В. И. Шаповалов
Моделирование синергетических систем
Метод пропорций и другие математические методы
Монография

[битая ссылка] ebooks@prospekt.org

Предисловие

C середины 70-х годов прошлого века успешно развивается сравнительно молодая наука синергетика. Используя методы нелинейной динамики, она наряду с теорией неравновесных процессов изучает явление самоорганизации в открытых системах. Одним из главных результатов синергетики стало убедительная демонстрация универсальности математических моделей в самых разнообразных по своей природе системах: от физических до экономических и социальных. За последние годы эта наука доказала свою эффективность практически во всех сферах человеческой деятельности, связанных в той или иной степени с процессами самоорганизации. Недаром изучение синергетических принципов вошло в учебный план дисциплины «Концепции современного естествознания», преподаваемой на первых курсах высших учебных заведений.

Однако преимуществами этой науки на сегодняшний день мало кто смог воспользоваться на практике. Причиной этого является с одной стороны большая загруженность синергетики математическим аппаратом, а с другой стороны – неумение применять математические знания, полученные в вузе.

В то же время очевидно, что в современном усложняющемся обществе в любой сфере деятельности долгосрочное планирование невозможно без знаний количественных соотношений важнейших параметров. Разумеется, интуитивное предвидение по-прежнему играет не последнюю роль. Однако ставка только на него приводит к потере эффективности принятых мер. Несмотря на то что математические методы в биологии, социологии и экономике применялись учеными весьма давно (например, в начале прошлого столетия наблюдался бурный рост публикаций подобного рода), до сих пор многие специалисты, занимающиеся практической деятельностью, затрудняются, как уже было сказано, применять математические знания, полученные во время учебы в вузе.

Кроме того, тематически весьма насыщенные учебные программы при ограниченном числе учебных часов часто не позволяют останавливаться более подробно на практическом приложении теории. В результате у значительной части студентов – среди будущих экономистов и социологов – создается неверное представление об отрыве математической дисциплины, читаемой им несколько семестров, от реальной жизни. В жесткой же конкурентной борьбе неумение построить математическую модель (хотя бы простую) применительно к возникшей ситуации чревато заведомым проигрышем. Экономика с преобладанием таких специалистов вынуждена замыкаться на себя, поскольку за ее пределами является неконкурентоспособной.

В монографии подробно на конкретных примерах рассматривается методика построения математических моделей, позволяющих а) формулировать количественные соотношения важнейших параметров; б) прогнозировать тенденции; в) получить необходимое начальное представление о синергетическом моделировании процессов в природе и обществе.

Эта методика включает в себя как обязательный элемент составление так называемых главных пропорций. Под главной пропорцией понимается соотношение между изучаемыми величинами, взятое из опыта (сформулированное на основе практических наблюдений). Эффективность метода главных пропорций для создания математических моделей очень хорошо продемонстрирована в знаменитом труде В. Вольтерра «Математическая теория борьбы за существование», изданном во Франции еще в 1931 году [3]. Значительно позднее немецкий ученый Г. Хакен, основатель синергетики, показал эффективность этого метода при моделировании процессов самоорганизации в системах различной природы [18–20]. Одним из главных преимуществ метода главных пропорций является его сравнительная простота. Мы рассмотрим его приложение а) для составления обыкновенных дифференциальных уравнений, с помощью которых математическим языком можно описывать эволюцию интересующей нас системы; б) для составления точечных отображений (отображений Пуанкаре) с целью анализа устойчивости изучаемой системы, подчиняющейся марковским процессам (в частности, таким процессам подчиняется система «рынок товаров и услуг»). В монографии приведены детальный анализ и подробное решение целого ряда задач, которые могут быть использованы на практических занятиях учебных курсов «Математический анализ» и «Теория вероятностей и математическая статистика», читаемых в вузах как для гуманитарных, так и для технических специальностей.

Введение

Одним из основоположников современных представлений о самоорганизации является профессор Штуттгартского университета Г. Хакен. Еще в начале 1970-х годов Хакеном было замечено, какую важную роль в самоорганизующихся системах играют самосогласованные, коллективные движения частиц. Тогда же им был введен в современный научный язык термин «синергетика», которым теперь обозначается область науки, включающая в себя изучение любых кооперативных явлений природы.

По гречески слово synergeia означает коллективное (совместное) действие. Поэтому в своем названии синергетика как бы подчеркивает тот факт, что при объединении частиц в систему возникает новое качество, присущее только «коллективу» частиц. Заметим, что возникновение у системы нового качества означает, что появилась новая структура, порождающая это качество, т. е. произошла самоорганизация¹. Поэтому синергетику часто называют наукой о самоорганизации.

Синергетические системы – это открытые (незамкнутые) системы². В подавляющем числе случаев именно с такими системами нам приходится иметь дело. Характерной чертой современных исследований в области синергетики является упор на изучение нелинейного поведения. Под нелинейным поведением понимается неоднозначная реакция системы на внешнее воздействие. С математической точки зрения нелинейность возникает тогда, когда уравнение имеет несколько решений. Например, квадратное уравнение имеет два решения, кубическое – три, и т. д. В окружающем нас мире нелинейность проявляется в виде многовариантного поведения, т. е. когда у системы появляется возможность выбора из нескольких новых состояний.

Под внешним воздействием система становится открытой. В нелинейной динамике изменение внешнего воздействия соответствует изменению управляющих параметров. Управляющими параметрами называются константы (постоянные величины), входящие в эволюционное уравнение [2,14, 20]. В качестве последнего выступает уравнение вида

(1)

где Yi – переменные системы; t – время; Fi – функция переменных, вид которой определяется свойствами системы; n — количество переменных, минимально необходимое для описания исследуемого процесса.

