Стивен Вайнберг
Первые три минуты
Прежде чем двинуться дальше, сделаем ряд оговорок по поводу космологического принципа. Во-первых, он, очевидно, несправедлив на малых расстояниях. Мы сами находимся в галактике, входящей в небольшую местную группу галактик (среди них – M31 и M33), а та, в свою очередь, принадлежит к гигантскому скоплению галактик в созвездии Девы. К слову, из 33 галактик каталога Мессье почти половина располагаются в одном маленьком участке неба в Деве. Космологический же принцип, если он вообще верен, приобретает смысл, только если использовать масштабы, сравнимые с расстоянием между скоплениями галактик (около 100 миллионов световых лет).
Рис. 2. Изотропия и однородность. Если Вселенная изотропна как вокруг галактики 1, так и вокруг галактики 2, то она однородна. Чтобы показать одинаковость свойств точек A и B, нарисуем две окружности: первая – с центром в галактике 1 – проходит через точку A, а вторая – с центром в галактике 2 – через точку B. Поскольку пространство вокруг галактики 1 изотропно, свойства точек A и C (точка пересечения двух окружностей) одинаковы. Аналогично из эквивалентности различных направлений вокруг галактики 2 следует эквивалентность свойств точек B и C. Следовательно, точки A и B также обладают одинаковыми свойствами
Вторая оговорка касается сложения скоростей. При применении космологического принципа для выведения прямой пропорциональности между скоростями галактик и расстояниями между ними мы предположили, что если скорость C относительно B совпадает со скоростью B относительно A, то скорость C относительно A будет в два раза больше. Это знакомое всем обычное правило сложения скоростей, которое безусловно работает для их малых значений, встречающихся в повседневной жизни. Оно, однако, обязано нарушаться для величин, сравнимых со скоростью света (300 тысяч км/с). В противном случае, складывая произвольное количество относительных скоростей, мы бы получили показатель, превышающий скорость света, что в специальной теории относительности Эйнштейна запрещено. Например, пусть пассажир самолета, летящего со скоростью в 3/4 скорости света, выстреливает по ходу движения пулей, набравшей тоже три четверти скорости света. Какова скорость пули относительно Земли? Обычное правило дает ответ: «полторы скорости света». Но это невозможно. В специальной теории относительности подобный нелепый ответ исключается путем изменения самого правила сложения скоростей. На самом деле скорость C относительно A несколько меньше, чем сумма скоростей B относительно A и C относительно B. Поэтому, сколько ни складывай скорости, меньшие скорости света, больше последней никак не получится.
Впрочем, в 1929 г. Хаббла эти проблемы не волновали. Все наблюдаемые им галактики имели скорости, ничтожные по сравнению со скоростью света. Однако, когда космологи работают с огромными расстояниями, которые во Вселенной встречаются сплошь и рядом, им не обойтись без теоретических схем, где указано, как обращаться со скоростями, близкими к световой. Такие рецепты дают общая и специальная теории относительности Эйнштейна. На подобных невообразимых расстояниях неоднозначным становится само понятие расстояния. Поэтому всегда надо уточнять, какое именно расстояние подразумевается: измеренное по светимости, угловым диаметрам, собственным движениям или по чему-то еще.
Но вернемся в 1929 год. Хаббл оценивал расстояния до 18 галактик по видимой светимости их ярчайших звезд, а затем сопоставлял их с соответствующими скоростями, найденными из спектроскопических измерений эффекта Доплера. Таким образом он пришел к заключению, что между скоростями и расстояниями имеется линейная зависимость (т. е. они пропорциональны друг другу). Честно говоря, глядя на данные Хаббла, я несколько недоумеваю: как он вообще пришел к этому заключению? Скорости галактик разбросаны почти случайно – угадывается лишь слабый намек на их увеличение с расстоянием. Более того, для этих 18 галактик вряд ли можно ожидать четкой зависимости между скоростью и расстоянием: все они находятся слишком близко к Земле (во всяком случае, не дальше скопления в Деве). Сам собой напрашивается вывод, что Хаббл – руководствовался ли он простыми аргументами, изложенными выше, или положениями теорий, которые мы еще обсудим, – знал ответ заранее.
