subjetiva a ξ(θ).

4.Objetivismo: aunque la «objetividad»no se puede garantizar en ningún estudio, el presentar L(θ) ayuda a darle esta impresión a muchos investigadores.

5.Combinación de verosimilitudes: si se obtiene información sobre θ de diferentes fuentes independientes, y vienen con sus respectivas verosimilitudes, digamos Li(θ), podemos resumir toda esta información como ∏i Li(θ). Esta es la base del meta-análisis. De hecho, no se pueden multiplicar aposterioris de esta forma.

6.Aprioris impropias: se reducen los peligros de utilizar aprioris impropias.

Definición 4.2 (El Principio de Verosimilitud (PV)). Considere dos experimentos E₁ = {Y₁, θ, f₁(y₁|θ)} y E₂ = {Y₂, θ, f₂(y₂|θ)} que involucran el mismo parámetro θ. Suponga que para realizaciones particulares y₁ y y₂ de los datos, L₁ (θ; y₁) = cL₂ (θ; y₂) para alguna constante c que no depende de θ. Entonces las funciones de verosimilitud proporcionan la misma información, y por tanto, la misma inferencia sobre θ.

Una de las más espectaculares implicaciones del PV es que las reglas de parada en la recolección de datos de las cuales dependan los datos reales recolectados, pero no de θ, son irrelevantes para el propósito de determinar la evidencia sobre θ proporcionada por los datos.

Birnbaum en 1962 mostró que el PV es una consecuencia del Principio de Suficiencia (un estadístico suficiente resume toda la evidencia de un experimento) y del Principio de Condicionalidad (los experimentos no realizados son irrelevantes para la conclusión) [67].

Edwards [89] presenta una reflexión interesante entre hipótesis y modelo:

Un marco suficiente para obtener inferencias inductivas es proporcionado mediante los conceptos de un modelo estadístico y una hipótesis estadística. Los dos conceptos conjuntamente proporcionan una descripción, en términos probabilísticos, del proceso por el cual se supone se generan las observaciones. Por modelo entendemos aquella parte de la descripción que no está presente en la pregunta, y que puede darse como dada, y por hipótesis estadística entendemos la asignación de valores particulares a los parámetros desconocidos del modelo, o de las cualidades particulares de las entidades desconocidas, estos parámetros o entidades en cuestión son la materia de investigación. No hay una distinción absoluta entre las dos partes de una descripción estadística, por lo que una ocasión puede ser considerada como dada, y por lo tanto una parte del modelo, y en otra ocasión, puede ser parte de la disputa, y por lo tanto parte de la hipótesis.

Poirier [79] propone cinco principios fundamentales:

Principio Pragmático de Construcción de Modelos 1 (PPMB 1): dada la verosimilitud, las inferencias sobre los parámetros desconocidos deben realizarse condicionadas en los datos observados en lugar de promediar sobre todos los posibles conjuntos de datos como lo requieren los procedimientos frecuentistas convencionales.

Principio Pragmático de Construcción de Modelos 2 (PPMB 2): la utilización de creencias a priori debe acompañarse por un análisis de sensibilidad local, y extenderlo hasta donde sea posible a un análisis de sensibilidad global.

Principio Pragmático de Construcción de Modelos 3 (PPMB 3): las verosimilitudes y los parámetros son más útiles vistos como artefactos de la mente en lugar de características intrínsecas del mundo observable. Ellos proporcionan ventanas útiles a través de las cuales los investigadores pueden ver el mundo observable e involucrarse en la predicción de observables futuras basadas en lo que han visto en el pasado. En lo que las pruebas de hipótesis y la estimación por intervalo son importantes hasta donde faciliten estas predicciones.

Principio Pragmático de Construcción de Modelos 4 (PPMB 4): dada una ventana (i.e. una verosimilitud) a través de la cual ver el mundo, la mayor tarea que enfrenta el investigador es llevar a cabo un análisis de sensibilidad de la distribución predictiva con respecto a un amplio rango de aprioris de interés profesional como sea posible. Con respecto a la simplificación y las actividades de selección del modelo y adherencia al Principio de Verosimilitud, ellas juegan un papel importante. La búsqueda de verdades probando hipótesis, no importa qué tan nobles puedan aparecer, ellas tienen un papel relativamente menor que jugar en el análisis.

Principio Pragmático de Construcción de Modelos 5 (PPMB 5): la regla de Cromwell) Nunca asigne una probabilidad de uno a la ventana a través de la cual usted escoge ver el mundo.