Управляющие параметры представляют в эволюционном уравнении (1) внешние условия, которые система изменить не может, и поэтому вынуждена под них подстраиваться [20]. Например, если система движется по выпуклой или вогнутой поверхности и при этом на нее действует сила тяжести и сила сопротивления среды, то в правую часть уравнения (1) в качестве постоянных величин войдут кривизна поверхности, ускорение свободного падения и коэффициент сопротивления среды. Эти постоянные величины будут управляющими параметрами. Изменить их система не может, поэтому ей придется двигаться, подстраиваясь к ним. В частности, она будет двигаться в направлении от выпуклости к вогнутости. Если мы изменим кривизну поверхности, поменяв, например, выпуклое на вогнутое, то это сразу же скажется на движении системы – оно изменится на обратное. Другими словами, изменяя значения указанных параметров, внешний мир управляет поведением системы. Собственно, поэтому эти параметры и названы управляющими.

Эволюционными уравнениями вида (1) описываются объекты весьма широкого класса. В том числе и такие, какие не могут быть отнесены к системам, например материальная точка. Предметом же настоящей книги являются самоорганизующиеся системы. В связи с этим необходимо уточнить, что мы понимаем в (1) под переменными Yi.

Прежде всего, предполагается, что нам известно, какие части системы являются ее элементами. Отдельные группы элементов могут образовывать подсистемы данной системы (в предельном случае подсистема может быть одна, т. е. совпадать с самой системой). Так вот, переменные Yi в эволюционном уравнении – это переменные, описывающие связи между подсистемами. Иными словами, отдельная Yi символизирует некоторую обобщенную характеристику коллективного движения элементов подсистемы.

Только при таком понимании Yi эволюционное уравнение (1) может описывать самоорганизацию. Действительно, если внешний мир изменит управляющие параметры, то процесс подстраивания системы к новым их значениям проявится в том, что элементы подсистем, представленных в (1) в виде обобщенных переменных, изменят свое коллективное движение. Это следует из того, что в (1) изменение управляющих параметров непосредственно влияет на значения Yi, т. е. на подсистемы, а не на их элементы. Следовательно, элементам придется самопроизвольно изменить взаимодействие между собой, чтобы их коллективное движение стало соответствовать новым значениям управляющих параметров. Иначе говоря, в системе произойдет самоорганизация (см. определение самоорганизации в первой сноске на с. 5).

Итак, в данной книге под переменными Yi в (1) мы понимаем макроскопические переменные, соответствующие некоторым обобщенным характеристикам коллективного движения элементов системы. Напомним, что в синергетике такие переменные называются параметрами порядка [19].

Математически создание синергетической модели, как правило, начинается с выбора параметров порядка, т. е. с выбора макроскопических переменных, количественно характеризующих основные связи в системе. Следующий шаг заключается в составлении пропорций, формирующих эти связи. Правило составления пропорций подробно описано в [19] (см. также [3]). Согласно этому правилу, увеличение некоторой величины с течением времени пропорционально приросту этой величины минус ее потери. Затем эти пропорции преобразуются в эволюционное уравнение типа (1).

Глава 1
Применение некоторых известных дифференциальных уравнений для создания моделей социальных и экономических систем

1.1. Экстремальное поведение большой группы людей

Если какой-либо объект представляет собой систему, то он обязательно подчиняется универсальным системным закономерностям. Социальные системы не являются исключением. В частности, коллективное поведение людей в простейшей экстремальной ситуации наглядно демонстрирует качества, которые могут наблюдаться в поведении, например, физических систем.

Допустим, что в здании находится большая группа людей. В некоторый момент времени, принятый за начальный, все люди пытаются выйти из здания. Мы хотим получить закон, показывающий, как с течением времени уменьшается число людей в здании [28].

Введем обозначения: N – количество людей, находящихся в здании в произвольный момент времени t; dN – количество людей, вышедших из здания за время dt. Сформулируем начальное условие: в момент времени t = 0 количество людей в здании равнялось N₀.

Составляем главную пропорцию задачи (см. введение, последний абзац). Делается это следующим образом. Из общих соображений можно предположить, что число людей, вышедших из здания за некоторый промежуток времени, пропорционально самому промежутку времени и количеству людей, находящихся в здании:

dN ~ dt, N.

Заменяя знак пропорции на коэффициент пропорциональности А, получим

dN = —ANdt,

или

Эволюционное уравнение данной задачи (сравните с (1)). Появление минуса объясняется тем, что с увеличением t уменьшается N (dN < 0).

Данное уравнение представляет собой известное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Поступаем согласно методу решения, описанному в разделе П1.2 Приложения. Сначала разделяем переменные по разные стороны уравнения, затем полученное выражение интегрируем:

где C – постоянная интегрирования. Выразим N:

(2)

Постоянную C определим из начального условия. В нашей модели начальное условие будет выглядеть следующим образом (см. в Приложении формулу (П.1)):

N│t = 0 = N₀.

В соответствии с этим условием мы в (2) подставим t = 0 и N₀ вместо N:

N₀ = Ce – A ∙ 0 = Ce⁰ = C.

Следовательно, C = N₀. Тогда (2) примет окончательный вид

N = N₀ e—At.

Итак, мы получили закон, показывающий, как с течением времени уменьшается количество людей в здании. Здесь постоянная А характеризует архитектурные особенности здания: количество этажей, количество выходов и т. п.

Как видим, поведение людей, покидающих в экстремальной ситуации здание, будет таким, чтобы совместными действиями реализовать закон экспоненциального уменьшения числа людей в здании.

Нетрудно заметить, что данный закон по своему математическому виду совпадает с известным в физике законом радиоактивного распада:

N = N₀ e—At; N – число нераспавшихся атомов,

что наглядно демонстрирует универсальность системного подхода к явлениям в природе и обществе.

1.2. Модель воздействия рекламы на количество покупаемого товара

(Изложение данного раздела следует работам [23, 28].) Как и в предыдущем разделе, мы воспользуемся методом составления главных пропорций.

Пусть за время dt приобретается dy товара (y – количество некоторого товара). Наблюдение за применением рекламы показывает, что в результате действия рекламы происходит ускорение приобретения товара с течением времени. Математически ускорение представляет собой вторую производную по времени, поэтому предыдущее утверждение можно записать в виде следующей пропорции:

или

(3)

где a – потенциальное действие рекламы; α – коэффициент пропорциональности.