Как бы то ни было, к 1931 г. он накопил достаточно данных, чтобы проверить закон прямой пропорциональности для галактик, измеренные скорости которых достигали 20 тысяч км/с. Имеющиеся на тот момент оценки расстояний позволяли заключить, что с увеличением расстояния на миллион световых лет скорость меняется на 170 км/с. Отсюда вывод: скорость в 20 тысяч км/с дает расстояние почти в 120 миллионов световых лет. Этот коэффициент, показывающий изменение скорости в зависимости от расстояния, известен как «постоянная Хаббла». (Постоянная – в том смысле, что имеет одно и то же значение для всех галактик в заданный момент времени. Однако, как мы дальше увидим, она меняется по мере расширения Вселенной[4].)
К 1936 г. Хаббл совместно со спектроскопистом Милтоном Хьюмасоном смог измерить скорость скопления галактик Большая Медведица II и расстояние до него. Оказалось, что оно удаляется от нас со скоростью 42 тысячи км/с – 14 % от световой. Соответствующие оценки расстояния давали 260 миллионов световых лет, что находилось на пределе возможностей телескопа в Маунт-Вильсон, поэтому Хаббл был вынужден прекратить свои исследования. После Второй мировой войны на арену вышли более крупные телескопы: Паломарский, а также телескоп Ликской обсерватории на горе Маунт-Гамильтон. Тогда эстафету от Хаббла приняли другие астрономы (главным образом Алан Сэндидж, работавший на телескопах Паломарской обсерватории и Маунт-Вильсона), и его наблюдательная программа до сих пор имеет своих последователей.
Данные, полученные за прошедшие полвека, говорят, что галактики удаляются от нас со скоростями, пропорциональными расстоянию до них (это верно по крайней мере для скоростей, не очень близких к световой). Разумеется, как уже подчеркивалось при обсуждении космологического принципа, это не означает, что мы находимся в каком-то удачном или, наоборот, неудачном месте космоса. Любая пара галактик разлетается со скоростью, пропорциональной разделяющему их расстоянию. Впрочем, после пересмотра внегалактической шкалы расстояний в выводы Хаббла пришлось внести важные коррективы. После того как Вальтер Бааде и другие заново провели нормировку соотношения Ливитт – Шепли «период – светимость» для цефеид, оценку расстояний пришлось повысить примерно в десять раз по сравнению с хаббловской. Таким образом, сегодня считается, что постоянная Хаббла равна всего 15 км/с на миллион световых лет.
Что, исходя из этого, можно сказать по поводу происхождения Вселенной? Если галактики разбегаются, значит, раньше они были друг к другу ближе, чем сейчас. Более точно: если их скорости постоянны, то время, необходимое любой паре галактик, чтобы разлететься на заданную дистанцию, равно расстоянию между ними, деленному на их относительную скорость. Но раз знаменатель в этом уравнении пропорционален числителю, то это время одинаково для любой пары. Другими словами, в некоторый момент в прошлом все они были собраны вместе! Если принять постоянную Хаббла равной 15 км/с на миллион световых лет, то, получается, они стали разлетаться 20 миллиардов лет назад (миллион световых лет, деленный на 15 км/с). Вычисленный таким образом «возраст» мы будем называть «характерным временем расширения». Это величина, обратная постоянной Хаббла. На самом деле подлинный возраст Вселенной меньше, чем характерное время расширения, ведь под действием взаимного гравитационного притяжения галактики замедляются. То есть если постоянная Хаббла равна 15 км/с на миллион световых лет, то возраст Вселенной непременно меньше 20 миллиардов лет.
Иногда мы говорим просто: Вселенная становится больше. Это не значит, что у нее есть какой-то конечный размер, хотя вполне может оказаться, что и есть. Мы употребляем это выражение только потому, что в любой заданный момент времени расстояние между любой парой типичных галактик в относительных единицах меняется на одну и ту же величину. Возьмем промежуток времени, за который относительная скорость типичных галактик не успевает сильно измениться. Тогда увеличение дистанции между двумя из них будет равно произведению относительной скорости на этот промежуток времени. Или, с учетом закона Хаббла, произведению постоянной Хаббла на расстояние и на истекшее время. Но в таком случае относительное изменение расстояния – изменение расстояния, деленное на само расстояние, – будет равно постоянной Хаббла, умноженной на время, т. е. будет одинаковым для всех пар галактик. Например, за время, составляющее 1 % от характерного времени расширения (обратной постоянной Хаббла), расстояния между всеми парами типичных галактик увеличатся на 1 %.
