Владимир Савельев
Статистика и котики
Все вышеперечисленные критерии замечательно работают в случаях, когда нам известны точные или хотя бы приблизительные размеры котиков и песиков. Однако такие ситуации встречаются далеко не всегда. Иногда мы можем иметь только указание на то, является ли наш зверь большим или маленьким. В таких нелегких условиях определить различия между котиками и песиками нам поможет критерий Хи-квадрат Пирсона.
Чтобы вычислить этот критерий, нужно построить так называемые таблицы сопряженности. В простейшем случае это таблицы 2×2, в каждой ячейке которых – количество (или, по-научному, частота) песиков и котиков определенного размера. Впрочем, бывают таблицы сопряженности и с большим количеством столбцов и строчек.
Очевидно, что если котики и песики как биологические виды не отличаются по размеру, то больших котиков должно быть столько же, сколько и больших песиков (в процентном соотношении). И основная идея критерия Хи-квадрат состоит в том, чтобы сравнить такую таблицу, в которой песики не отличаются от котиков (иначе – таблицу теоретических частот), с той, что есть у нас (таблицей эмпирических частот).
Перво-наперво необходимо получить таблицу теоретических частот. Для этого для каждой ячейки подсчитывается теоретическая частота по такой формуле.
Следующим шагом мы смотрим, насколько сильно различаются между собой соответствующие ячейки в наших таблицах. Делается это вот так.
Квадрат в числителе этой формулы убирает знак, а знаменатель приводит Хи-квадрат в нужную размерность. Заметим, что если теоретическая частота равна эмпирической, то, применив эту формулу, мы получим 0.
Последним шагом мы складываем все получившиеся значения. Это и будет Хи-квадрат Пирсона. Чем он больше, тем сильнее отличаются песики от котиков.
Помимо всего вышеперечисленного существуют и другие статистические критерии, которые позволяют нам определить, чем песики отличаются от котиков. Они, как правило, имеют разные механизмы вычисления и требования к данным. Но вне зависимости от того, каким критерием вы воспользовались, мало просто его вычислить. Необходимо еще и уметь его интерпретировать. И этому вопросу будет посвящена следующая глава.
НЕМАЛОВАЖНО ЗНАТЬ!
Загадочные степени
свободы
Многих изучающих статистику ставит в тупик понятие «степень свободы», которое часто встречается в учебниках.
Предположим вы знаете, что сумма размеров всех ваших котиков равна 75 см, но не знаете величину каждого конкретного котика. Эти величины будут неизвестны ровно до тех пор, пока вы не начнете их измерять.
Представим, что вы узнали размер первого котика и он оказался равен 20 см. После несложных вычислений можно убедиться, что сумма размеров оставшихся котиков будет 55 см. При этом их конкретные размеры до сих пор неизвестны.
Измерим второго котика. Он оказался равен 25 см. Что мы можем сказать о размере третьего? А то, что он перестал быть неизвестным – теперь мы можем его вычислить. И действительно, вычтя из общей суммы размеры первого и второго котика мы получаем размер третьего.
Число степеней свободы – это то количество котиков, которое мы должны измерить, чтобы однозначно узнать размер всех котиков при известном среднем или дисперсии. Если у вас только одна котиковая выборка, то это количество котиков минус единица.
Если к ним добавляются еще и выборка пёсиков (например, при вычислении t-критерия Стьюдента), то общее количество степеней свободы – это просто сумма степеней свободы котиков и пёсиков. Или по-другому – общее количество животных вычесть двойку.
Истоки этого понятия – в самых основах теории вероятности и математической статистики, которые выходят за пределы нашей книги. С практической же точки зрения, знание о степенях свободы нужно при работе с таблицами критических значений и расчёте p-уровня значимости, о которых вы узнаете из следующей главы.
Глава 4. Как понять, что песики отличаются от котиков или p-уровень значимости
Предположим, что вы вычислили t-критерий Стьюдента. Или U-критерий Манна-Уитни. Или какой-нибудь другой. Как же по нему понять, действительно ли песики и котики различаются по размеру? Чтобы это выяснить, статистики используют весьма нетривиальный подход.
Во-первых, они делают предположение, что котики и песики, как биологические, виды абсолютно не отличаются друг от друга. Это предположение называется нулевой гипотезой.
Следующим шагом они вычисляют вероятность того, что две случайно выбранные группы котиков и песиков дадут значение критерия большее или равное тому, которое мы получили (чаще всего без учета его знака). Эта вероятность называется p-уровнем значимости.
Если p-уровень значимости меньше 5 % (чаще записывается как 0,05), то нулевая гипотеза отвергается и принимается гипотеза о том, что котики и песики все-таки различаются. Такая гипотеза называется альтернативной.
Если же p-уровень значимости больше 0,05, то нулевая гипотеза не отвергается.
Однако то, что она не отвергается, еще не значит, что она верна. Это означает только то, что в данном опыте мы не обнаружили значимых различий.
В специальных статистических программах p-уровень значимости вычисляется автоматически, и нам достаточно просто найти его в соответствующей таблице. Однако, если у вас таких программ нет, то вам придется пользоваться таблицами критических значений.
Работать с ними просто: найдите нужную строчку и посмотрите на значение критерия, которое там указано. Если то, что вы получили, превышает это значение, то котики и песики отличаются друг от друга. Правда, для этого правила есть исключения – это U Манна-Уитни и родственные ему критерии.
НЕМАЛОВАЖНО
ЗНАТЬ!
Альтернативные подходы
Определение различий по p-уровню значимости в последнее время подвергается жесткой критике. Поэтому немаловажно знать о том, что существуют и альтернативные подходы, которые используются при определении значимости полученных результатов.
Доверительные интервалы. Как уже было сказано ранее, ученые чаще всего проводят свои исследования не на всех котиках, а на какой-то выборке. Соответственно, они не знают истинного среднего размера по всем котикам. Однако они могут прикинуть, в каком диапазоне он находится. Такой диапазон называется доверительным интервалом.
Рядом с доверительным интервалом всегда указывается вероятность. 95 %-ый доверительный интервал означает, что мы с точностью в 95 % можем утверждать, что истинный средний размер котиков находится в этом диапазоне.
Чем шире такой интервал, тем менее точной считается статистическая оценка. Что касается различий между песиками и котиками, то они имеют место быть, когда их доверительные интервалы не пересекаются.
Байесовская статистика. Все вышеприведенные способы определения значимости не учитывают наши предыдущие (априорные) знания о том, каких размеров бывают котики и песики. Каждый раз, когда мы определяем p-уровень значимости или доверительный интервал, мы ведем себя так, как будто никогда не видели ни тех, ни других.
Но ведь это не так! Мы ведь достаточно четко представляем себе, как они выглядят! Нельзя просто так брать и отбрасывать предыдущий опыт!
Проблему сопоставления наших предыдущих знаний и новых данных пытается решить группа методов, основанных на теореме английского священника Томаса Байеса.
Не вдаваясь в математические подробности, опишем общую логику. Предположим, что из предыдущих опытов мы выяснили, что в 60 % случаев случайно выбранный песик больше случайно выбранного котика. Проведя собственный эксперимент, мы обнаружили, что это число гораздо выше – 80 %. Следует ли из этого, что нам нужно забыть наш предыдущий опыт и заменить старые данные новыми? Разумеется нет. Новый опыт только подправит предыдущую вероятность, и в следующий раз мы будем считать, что она несколько выше.