Уравнение (3) характеризует потенциальное действие рекламы. Однако на практике ее действие испытывает влияние различных факторов, как способствующих, так и мешающих восприятию рекламного материала. Все эти факторы разделяются на две основные группы: F₁ – факторы, связанные с особенностями товара; и F₂ – факторы, связанные с особенностями покупателя. Математически влияние этих групп можно учесть, добавив их в левую часть уравнения (3) (в левую, так как они влияют именно на действие рекламы a):

(4)

Перечень конкретных факторов, в той или иной степени имеющих отношение к группам F₁ и F₂, может быть очень велик. Из этого перечня, следуя идее метода основных пропорций, мы выберем главные факторы, обязательно присутствующие в любой операции купли-продажи.

В группе F₁ среди качеств товара, влияющих на восприятие рекламы, определяющим является уровень его доступности для покупателя. Действительно, какими бы достоинствами ни обладал товар и как бы необходим он ни был, его широкая доступность снижает актуальность любой информации о нем. Поэтому для группы F₁ в качестве определяющего фактора мы выбираем насыщенность рынка данным товаром. Соответствующая пропорция имеет вид:

F₁ ~ y, откуда: F₁ = – γy.

Здесь: γ – коэффициент пропорциональности, а минус указывает на то, что с увеличением количества товара на рынке снижается восприятие его рекламы (т. е. на то, что этот фактор должен уменьшать а в левой части уравнения (4)).

В группе F₂ определяющим фактором является доход среднего покупателя. Это следует из того, что, каким бы желаемым ни был товар, если доход не позволяет его приобрести хотя бы в ближайшем будущем, то реакция на его рекламу будет снижена. На практике доход находит свое выражение через объем спроса. Последний же, как известно, представляет собой количество товара, который мог бы приобрести покупатель за определенный промежуток времени, что в математике соответствует первой производной по времени: dy/dt. Поэтому для этой группы факторов основная пропорция будет иметь вид:

Здесь: β – коэффициент пропорциональности; минус указывает на разные знаки у dt (t ↑, dt > 0) и dy (y ↓, dy < 0). Последнее следует из того, что в странах, в которых имеется инфляция, доход среднего покупателя с течением времени падает.

С учетом сказанного уравнение (4) запишется следующим образом:

откуда

(5)

Это известное линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (НОЛУ). Уравнение (5) решаем стандартными математическими методами (метод решения НОЛУ см. в Приложении, раздел П1.4):

y = y* + y₁, (6)

где y* – общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (ОЛУ); y₁ – частное решение НОЛУ.

Общее решение y* найдем из уравнения, в которое превращается (5) при замене правой части на 0. В этом случае НОЛУ переходит в ОЛУ (см. Приложение, раздел П1.3):

(7)

Воспользовавшись методикой решения ОЛУ, описанной в разделе П1.3 Приложения, составим и решим характеристическое уравнение:

Чтобы определить принадлежность корней k 1,2 к действительным или комплексным числам, необходимо знать знак разности β² – 4αγ. Для этого раскроем смысл постоянных коэффициентов α, γ и β.

Постоянная α появляется как коэффициент пропорциональности в уравнении (3), отвечающим за потенциальное действие рекламы. Отсюда смыл этого коэффициента заключается в том, что он обобщает собой условия, благоприятные для создания рекламы. Благоприятные потому, что, как видно из (3), чем больше значение α, тем больше a – потенциальное действие рекламы. В частности, α будет иметь малое значение в том обществе, в котором не используются современные рекламные технологии, и большое значение в противоположном случае.

Постоянная γ появляется как коэффициент пропорциональности в группе факторов F₁. Чем больше значение γ, тем больше влияние F₁ на а, и наоборот. Поэтому γ должна характеризовать степень доступности товара в данном регионе.

Постоянная β является коэффициентом пропорциональности в группе факторов F₂. От ее значения зависит, как изменение дохода (dy/dt) среднего покупателя сказывается на восприятии им (покупателем) рекламы. Если β мало, то это означает, что изменение дохода мало влияет на величину F₂. В частности, в странах с высоким уровнем жизни большинства граждан значение β должно быть достаточно малым.

Таким образом, в экономически развитых регионах α и γ должны иметь сравнительно большие значения, а β – малое. Поэтому β² – 4αγ < 0, т. е. в выражении для k1,2 разность под корнем имеет отрицательный знак. Следовательно, k1,2 – комплексные:

где 

(8)

Как видим, k1,2 соответствуют 4-му типу решения ОЛУ (см. Приложение, раздел П1.3). В этом случае решением уравнения (7) является выражение

y* = е– ηt (A₁ cos δt + A₂ sin δt), (9)

где A₁ и A₂ − константы интегрирования.

Частное решение y₁ определим по виду правой части уравнения, в качестве которой в (5) выступает a/α. Последнее соответствует первому виду правой части НОЛУ (см. Приложение, раздел П1.4), а именно

f (t) = p (t) e γt. (10)

Действительно, для уравнения (5) функцию f (t) можно записать как

(11)

Сравнивая между собой (10) и (11), находим, что в нашей задаче

(12)

Напомним, что число, возведенное в степень, равно единице только в том случае, если степень равна нулю. Следовательно, γ = 0. Как видим, γ не совпадает с корнями характеристического уравнения k1,2. Поэтому для y₁ выбираем первый тип решения (выбираем пункт 1.а из раздела П1.4 Приложения):

y₁ = q(t) eγt = q(t)

(eγt = 1, см. (12)). Определим вид q (t). Для этого учтем, что: а) q (t) – многочлен той же степени, что и р (t); б) в нашем случае р (t) – многочлен нулевой степени:

Следовательно, и q(t) является многочленом нулевой степени, т. е. является постоянной величиной. Обозначим эту постоянную, например, с: q(t) = c. Тогда

y₁ = q(t) = c. (13)

Постоянную с найдем, подставив y₁ в (5):

Воспользуемся (13):

Здесь мы учли, что

Найденное значение с подставим в (13):

– частное решение уравнения (5). Его общее решение запишем по формуле (6) (y* возьмем из (9)):

(14)

Выражение в скобках можно упростить, заменив постоянные A₁ и A₂ на новые постоянные A и φ₀ по формулам

A₁ = A sin φ₀ и A₂ = A cos φ₀

(легко увидеть, что ). Тогда

A₁ cos δt + A₂ sin δt = A (sin φ₀ cos δt + cos φ₀ sin δt) = A sin (δt + φ₀).