Я не хотел бы создать у читателя впечатления всеобщего согласия с описанной интерпретацией красного смещения. На самом деле мы ведь не видим процесс разбегания галактик. Единственное, в чем мы уверены, так это в том, что линии в их спектрах сдвинуты в красную – длинноволновую – область. При этом даже некоторые маститые астрономы сомневаются, имеет ли наблюдаемое смещение отношение к эффекту Доплера и к расширению Вселенной. Так, Хальтон Арп из Обсерватории Хейла обратил внимание научной общественности на группы галактик, красное смещение у некоторых членов которых сильно отличается от других. Если эти группы представляют собой физически связанные системы близких галактик, вряд ли в них следует ожидать большого разброса скоростей. Кроме того, в 1963 г. Маартен Шмидт открыл новый класс объектов, внешне похожих на звезды, но имеющих огромные красные смещения, иногда доходящие до 300 %! Если эти «квазизвездные объекты» действительно настолько далеки, как о том говорит их смещение, то они должны выбрасывать интенсивнейшие потоки энергии – иначе не выглядели бы с Земли яркими источниками. Наконец, на по-настоящему больших расстояниях очень непросто проследить зависимость между расстоянием и скоростью.
Впрочем, есть независимый способ убедиться в том, что галактики на самом деле разбегаются, как на то указывает красное смещение. Как видно из предложенной выше интерпретации, расширение Вселенной началось несколько позже, чем 20 миллиардов лет назад. Соответственно гипотеза о красном смещении будет косвенно подтверждена, если найти какие-либо доказательства столь большого возраста Вселенной. И в самом деле, есть веские основания полагать, что Млечному Пути 10–15 миллиардов лет. К этой цифре приводят как оценки относительного изобилия различных радиоактивных изотопов на Земле (прежде всего урана U-235 и U-238), так и расчеты эволюции звезд. Разумеется, скорость радиоактивного распада или звездная эволюция напрямую с красным смещением не связаны. Поэтому надо с осторожностью относиться к предположению о том, что возраст Вселенной, подсчитанный по постоянной Хаббла, дает возможность узнать подлинное начало отсчета времени.
В связи с этим с исторической точки зрения интересно вспомнить: в 1930–1940-х гг. постоянную Хаббла полагали равной 170 км/с на миллион световых лет. Следуя уже знакомой нам цепочке рассуждений, получаем, что возраст Вселенной составляет 2 миллиарда лет (миллион световых лет, деленный на 170 км/с). Ну или чуть меньше, если учесть гравитационное торможение. Однако еще со времен лорда Резерфорда, изучавшего радиоактивный распад, хорошо известно, что Земля гораздо старше. Принятая сегодня оценка – 4,6 миллиарда лет! Трудно поверить, что наша планета может быть старше Вселенной, поэтому астрономы засомневались в расчетах возраста последней, основанных на измерении красного смещения. Этот кажущийся парадокс послужил благодатной почвой для многих космологических идей, появившихся в 1930–1940-е гг., в том числе, возможно, и для теории «стационарной Вселенной». Пожалуй, если бы в 1950-х гг. не прозошло десятикратного растяжения внегалактической шкалы расстояний, у теории Большого взрыва было бы гораздо меньше шансов приобрести статус стандартной модели.
На картине Вселенной, которую мы здесь рисуем, изображен расширяющийся рой галактик. До сих пор свет для нас играл неприметную роль «звездного вестника», несущего лишь информацию о скорости галактик и расстоянии до них. В ранней же Вселенной все обстояло совершенно по-другому: как мы вскоре увидим, тогда в мироздании львиную долю вещества составлял именно свет, сдобренный ничтожными примесями обычной материи. Поэтому сейчас будет весьма полезным кратко повторить все то, что мы узнали о красном смещении и поведении световых волн в расширяющейся Вселенной.