Edwards [89] apunta

Dado el modelo, podemos referirnos a las consecuencias de una hipótesis estadística, la parte que juega el modelo como es entendido… Una característica adicional de una hipótesis estadística es que el sujeto de las hipótesis no pueden ser observadas directamente, y las inferencias acerca de ellas pueden realizarse a través del conocimiento que una consecuencia particular ha ocurrido

Definición 4.3 (Intercambiabilidad). Se dice que las variables aleatorias Yi, i = 1, . . . , n son intercambiables, si las distribuciones de (Y₁, . . . , Yn) y (Yπ(1), . . . , Yπ(n)) son las mismas para todas las permutaciones (π(1), . . . , π(n)) [90]).

Las creencias de un individuo con respecto a unas cantidades aleatorias observables Z₁, Z₂, . . . , Zn descritas por una distribución de probabilidad conjunta se dice que son intercambiables si, y solo sí, la distribución es invariante bajo todas las permutaciones de los subíndices 1, 2, . . . , n. Creencias con respecto a una sucesión infinita se dice que son intercambiables si, y solo sí, las creencias inducidas son intercambiables para cada subconjunto finito.

Intercambiabilidad e «Independientes e Idénticamente Distribuídas (IID)»no son lo mismo: IID implica intercambiabilidad, y variables intercambiables Yi tienen idénticas distribuciones marginales, pero ellas no son necesariamente independientes.

La intercambiabilidad impone una forma de «simetría»sobre las sucesiones de observables. Si en el lanzamiento de una moneda varias veces, no importa el orden en que aparezcan los resultados, la a priori no debe cambiar bajo este principio. Intercambiabilidad es un término que en el sentido usado por de Finetti es limitado y Draper et al. [91] presentan una extensa discusión sobre el significado y alcances de este término. La idea central tras este término es el de similaridad entre las unidades observacionales.

Intercambiabilidad es una restricción más débil que el de independencia. Si las creencias subjetivas sobre Z₁, Z₂, . . . son independientes, entonces no puede haber aprendizaje de la experiencia. Por el contrario, la intercambiabilidad de las creencias en Z₁, Z₂, . . . implica una visión isomórfica del mundo en el cual existe la variable ficticia θ tal que Z₁, Z₂, . . . son independientes condicionales en θ (esto es, condicionalmente independientes).

Capítulo 5

Distribuciones conjugadas

Dada la magnitud de la tarea de determinar una distribución a priori que refleje de una manera clara nuestra información bayesiana, intuitivamente se piensa en limitar la búsqueda a familias de distribuciones a priori que posean ciertas características, tales como:

1.Tratabilidad analítica:

a)Facilidad de determinación de la distribución posterior de la muestra y de la a priori.

b)Facilidad para obtener características de interés, por ejemplo, valores esperados.

c)La a priori y a posteriori deben ser miembros de la misma familia (cerrada).

2.Flexibilidad y riqueza: debe permitir modelar una gran variedad de información a priori y creencias.

3.Interpretabilidad: los parámetros deben ser de tal forma que el analista pueda relacionarlos fácilmente con sus creencias e información.

Dickey [92] define este proceso de búsqueda de aprioris que sean convenietes de alguna forma como distribuciones a priori operacionales o subrogadas. Otro criterio discutido es el de distribuciones a posteriori operacionales.

Raiffa y Schlaifer en 1961 formalizaron el concepto de familias conjugadas [93]. La definición y la construcción de una familia conjugada depende de la existencia e identificación de estadísticos suficientes de dimensión finita para una función de verosimilitud dada. Si existe este estadístico suficiente entonces la dimensionalidad puede ser reducida. Cuando existe el estadístico suficiente, entonces existe una familia conjugada.

«Una a priori conjugada natural tiene la propiedad adicional de tener la misma forma funcional de la verosimilitud. Esta propiedad significa que la información a priori puede ser interpretada de la misma manera que la información en la función de verosimilitud. En otras palabras, la a priori puede ser interpretada como si surgiera de un conjunto de datos ficticios obtenidos del mismo proceso que generó los datos reales»[27].

Las distribuciones conjugadas juegan un papel importante en los métodos bayesianos, ya que su uso puede simplificar el procedimiento de integración requerido para la marginalización. Ya que al pertenecer la a priori y la a posteriori a la misma familia, el proceso de actualización de parámetros se simplifica [94], lo cual es una gran ventaja para los sistemas inteligentes.

La conjugación nos limita a la selección de una clase de aprioris limitada y la información a priori solo puede utilizarse