В результате (14) примет вид

(15)

Уравнение (15) представляет собой формулу зависимости от времени количества товара, приобретаемого благодаря действию рекламы.

Из (15) следует, что если рекламировать товар с постоянной интенсивностью достаточно долго (a = const), то начнутся колебания y вокруг постоянного значения a/γ, т. е. возникнет чередование периодов положительного и отрицательного восприятия рекламы (см. рис. 1).

Сравним (15) с известным законом колебательного движения

x = A sin (ωt + φ₀).

Как видим, δ совпадает по смыслу с циклической частотой ω. Отсюда, воспользовавшись соотношением для периода колебаний T = 2π/ω, получаем формулу для промежутка времени положительного восприятия рекламы:

где δ вычисляется из (8). Для определения численных значений коэффициентов, входящих в (8), возможно использование эконометрических методов.

Рис. 1. Чередование периодов положительного и отрицательного восприятия рекламы

Глава 2
Приложение дифференциального исчисления для анализа устойчивости систем

К настоящему времени в экономике системные закономерности наиболее подробно рассмотрены в математических моделях экономического роста крупных регионов, например городов, областей, государств (см., например, [7,14]). При этом в качестве переменных величин, как правило, выбирались национальный доход, капитал, средний уровень зарплаты, цены и т. п. Модели таких систем характеризуют результаты согласованного поведения большого количества фирм, входящих в регион. В данной главе будет проведен анализ поведения отдельной фирмы, для которой экономика региона играет роль внешней среды.

Мы рассмотрим фирму, обладающую следующими средними (по региону) показателями: числом сотрудников и величиной оборотного капитала. Главная задача данного раздела – раскрыть важную роль управляющих параметров, которую они играют при выборе системой пути к тому или иному устойчивому состоянию.

Вначале мы построим общую математическую модель поведения средней фирмы. Затем в качестве примера найдем устойчивые состояния предприятия, занимающегося конкретным видом деятельности, например страхованием.

2.1. Анализ устойчивости фирмы, средней (в некотором регионе) по числу сотрудников и оборотному капиталу

(Изложение данного раздела следует работам [26, 28].) Пусть в фирме работает Y₁ сотрудников, а ее капитал, выраженный в некоторых условных единицах, равняется Y₂. Необходимо определить, возможно ли в такой системе устойчивое состояние и какому типу устойчивости оно соответствует?

Поиск устойчивых стационарных состояний проведем с помощью линейного анализа устойчивости. Для этого воспользуемся его схемой (см. Приложение П2.2).

2.1.1. Начнем с составления эволюционного уравнения. Левая часть эволюционного уравнения представляет собой производные первого порядка от величин, принятых в качестве переменных (см. (П6)³). В нашем случае речь идет о Y₁ и Y₂:

 – скорость роста числа сотрудников;

 – скорость увеличения капитала фирмы.

Сформулируем первую главную пропорцию⁴:

скорость роста числа сотрудников (dY₁/dt) пропорциональна числу новых сотрудников минус ту ее часть, которая связана с количеством уволившихся.

При этом количество новых сотрудников пропорционально капиталу фирмы (~Y₂, так как в среднем люди предпочитают работать в более богатой фирме), а количество уволившихся составляет некоторую долю от числа имеющихся (~Y₁). Заменяя знаки пропорции (~) на коэффициенты пропорциональности, первую главную пропорцию приводим к следующему уравнению:

(16)

где α – коэффициент пропорциональности, показывающий, какую часть своего капитала может выделить фирма, чтобы привлечь новых сотрудников; γ – коэффициент пропорциональности, обобщающий в себе различные причины, в результате которых сотрудник может уволиться (или его уволят).

Cформулируем вторую главную пропорцию:

скорость увеличения капитала пропорциональна прибыли от вложения капитала минус расходы на сотрудников.

При этом прибыль от вложения капитала пропорциональна величине вложенного капитала (~Y₂), а расходы на сотрудников пропорциональны их количеству (~Y₁). Так же заменяя знаки пропорции (~) на коэффициенты пропорциональности, вторую главную пропорцию приводим к уравнению:

(17)

где µ – коэффициент пропорциональности, показывающий эффективность работы фирмы на рынке; β – коэффициент пропорциональности, обобщающий в себе среднюю величину затрат фирмы на одного сотрудника.

2.1.2. Эволюционным уравнением задачи является система уравнений (16) и (17), так как она удовлетворяет общему виду (П6) эволюционных уравнений:

Применив к (18) условие (П8), найдем стационарное решение:

Y1ст = Y2ст = 0. (19)

2.1.3. Обратите внимание: наша модель средней фирмы имеет две переменные Y₁ и Y₂. Следовательно, мы можем воспользоваться результатами Приложения П2.3, полученными для системы, так же с двумя переменными. В частности, чтобы проверить стационарное решение (19) на устойчивость, достаточно определить соотношение знаков у величин B, ∆ и D. Последние вычисляются по формулам (П22). В эти формулы входят четыре коэффициента линейного разложения: a₁₁, a₁₂, a₂₁ и a₂₂. Их мы найдем с помощью (П12), в которой Fi возьмем из системы эволюционных уравнений (18) нашей задачи.