Рассмотрим световую волну, распространяющуюся от одной типичной галактики к другой. Расстояние между двумя галактиками равно произведению времени прохождения света между ними на его скорость, а увеличение этого пространства – произведению времени прохождения света на относительную скорость галактик. Посчитав относительное увеличение расстояния (разделив его изменение на его же среднюю величину), увидим, что время прохождения света сокращается. Относительное увеличение расстояния между этими двумя галактиками (и между любой парой типичных галактик) за время, пока летел свет, оказывается равным отношению скорости одной галактики относительно другой, деленной на скорость света. Но, как мы помним, попытки вычислить относительное увеличение длины волны света за время его полета приводят к этому же отношению. Таким образом, во время расширения Вселенной длина волны любого луча света возрастает пропорционально расстоянию между типичными галактиками. То есть, расширяясь, Вселенная «растягивает» гребни волны все дальше и дальше друг от друга. Хотя, строго говоря, наше доказательство верно лишь для малых значений времени полета света. Однако, разбивая длинный путь на множество мелких промежутков, можно убедиться, что это заключение верно и в общем случае. Например, глядя на галактику 3C295 и видя, что длины волн в ее спектре на 46 % больше, чем в таблицах спектральных эталонов, мы делаем вывод, что сейчас Вселенная на 46 % больше, чем она была в тот момент, когда свет покинул 3C295.
До сих пор мы занимались тем, что физики называют «кинематикой», т. е. описывали движение, но не интересовались вопросом, какими силами оно управляется. Но не мы первые, кто столкнулся с этой проблемой, – еще столетия назад астрономы и физики пытались понять динамику Вселенной. Неудивительно, что рано или поздно это должно было привести к возникновению вопроса о космологической роли той единственной силы, которую ощущают на себе небесные тела, – силы тяжести.
Как несложно догадаться, первым взявшимся за эту задачу был Исаак Ньютон. В знаменитом письме кембриджскому филологу Ричарду Бентли он указал, что если бы вещество Вселенной было равномерно распределено в конечной области, то оно стремилось бы падать к центру и «образовало бы там одну огромную сферическую массу». С другой стороны, если бы вещество было равномерно рассеяно по бесконечному пространству, то не существовало бы центра, куда оно могло бы падать. В таком случае оно, вероятно, разбилось бы на бесконечное число разбросанных по мирозданию сгустков. По мнению Ньютона, это объясняло бы, откуда взялись Солнце и звезды.
Изучать динамику бесконечной среды оказалось весьма непросто, поэтому до появления общей теории относительности эта область знаний не могла похвастать особыми успехами. Здесь мы не собираемся подробно останавливаться на этой теории, тем более что ее важность для космологии оказалась, как выяснилось впоследствии, несколько преувеличена. Скажем лишь, что Альберт Эйнштейн, взяв на вооружение уже готовый математический аппарат неевклидовой геометрии, трактовал гравитацию как искривление пространства-времени. В 1917 г. – через год после того, как была сформулировала общая теория относительности, – Эйнштейн снова обратился к своим уравнениям, чтобы определить пространственно-временну́ю геометрию всей Вселенной. Следуя господствовавшим тогда космологическим идеям, он искал однородное, изотропное и, к сожалению, статическое решение. Но потерпел фиаско. Чтобы все-таки построить модель, удовлетворявшую его космологическим предпосылкам, Эйнштейн вынужден был ввести в уравнения лишний член – так называемую космологическую постоянную. Хотя последняя в известной мере и подпортила первоначальную элегантность теории, но зато позволила уравновесить гравитационную силу притяжения на больших расстояниях.
Эйнштейновская модель Вселенной с самого начала была статической и потому не предсказывала красных смещений. Однако в том же 1917 г. голландский астроном В. де Ситтер в рамках подправленной теории придумал еще одну модель. На первый взгляд она тоже была статической – в полном соответствии с космологическими взглядами того времени. Но тем не менее имела удивительную способность предсказывать красные смещения, прямо пропорциональные расстоянию! Тогда европейским астрономам еще ничего не было известно о красных смещениях в спектрах туманностей. Впрочем, к концу Первой мировой войны новости о них из Америки в Европу просочились, и модель де Ситтера мгновенно стала популярной. Оказалось, что когда в 1922 г. Артур Эддингтон писал первый исчерпывающий трактат по общей теории относительности, имеющиеся данные по красным смещениям он анализировал как раз в рамках деситтеровской модели. А Хаббл говорил, что именно последняя позволила астрономам распознать важность соотношения между красным смещением и расстоянием, и что он сам, – возможно, неосознанно – имел в виду эту модель, когда в 1929 г. обнаружил пропорциональность красного смещения расстоянию.
