Т. П. Пушкарёва
Математические основы живописи и архитектуры

Полная версия

Введение

Согласно современным взглядам математика и изобразительное искусство – очень удаленные друг от друга дисциплины, поскольку первая из них – аналитическая, вторая – эмоциональная. Математика не играет очевидной роли в современном искусстве, однако у большинства художников она находится в центре внимания.

Своеобразным «скелетом живописи», ее конструктивной основой является рисунок. Он играет важнейшую роль в определении очертаний предметов, их форм, объемов и взаимного расположения в пространстве, т.е. именно в нем заложены геометрические законы живописи.

Своеобразие геометрии, выделяющее ее из других разделов математики, заключается в неразрывном, органическом соединении живого воображения со строгой логикой. По своей сущности геометрия – это пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой. В ней всегда присутствуют эти два неразрывно связанных элемента: наглядная картина и точная формулировка, строгий логический вывод.

Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, строгая логика – привилегия математики.

Еще одним фундаментальным понятием математики, которое имеет прямое отношение к природе и искусству, является симметрия.

Художники разных эпох использовали симметричное построение картины. Симметричными были многие древние мозаики. Живописцы эпохи Возрождения часто строили свои композиции по законам симметрии. Такое построение позволяло достигнуть впечатления покоя, величественности, особой торжественности и значимости событий.

Бордюры в архитектурных и скульптурных произведениях, орнаменты в прикладном искусстве – все это примеры использования симметрии.

Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами: теоремой Пифагора и золотым сечением.

Как следствие многочисленных применений золотого сечения в геометрии и искусстве в эпоху Возрождения появилась книга «Божественная пропорция», а сам термин был введен Леонардо да Винчи в XV веке. Пропорция золотого сечения лежит в основе многих творений Фидия, Тициана, Рафаэля и других.

В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов и архитекторов. В большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении золотой пропорции, а при выборе размеров картин старались, чтобы отношение ширины к высоте тоже равнялось золотой пропорции.

Настоящее искусство имеет свою теорию. Иногда эту теорию можно выразить в терминах математики, так как она тесно связана практически со всеми разновидностями современного искусства и искусства древних времен.

§ 1. Математическое изобразительное искусство

В математическом изобразительном искусстве наиболее часто используют многогранники, тесселяции, ленты Мебиуса, невозможные фигуры, фракталы и искаженные перспективы. Отдельные работы могут включать в себя одновременно несколько перечисленных фигур и объектов.

Многогранник – это трехмерное тело, гранями которого являются многоугольники. Существует всего пять правильных многогранников, у которых все стороны являются правильными многоугольниками и все вершины одинаковы. Они известны как многоугольники Платона, или Платоновы тела (рис. 1).

Рис. 1. Платоновы тела: а – тетраэдр; б – куб; в – октаэдр; г – икосаэдр; д – додекаэдр

Существует 13 выпуклых многогранников, гранями которых являются один, два или три правильных многоугольника и у которых все вершины одинаковы. Они известны как тела Архимеда (рис. 2).

Рис. 2. Архимедовы тела: а – усеченный тетраэдр; б – кубооктаэдр; в – усеченный куб; г – усеченный икосаэдр; д – усеченный додекаэдр; е – усеченный кубооктаэдр; ж – усеченный октаэдр; з – усеченный икосододекаэдр; и – ромбокубооктаэдр; к – дважды усеченный куб (курносый куб); л – икосододекаэдр; м – ромбоикосододекаэдр; н – дважды усеченный додекаэдр (курносый додекаэдр)

Кроме этого, существует бесконечное множество призм и антипризм с гранями в виде правильных многоугольников. Антипризма – полуправильный многогранник, у которого две параллельные грани (основания) – равные между собой правильные n-угольники, а остальные 2n граней (боковые грани) – правильные треугольники (рис. 3).

Кроме правильных и полуправильных многогранников красивые формы имеют звездчатые многогранники. Правильные звездчатые многогранники получаются из правильных многогранников путем продолжения их граней и ребер. Их всего четыре, и называются они телами Кеплера – Пуансо (рис. 4).

Рис. 3. Антипризмы

Рис. 4. Тела Кеплера–Пуансо

Тесселяции, известные также как покрытие плоскости плитками (tiling), являются коллекциями фигур, которые покрывают всю математическую плоскость, совмещаясь друг с другом без наложений и пробелов. Правильные тесселяции состоят из фигур в виде правильных многоугольников, при совмещении которых все углы имеют одинаковую форму. Существует всего три многоугольника, пригодных для использования в правильных тесселяциях. Это правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник (рис. 5).

Рис. 5. Правильные тесселяции

Полуправильными тесселяциями называют такие тесселяции, в которых использованы правильные многоугольники двух или трех типов и все вершины одинаковы (рис. 6).

Рис. 6. Полуправильные тесселяции

Существует всего 8 полуправильных тесселяций. Вместе три правильных тесселяции и восемь полуправильных носят название Архимедовых.

Рис. 7. Невозможные фигуры

Рис. 8. Ленты Мебиуса

Невозможные фигуры – это фигуры, изображенные в перспективе таким способом, чтобы выглядеть на первый взгляд обычной фигурой. Однако при более внимательном рассмотрении зритель понимает, что такая фигура не может существовать в трехмерном пространстве (рис. 7).

Лента Мебиуса – это трехмерный объект, имеющий только одну сторону. Такая лента может быть легко получена из полоски бумаги, если перекрутить один из концов полоски, а затем склеить оба конца друг с другом (рис. 8).

Необычные системы перспективы, содержащие две или три исчезающие точки, также являются излюбленной темой многих художников. К ним также относится родственная область – анаморфное искусство. Слово анаморфный (anamorthic) состоит из двух греческих слов «ana» (снова) и «morthe» (форма). К анаморфным относятся изображения, настолько сильно искаженные, что разобрать их без специального зеркала бывает невозможно. Если смотреть в анаморфоскоп, то изображение «формируется снова» в узнаваемую картину.

Рис. 9. Фракталы

Фрактал – это объект, повторяющий сам себя в различных масштабах, которые связаны математическим способом. Фракталы формируются итерационно, многократно повторяя вычисления так, что получается объект высокой сложности с множеством мелких деталей (рис. 9).