Итак, согласно (П12),

В первом слагаемом берется частная производная по переменной Y₁ от выражения αY₂, которое, как видим, не содержит Y₁, поэтому, согласно правилу вычисления частной производной, это выражение считается постоянным и производная от нее равна нулю. Во втором слагаемом производная берется от выражения γY₁, которое считаться постоянным не может, так как содержит Y₁. Поэтому дальнейшие вычисления для a₁₁ примут вид

Аналогично рассуждая, находим остальные коэффициенты линейного разложения:

Подставив найденные значения a₁₁, a₁₂, a₂₁, и a₂₂ в (П22), получим

(20)

2.1.4. Для средней фирмы коэффициенты α и β должны быть сравнительно большими, так как оба относятся к расходам на сотрудников, а коэффициент µ и γ, наоборот, не должен быть большими потому, что, во-первых (в случае µ), у средней фирмы прибыль от операций на рынке не является слишком высокой, иначе бы фирма была богатой, а не средней; и во-вторых (в случае γ), в цивилизованном обществе в средней фирме текучесть кадров невелика.

С учетом сказанного из формул (20) можно точно определить знаки величин ∆ и D. Действительно,

а) произведение больших коэффициентов α и β заведомо больше, чем произведение малых µ и γ, поэтому∆ > 0;

б) квадрат разности малых µ и γ есть очень маленькая величина, поэтому D < 0.

В отношении же B однозначного ответа нет: и µ, и γ – оба малые. Следовательно, мы приходим к двум возможным ситуациям: µ > γ и µ < γ.

Ситуация 1: µ > γ. Это означает, что коэффициент γ – невелик, и причин для увольнения мало.

В этой ситуации знаки величин из (20) распределятся следующим образом:

Такое сочетание знаков совпадает с (П30). В этом случае стационарное решение (19) соответствует неустойчивому фокусу. Фазовая траектория в координатах Y₁ и Y₂ представляет собой спираль, раскручивающуюся из начала координат (см. рис. П5).

Раскручивание спирали указывает на рост числа сотрудников Y₁ и капитала Y₂. Но ввиду разновеликости коэффициентов β и µ (β > µ) наступает момент, когда во втором уравнении системы (18) в правой его части первое слагаемое окажется меньше второго и прирост капитала dY₂/dt станет отрицательным. На практике это выглядит так, что по мере роста числа сотрудников наступает момент, когда их становится настолько много, что фирма уже не может достойно (по мнению сотрудников) оплачивать их труд. Сотрудники увольняются. Последнее дает увеличение γ. И тогда фирма оказывается в ситуации 2.

Ситуация 2: µ < γ.

Соответствующее распределение знаков величин из (20) имеет вид

Данное выражение совпадает с (П25). В этом случае стационарное решение (19) является устойчивым фокусом, а фазовая траектория представляет собой спираль, сходящуюся к началу координат (рис. П2). Следовательно, число сотрудников Y₁ уменьшается.

Но опять-таки из-за разновеликости β и µ неизбежно наступит момент, когда, начиная с некоторого значения Y₁, прирост капитала dY₂/dt из (18) окажется положительным. При этом причин для увольнения станет меньше (сотрудников останется настолько мало, что фирма сможет достойно оплачивать их труд). Как следствие, значение коэффициента γ понизится. Это приведет фирму снова к ситуации 1. Затем все повторяется.

2.1.5. На рис. 2 показана «сшивка» эволюционных диаграмм двух описанных ситуаций. Линией с пониженной яркостью обозначены фазовые траектории переменных Y₁ и Y₂. Огибающие этих траекторий выделены.

Как видно из рисунка, существует пороговое значение числа сотрудников Y₁*, при пересечении которого меняется направление движения системы по осям. В точке Y₁ = Y₁* действия спиралей устойчивого и неустойчивого фокусов взаимно уравновешиваются. Благодаря этому фазовая диаграмма в координатах Y₁ и Y₂ приобретает вид замкнутой траектории и соответствует устойчивому предельному циклу (см. рис. 19).

Вывод о существовании здесь предельного цикла также следует из применения теоремы Пуанкаре − Бендиксона. Согласно этой теореме, если некоторая полутраектория остается внутри конечной области и не касается каких-либо особых точек, то эта полутраектория является предельным циклом, при этом внутренняя граница области может быть стянута в точку-источник (см., например, [19]). В рассматриваемой задаче неустойчивый фокус выступает в роли источника, а устойчивый фокус ограничивает систему сверху.

Таким образом, фирма с течением времени стремится к устойчивому состоянию, представляющему собой колебания вокруг оптимального числа сотрудников Y₁* (рис. 3). Это оптимальное число сотрудников зависит от соотношения величин β и µ − соответственно коэффициента затрат на сотрудников и коэффициента, связанного с прибылью.

Рис. 2.

Рис. 3. Колебания числа сотрудников фирмы вокруг оптимального значения Y₁*

2.1.6. Система уравнений (18) была записана в предположении, что коэффициент γ является постоянной величиной. В связи с этим необходимо сделать следующее замечание. Как мы видели, в каждой из описанных ситуаций всегда наступал такой момент времени, когда γ изменялся. Этот факт явно указывает на зависимость данного коэффициента от времени. Однако на практике временной промежуток, в течение которого γ изменяется заметно, оказывается значительно меньше, чем длительность существования фирмы в любой из ситуаций. Поэтому мы имели полное право в пределах отдельной ситуации полагать γ постоянным.

2.1.7. Основанная на линейном анализе устойчивости методика поиска устойчивых состояний является общей для систем, имеющих различную природу. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в разделе 2.3 рассмотрена задача, в которой так же осуществлен поиск асимптотически устойчивого стационарного состояния (т. е. аттрактора, см. раздел П5.6), но теперь уже в физической системе – генераторе Ван дер Поля. Генератор Ван дер Поля представляет собой колебательную систему с нелинейными свойствами и часто используется в теоретических исследованиях, связанных с электроникой. Как показано в разделе 2.3, в пространстве двух переменных устойчивым стационарным состоянием генератора является предельный цикл.