Сегодня такое внимание к теории де Ситтера кажется излишним. Начнем с того, что это вовсе не статическая модель. Она выглядела статической из-за особого выбора пространственных координат, тогда как на самом деле расстояния между «типичными» наблюдателями в ней увеличиваются. Это общее разбегание как раз и приводит к красному смещению. Кроме того, последнее в деситтеровской модели оказывается пропорциональным расстоянию просто потому, что она удовлетворяет космологическому принципу. Но, как мы уже показывали, прямую пропорциональность между относительной скоростью и расстоянием следует ожидать в любой теории, в которой справедлив этот принцип.
Что ж, по крайней мере открытие разбегания далеких галактик возбудило интерес к однородным и изотропным моделям, не обладающим свойством статичности. «Космологическая постоянная» в уравнениях гравитационного поля оказалась избыточной, и Эйнштейн немало сожалел, что вообще решил внести поправки в свои первоначальные уравнения. В 1922 г. русский математик Александр Фридман нашел общее однородное и изотропное решение «нетронутых» уравнений Эйнштейна. Именно эти так называемые фридмановские (а не эйнштейновская или деситтеровская) модели обеспечили математический аппарат для большинства современных космологических теорий.
Модели Фридмана делятся на два класса. Если средняя плотность вещества меньше или равна определенному критическому значению, Вселенная будет пространственно бесконечной. В этом случае ее сегодняшнее расширение будет продолжаться вечно. Если же плотность больше критической, то создаваемое веществом гравитационное поле замкнет Вселенную саму на себя. Она будет конечной, но неограниченной – подобно сферической поверхности. (Другими словами, если мы отправимся в путешествие и будем идти все время прямо, то не встретим на своем пути какой-либо границы и вернемся туда, откуда пришли.) В таком случае гравитационные поля настолько сильны, что в конце концов останавливают расширение Вселенной и заставляют ее схлопнуться в состояние с неопределенно большой плотностью, из которого она вышла. При этом критическая плотность пропорциональна квадрату постоянной Хаббла. Взяв популярное сейчас значение 15 км/с на миллион световых лет, получим критическую плотность, равную 5×10–30 грамм на кубический сантиметр, или три водородных атома на тысячу литров космического пространства.
Перемещение любой типичной галактики во фридмановских моделях в точности повторяет движение брошенного вверх камня. Если его метнуть достаточно сильно или, что то же самое, если у Земли достаточно маленькая масса, камень будет постепенно замедляться, но в конце концов уйдет на бесконечность. Это соответствует случаю, когда плотность Вселенной меньше критической. Если же придать камню не очень большую скорость, то он, достигнув некоторой верхней точки, рухнет вниз. Это, разумеется, соответствует плотности Вселенной, большей, чем критическая.
Из этой аналогии, в общем-то, ясно, почему Эйнштейн не мог найти статическое решение своих уравнений: мы вполне привычны к зрелищу падающего или летящего вверх камня, но вот чтобы он надолго завис в воздухе… Эта аналогия, кстати, помогает рассеять и распространенное заблуждение по поводу расширения Вселенной. Галактики разбегаются не потому, что их растаскивает какая-то загадочная сила, – точно так же камень летит вверх не потому, что отталкивается Землей. Они удаляются друг от друга потому, что в прошлом их разметал некий взрыв.
По сути, с помощью этой аналогии можно подробно исследовать многие свойства фридмановских моделей, не прибегая к общей теории относительности, хотя в 1920-х гг. об этом еще не знали. Чтобы предсказать движение той или иной типичной галактики, нарисуйте сферу с наблюдателем в центре и радиусом, равным расстоянию от нас до этой галактики. Тогда последняя будет двигаться так, словно вся масса Вселенной сосредоточена в пределах этой сферы, а снаружи ничего нет. Посмотрим на это явление с другой стороны. Допустим, мы пробурили в земле скважину и бросаем туда различные тела. Тогда увидим, что измеряемое ускорение силы тяжести по направлению к центру земного шара будет определяться исключительно веществом, лежащим ниже нашей скважины (словно поверхность Земли проходит через ее дно). Это потрясающий результат можно сформулировать в виде теоремы, верной как в ньютоновской, так и в эйнштейновской теории гравитации. Ее единственное условие – сферическая симметрия исследуемой системы. Такую теорему в рамках общей теории относительности американский математик Дж. Д. Биркгоф доказал еще в 1923 г., однако значение этого для космологии было оценено лишь спустя десятилетия.