2.2. Математическая модель устойчивости страховой фирмы

На примере предприятия, занимающегося конкретной деятельностью, мы продемонстрируем возможности линейного анализа устойчивости для математического моделирования экономической системы.

Поставим перед собой задачу определить устойчивые состояния страховой фирмы, а также экономические показатели, от которых зависит устойчивость такой фирмы [5, 30].

Важнейшей целевой функцией любой фирмы является прибыль. Согласно классическому определению, прибыль (Y) представляет собой разность между доходом (D) и расходом (R): Y = D – R. Специфика страховой фирмы проявляется в составляющих ее дохода и расхода. Введем следующие обозначения:

N – количество клиентов;

s – страховой взнос клиента;

p – размер страховой выплаты клиенту;

Q* – количество страховых выплат.

Тогда доход фирмы равен sN, а расход – pQ*. В результате приходим к известному уравнению, характеризующему суть страхового бизнеса:

Y = sN – pQ*. (21)

2.2.1. Модель государственной страховой фирмы

Характерной особенностью государственной страховой фирмы является требование всеобщего страхования (например, в рамках конкретного страхового профиля), т. е. N = const.

В качестве переменной задачи выберем прибыль страховой компании Y. Сформулируем главную пропорцию: прирост прибыли dY/dt (увеличение прибыли с течением времени t) пропорционален числу клиентов, а также величине самой прибыли, если часть прибыли вкладывается в какие-нибудь доходные предприятия (~ NY). Кроме того, следует отнять ту часть прироста прибыли, которую фирма не дополучила из-за выплат клиентам (~ Q*). Уравнение, соответствующее данной пропорции, примет вид

(22)

где знак пропорции ~ мы заменили коэффициентами пропорциональности α и ε.

Выразим Q* из (21)

Подставив это выражение в (22), получим

и окончательно

(23)

– эволюционное уравнение государственной страховой фирмы. В (23) введены обозначения: λ = ε/p; δ =εs/p.

Стационарное решение Yст уравнения (23) найдем из условия (П8) (dYст/dt = 0):

0 = Ycт (α N + λ),

откуда

– стационарное значение прибыли в государственной страховой фирме.

Зададим возмущение y для Yст. Поскольку в задаче только одна переменная, а именно Y (прибыль), то закон изменения возмущения с течением времени (П13) запишется в простом виде

y = c exp (ωt).

Характеристическое уравнение (П14) также сильно упрощается:

a₁₁ – ω = 0,

Следовательно, ω = a₁₁ и

y = c exp (a₁₁ t). (24)

где a₁₁ вычисляется по формуле (П12). В этой формуле перейдем к обозначениям без индексов, так для одной переменной в них нет смысла:

(25)

где F – правая часть эволюционного уравнения (23). Все величины в (25) положительные (в частности, из (22) видно, что прибыль фирмы будет увеличиваться, т. е. dY/dt > 0, если коэффициент пропорциональности α положителен). Следовательно,

a₁₁ > 0.

Как видим, возмущение y из (24) увеличивается с течением времени. Последнее означает, что Yст является неустойчивым.

Таким образом, в рамках рассмотренной модели стабильное получение прибыли государственной страховой фирмой возможно лишь в сильно консервативном обществе, когда возмущение, создаваемое конкуренцией на рынке, отсутствует.

2.2.2. Модель частной страховой фирмы

Характерной особенностью частной страховой фирмы является зависимость числа клиентов от времени. Следовательно, в этой модели число клиентов N необходимо учитывать в качестве переменной, которую обозначим как Y₁. Как и в предыдущем случае, прибыль страховой фирмы является переменной величиной, ее мы обозначим Y₂.

2.2.2.1. Главные пропорции частной страховой фирмы можно сформулировать следующим образом.

1. Прирост клиентов dY₁/dt пропорционален размеру получаемой прибыли Y₂ (средний клиент предпочитают иметь дело с более богатой фирмой), среднему в данном регионе доходу клиента D₀ и среднему в данном регионе количеству несчастных случаев Q (~Y₂D₀Q). Отрицательная составляющая пропорции обусловлена теми клиентами, которые по каким-то причинам отказались от услуг фирмы (математически количество таких клиентов составляет некоторую долю от общего числа клиентов, которая статистически тем больше, чем больше у фирмы клиентов), т. е. отрицательная составляющая ~Y₁.

2. Прирост прибыли dY₂/dt пропорционален числу клиентов Y₁, а также той части прибыли Y₂, которую фирма вкладывает в доходные предприятия (~Y₁Y₂). Отрицательная составляющая представляет собой часть прироста прибыли, которую фирма не дополучила из-за выплат клиентам (~Q*).

Заменив знак пропорции ~ на коэффициенты пропорциональности α, γ, µ и β, придем к следующей системе двух уравнений

или

где c = αD₀Q.

Количество страховых выплат Q* найдем из (21) (напомним, что в данной модели в роли Y выступает Y₂, в роли N выступает Y₁):

Подставим это выражение в (26)

(27)

где введены обозначения σ = β/p; η = βs/p.

Выражение (27) представляет собой систему эволюционных уравнений частной страховой фирмы (сравните с (П6)).

2.2.2.2. Найдем стационарное решение. Для этого к (27) применим условие (П8):

Как видим, второе уравнение дает для Y2ст два значения:

С учетом первого уравнения приходим к двум стационарным решениям (стационарным состояниям фирмы):

(28)

2. Y₁ст = Y₁ст = 0. (29)

2.2.2.3. Чтобы проверить данные стационарные решения на устойчивость, необходимо задать их возмущения. Затем следует проанализировать, как возмущения изменяются с течением времени: если уменьшаются, то состояние устойчиво, если увеличиваются, то неустойчиво.

Учтем, что наша модель содержит две переменные Y₁ и Y₂. Благодаря этому процесс выяснения устойчивости упрощается. Мы можем воспользоваться результатами Приложения П2.3, полученными для системы с двумя переменными. В частности, чтобы проверить стационарные решения (28) и (29) на устойчивость, достаточно определить соотношение знаков у величин B, ∆ и D. Последние вычисляются по формулам (П22). В эти формулы входят четыре коэффициента линейного разложения: a₁₁, a₁₂, a₂₁ и а₂₂. Их мы найдем с помощью (П12), в которой Fi возьмем из системы эволюционных уравнений (27) нашей задачи.

Согласно (П12),

(30)

(31)

(32)

(33)

1. Вначале проверим на устойчивость решение (28). Для этого его следует подставить в полученные выше выражения для а₂₁ и а₂₂. В результате найдем

По формулам (П22) вычислим B, ∆ и D:

Чтобы определить их знаки, проведем сравнительную оценку величин коэффициентов γ, σ, η и с.

Коэффициент γ характеризует долю клиентов, решивших расторгнуть страховые отношения с данной фирмой (см. формулировку первой главной пропорции в 2.2.2.1). Если фирма не банкрот, то γ должна быть малой величиной.

Напомним, что σ = β/p, при этом p – размер страховой выплаты клиенту, т. е. большая величина. Поэтому мы полагаем σ малой величиной.

Так как η = s β/p, т. е. в s раз больше, чем σ, то η полагаем сравнительно большой величиной (напомним, что s >>1).

Величина c также должна быть большой, так как этот коэффициент пропорционален доходу D₀ (D₀ > 1) и количеству несчастных случаев Q за некоторый период (Q >> 1).

В результате получаем следующее распределение знаков:

B > 0; ∆ < 0; D > 0.

Такое сочетание знаков совпадает с (П32). В этом случае стационарное решение (28) соответствует седловой неустойчивости.

Таким образом, решение (28) является неустойчивым.

2. Проверим на устойчивость стационарное состояние (29). Для этого его стационарные значения Y1ст и Y2ст подставим в (32) и (33). В результате с учетом (30) и (31) найдем:

a₁₁ = – γ; a₁₂ = c;

a₂₁ = µY2ст – η = 0 – η = – η;

a₂₂ = µY1ст + σ = 0 + σ = σ.

По формулам (П22) вычислим B, ∆ и D:

B = σ – γ, ∆ = ηc – σγ, D = (σ + γ)² – 4ηc.

Выше мы уже установили, что γ и σ меньше, чем η и с. Это позволяет нам определить знаки только величин ∆ и D: ∆ > 0; D < 0. Для B возникают две ситуации.

Ситуация 1: σ > γ. В этой ситуации большинство клиентов сохраняют верность фирме (γ уменьшается). При этом распределение знаков имеет вид

B > 0; ∆ < 0; D > 0.

Последнее совпадает с (П30), т. е. в данном случае решение (29) соответствует неустойчивому фокусу (см. рис. П5). Расширяющаяся спираль указывает на рост значений переменных Y₁ и Y₂ (числа клиентов и прибыли).

Ситуация 2: σ < γ. Эта ситуация возникает, если фирма по каким-либо причинам теряет часть клиентов (γ увеличивается). Распределение знаков имеет вид

B < 0; ∆ < 0; D > 0.

Данное сочетание знаков совпадает с (П25), т. е. в данном случае решение (29) соответствует устойчивому фокусу (см. рис. П2). Сжимающаяся спираль указывает на уменьшение числа клиентов Y₁ и прибыли Y₂.

На практике механизм перехода фирмы из одной ситуации в другую может выглядеть следующим образом.

В ситуации 1 благодаря состоянию «неустойчивый фокус» (расширяющаяся спираль в пространстве координат Y₁ и Y₂) происходит рост числа клиентов и прибыли. По мере роста числа клиентов увеличивается и число страховых выплат. Наступает момент, когда клиентов становится настолько много, что их взносы не покрывают убыток от страховых выплат. В этом случае фирма вынуждена уменьшить, например, размер страховой премии. Из-за этого часть клиентов уходит из данной фирмы (γ увеличивается). В результате фирма оказывается в ситуации 2. Этой ситуации соответствует состояние «устойчивый фокус» (сжимающаяся спираль в пространстве координат Y₁ и Y₂). В таком состоянии число клиентов уменьшается до тех пор, пока прибыль фирмы не позволит вернуться к прежней повышенной страховой премии. В этом случае клиенты перестанут уходить из фирмы, что соответствует уменьшению γ. В результате фирма переходит в ситуацию 1, и т. д.

2.2.2.4. Таким образом, мы показали, что система «частная страховая фирма» с течением времени приходит к устойчивому состоянию, представляющему собой колебания вокруг оптимальных значений числа клиентов и размера прибыли. Сами оптимальные значения зависят от величин коэффициентов γ, σ, η и с.

2.3. Модель устойчивости физической системы: генератор Ван дер Поля

В этом разделе мы покажем, что устойчивое поведение маятника, колеблющегося в среде с переменной вязкостью, и устойчивое поведение средней фирмы, рассмотренное нами в разделе 2.1, имеют много общего [28].

2.3.1. Рассмотрим систему, представляющую собой математический маятник, совершающий колебания в вязкой среде, коэффициент вязкости γ которой зависит от θ – угла отклонения маятника от положения равновесия – по следующему закону: а) γ < 0 при малых θ и б) γ > 0 при больших θ. Такая система при некотором критическом значении угла θ должна совершать устойчивые колебания по типу предельного цикла (т. е. с постоянной амплитудой) [2].

Нетрудно сообразить, что указанному закону удовлетворяет следующее выражение

γ = γ₀ (θ² – 1),

где γ₀ – коэффициент вязкости среды в отсутствие колебаний.

Подставив это выражение вместо коэффициента вязкости в известное уравнение колебаний маятника в вязкой среде (см., например, (П15)), получим

(34)

где τ – время; ω² = gK – квадрат циклической частоты колебаний; K – кривизна траектории маятника; g – ускорение свободного падения.

Уравнение (34) называется уравнением Ван дер Поля, а система, которую оно описывает, – генератором Ван дер Поля [2].