Так, лишь гораздо позже выяснилось, что с помощью теоремы Биркгофа можно рассчитать критическую плотность во фридмановских моделях (рис. 3). Если представить себе сферу с нами в центре и проходящую при этом через какую-нибудь далекую галактику, то, зная массу вещества внутри этой сферы, можно вычислить скорость убегания. (Скорость убегания – та, при которой галактика на поверхности сферы сможет уйти на бесконечность.) Она оказывается пропорциональна радиусу сферы: чем больше последний, тем больше массы в пределах сферы и тем большая скорость нужна для убегания на бесконечность. Однако в законе Хаббла говорится: действительная скорость галактики на поверхности этой сферы пропорциональна расстоянию до нас, т. е. тоже радиусу сферы. Таким образом, хотя скорость убегания и зависит от радиуса, из отношения скорости галактики к скорости убегания размер сферы выпадает. Причем это справедливо для всех галактик и не зависит от того, какую из них мы примем за центр сферы. Получается, значения постоянной Хаббла и плотности Вселенной определяют будущее всех галактик, движение которых подчиняется закону Хаббла. Если их скорости превосходят скорость убегания, галактики уходят на бесконечность. В противном случае в некоторый момент в будущем все они упадут на нас. Критическая плотность – это всего-навсего плотность, при которой скорость убегания сравнивается со скоростью, следующей из закона Хаббла. И зависеть она может только от постоянной Хаббла, квадрату которой пропорциональна (см. математическую заметку 2 на с. 234).
Рис. 3. Теорема Биркгофа и расширение Вселенной. Здесь изображены многочисленные галактики, а также их скорости по отношению к данной галактике G. Длина стрелок характеризует значения скоростей, которые, в соответствии с законом Хаббла, прямо пропорциональны расстоянию до G. Теорема Биркгофа утверждает: чтобы посчитать, как галактика A будет двигаться относительно G, достаточно учесть только ту массу, которая попадает в пределы сферы с центром в G, проходящей через A (на рисунке обозначена пунктиром). Если A расположена не слишком далеко от G, то гравитационное поле, создаваемое веществом в пределах сферы, будет умеренным. Это значит, что для расчета движения A можно применять рецепты ньютоновской механики
Выстраивая подобную логическую цепочку, можно более точно подсчитать зависимость размера Вселенной (другими словами, расстояния между любой парой типичных галактик) от времени (рис. 4). Но это приводит к уже несколько более сложным для понимания результатам. Есть, однако, один весьма простой факт, который нам позже пригодится. На ранних стадиях размер Вселенной менялся по простому степенному закону: если излучение ничтожно мало, размер пропорционален времени в степени 2/3, а когда плотность излучения превосходит плотность обычного вещества – в степени 1/2 (см. математическую заметку 3 на с. 237). Тем не менее одна из характерных черт моделей Фридмана не поддается объяснению, если не призвать на помощь общую теорию относительности. Речь идет о связи между плотностью и геометрией: Вселенная открыта и бесконечна или замкнута и конечна в зависимости от того, больше или меньше скорости галактик, чем скорость убегания.
Рис. 4. Расширение и сжатие Вселенной. Изображенная здесь зависимость расстояния (в условных единицах) между парой типичных галактик от возраста Вселенной соответствует двум возможным космологическим моделям. В «открытом» случае мироздание бесконечно, плотность – меньше критической, а расширение хоть и замедляется, но будет продолжаться вечно. В «за мкнутом» случае Вселенная конечна, плотность – выше критической, а расширение однажды остановится и сменится сжатием. Приведенные графики рассчитаны с помощью эйнштейновских уравнений гравитационного поля без космологической постоянной и для материально-доминированной Вселенной