В безразмерном виде уравнение (35) имеет вид:

(35)

где 

2.3.2. Покажем, что устойчивым стационарным состоянием (аттрактором) генератора Ван дер Поля действительно является предельный цикл. С этой целью уравнение (35) приведем к виду эволюционного уравнения (см. (П6)):

где Y₁ = φ; Y₂ = dφ/dt;

F₁ = Y₂;

F₂ = εY₂ – Y₁²Y₂ – Y₁. (36)

Находим стационарное решение

Y1cm = Y2ст = 0. (37)

По формуле (П12) с учетом (36) находим коэффициенты линейного разложения

а₁₁ = 0;

а₁₂ = 1;

а₂₁ = –2Y1стY2ст – 1;

а₂₂ = ε – Y21ст.

По формулам (П22) находим

B = ε – Y²1ст;

∆ = 2Y1стY2ст + 1; (38)

D = (ε – Y²1ст)² – 4 ∆.

Подставив стационарное решение (37) в (38), получим, что

B > 0; ∆ > 0; D = ε² – 4. (39)

2.3.3. Если ε достаточно мало, то D становится отрицательным, а распределение знаков в (39) соответствует неустойчивому фокусу (см. (П30)). В этом случае фазовая траектория в координатах Y₁ и Y₂ будет представлять собой спираль, раскручивающуюся из начала координат (см. рис. П5).

Раскручивание спирали приводит к тому, что с течением времени увеличивается переменная Y₁, которую мы использовали для обозначения угловой величины φ из уравнения (35). Если величина φ вырастает настолько, что выполняется φ² > ε, то знак перед производной первого порядка в уравнении (35) становится положительным. Тогда в первом из уравнений (38) мы получим, что B = —ε (при Y1cm = 0), т. е. B < 0. Учитывая, что ∆ > 0; D < 0, и сравнивая с выражением (П25), приходим к заключению о том, что в этом случае стационарное решение (37) является устойчивым фокусом. Фазовая траектория представляет собой спираль, сходящуюся к началу координат (см. рис. П2).

Эволюционная диаграмма переменной Y₁ показана на рис. 4. Штриховой линией обозначены фазовые траектории в пространстве Y₁, Y₂. Огибающие этих траекторий выделены. Вид сечения эволюционной диаграммы в месте сшивки двух конусов в координатах Y₁ и Y₂ совпадает с предельным циклом. При этом очевидно, что радиус спирали с течением времени стремится к значению √ε по оси Y₁. Причем если речь идет о малом значении ε, т. е. о малой вязкости γ₀, то вид устойчивого стационарного решения закона (35) должен быть близок к уравнению окружности [2]:

Y²1ст + Y²2ст ≈ ε.

2.3.4. Таким образом, в фазовом пространстве двух переменных генератору Ван дер Поля соответствует устойчивая замкнутая траектория (аттрактор) – предельный цикл.

Сравнивая между собой эволюционные диаграммы, представленные на рис. 2 и 4, приходим к выводу об общих закономерностях возникновения устойчивых состояний описанных экономической и физической систем.

Рис. 4

2.4. Бифуркация в модели эволюции простейшей биологической системы

Различные системы по разным причинам попадают в неустойчивое состояние. Однако, попав в него, они подчиняются общим закономерностям, отражающим суть неустойчивого состояния. При этом бифуркационные закономерности занимают среди названных не последнее место (о бифуркациях см. Приложение, раздел П5).

Биологические системы – это открытые и неравновесные системы. Достигнуть равновесия им постоянно мешает какое-нибудь внешнее воздействие. В математическом отношении внешнее воздействие учитывается с помощью управляющего параметра в эволюционном уравнении. Если изменяются внешние условия, то изменяется и величина управляющего параметра. Последнее же, как мы видели, приводит к смене типов устойчивости. В результате при определенном значении этого параметра система может оказаться неустойчивой и, следовательно, подверженной бифуркации.

Чаще всего бифуркация – это единственный выход для системы из неустойчивого состояния. Другим выходом, разумеется, является обратный ход по значениям управляющего параметра, однако для этого придется изменять внешние условия (также в обратную сторону), что по силам далеко не каждой системе. Кроме того, бифуркация дает новые состояния и поэтому лежит в основе прогрессивного развития природы. В частности, многие (если не все) биологические виды своим появлением обязаны именно бифуркационным процессам в природе. Задача, рассмотренная в настоящем разделе, в какой-то мере поможет понять некоторые детали этого явления.

Итак, имеется система, состоящая из микроорганизмов размножающихся путем деления. Эта система находится в среде с начальной массой пищи m₀. Требуется исследовать бифуркационное поведение данной системы, т. е. построить бифуркационную диаграмму и определить точки бифуркации.

Если масса пищи m не регулируется извне, то закон ее убывания с ростом числа микроорганизмов близок к экспоненциальному (см., например, [11]):

m = m₀ exp(—βn),

где n = N/V – концентрация микроорганизмов; N – число микроорганизмов; V – объем среды; β – коэффициент потребления, показывающий, как быстро с ростом n уменьшается пища.

Скорость размножения dn/dt пропорциональна концентрации уже имеющихся микроорганизмов и массе пищи, следовательно [11],

(40)

где µ = αm₀, α – коэффициент пропорциональности, характеризующий благоприятные условия среды обитания (благоприятные потому, что, как видно из (40), чем больше α, тем больше dn/dt – прирост числа микроорганизмов).

Учтем смертность микроорганизмов. Для этого воспользуемся следующими соображениями: с одной стороны, с ростом числа умерших скорость появления новых микроорганизмов падает, а с другой стороны, число умерших микроорганизмов пропорционально числу имеющихся. Поэтому в (40) из правой части нужно вычесть величину, пропорциональную n:

(41)

где γ – коэффициент, показывающий, какую долю от общего числа микроорганизмов составляют умершие. Другими словами, коэффициент γ отражает факторы, способствующие увеличению смертности, т. е. этот коэффициент характеризует неблагоприятные условия среды обитания.

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «ЛитРес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на ЛитРес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.