Стивен Строгац
Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной
В контексте разрезания линии на части потенциальная бесконечность означает, что линию можно разрезать на сколь угодно большое количество частей, но оно всегда конечно, а длина частей не равна 0. Это вполне допустимо и не вызывает никаких логических затруднений.
Что запрещено – так это идея, что можно пройти весь путь до актуальной бесконечности и получить бесконечное число частей нулевой длины. Аристотель считал, что это ведет к бессмыслице – как в нашем случае, когда произведение бесконечности и 0 может дать любое число. Поэтому он запретил пользоваться актуальной бесконечностью в математике и философии. Математики поддерживали его мнение в течение следующих двадцати двух столетий.
Когда-то в далекие доисторические времена кто-то понял, что числа никогда не заканчиваются. Вместе с этой мыслью родилась бесконечность. Это числовой аналог глубин, скрытых в нашей психике, в наших ночных кошмарах о бездонных ямах и в наших надеждах на вечную жизнь. Именно бесконечность лежит в основе множества наших мечтаний, страхов и безответных вопросов. Насколько велика Вселенная? Сколько длится вечность? Насколько могуществен Бог? Тысячи лет бесконечность сбивает с толку лучшие умы человечества во всех областях мысли – от религии и философии до науки и математики. Ее запрещали, объявляли вне закона и отвергали. Во времена инквизиции монах Джордано Бруно[32] был сожжен заживо на костре за предположение, что Бог в своей бесконечной силе создал бесчисленные миры.
Парадоксы Зенона
Примерно за два тысячелетия до казни Джордано Бруно бесконечность осмелился созерцать другой отважный философ. Зенон Элейский (около 490–430 до нашей эры) изложил ряд апорий (парадоксов), связанных с пространством, временем и движением, и бесконечность играла в них главную роль. Эти апории предвосхитили идеи, положенные в основу анализа, и обсуждаются до сих пор. Бертран Рассел называл их неизмеримо тонкими и глубокими[33].
Мы не знаем, что именно пытался показать своими рассуждениями Зенон, поскольку ни одно из его сочинений не сохранилось, если они вообще существовали. Его рассуждения дошли до нас в передаче Платона и Аристотеля, которые в основном пытались их опровергнуть. В их пересказе Зенон пытался доказать, что изменения невозможны. Наши чувства говорят нам иное, но они нас обманывают. Изменение, согласно Зенону, – это иллюзия.
Особенно известны три парадокса Зенона[34],[35]. Первый, «Дихотомия», аналогичен загадке стены, но гораздо печальнее. Он гласит, что вам не удастся даже сдвинуться с места, поскольку для того, чтобы сделать первый шаг, нужно сделать полшага, а перед этим – четверть шага и так далее. Так что вы не только не сможете добраться до стены, но даже не сможете начать движение.
Это блестящий парадокс. Кто бы мог подумать, что для шага требуется выполнить бесконечно много подзадач? Хуже того, нет самой первой задачи, которую надо выполнить. Она не может состоять в том, что нужно сделать полшага, потому что до этого пришлось бы сделать четверть шага, а до того – восьмую часть шага и так далее. Если вы думаете, что у вас много дел перед завтраком, представьте, что вам нужно закончить бесконечное количество дел, прежде чем добраться до кухни.
Другой парадокс, названный «Ахиллес и черепаха», утверждает, что быстрый бегун (Ахиллес) никогда не догонит медленного бегуна (черепаху), если у того будет фора.
К тому времени, когда Ахиллес достигнет места, откуда отправилась в путь черепаха, она успеет немного продвинуться вперед. К тому моменту, когда Ахиллес достигнет этого нового места, черепаха снова продвинется, и так далее. Поскольку все мы считаем, что быстрый бегун может обогнать медленного, то либо наши чувства нас обманывают, либо что-то не так с нашими рассуждениями о движении, пространстве и времени.
В этих первых двух парадоксах Зенон, похоже, возражал против принципиальной непрерывности пространства и времени, то есть против того, что их можно делить до бесконечности. Его умной стратегией было применение доказательства от противного (некоторые утверждают, что он его и изобрел), известное среди юристов и логиков как reductio ad absurdum (доведение до абсурда). В обоих парадоксах Зенон предположил непрерывность пространства и времени, а затем вывел из этого допущения противоречие, поэтому предположение о непрерывности должно быть ложным. Анализ основан именно на этом предположении, а потому ставки тут весьма высоки. Он опровергает Зенона, демонстрируя ошибки в его рассуждениях.
Например, вот как анализ справляется с Ахиллесом и черепахой. Допустим, что черепаха стартует в 10 метрах перед Ахиллесом, а Ахиллес бежит вдесятеро быстрее своей соперницы – скажем, 10 метров в секунду против 1 метра в секунду. Таким образом, за 1 секунду Ахиллес отыгрывает 10-метровую фору черепахи. За это время черепаха продвинется на 1 метр. Чтобы покрыть это расстояние, Ахиллесу понадобится еще 0,1 секунды. За это время черепаха преодолеет еще 0,1 метра. Продолжая рассуждать в том же духе, мы видим, что последовательные отрезки времени, которые нужны Ахиллесу, чтобы покрыть разделяющее расстояние, складываются в бесконечный ряд:
1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + … = 1,111… секунд.
Если записать это число в виде обыкновенной дроби, получим 10/9 секунды. Именно столько времени понадобится быстроногому герою мифа, чтобы догнать черепаху. И хотя Зенон был прав в том, что Ахиллесу требуется выполнить бесконечное количество задач, в этом нет ничего парадоксального. Как показывает математика, он может справиться с ними за конечный промежуток времени.
Такое рассуждение использует анализ. Мы просто суммируем бесконечный ряд и вычисляем предельное значение, как делали при обсуждении, почему 0,333… = 1/3. Всякий раз, когда мы работаем с бесконечной записью десятичных чисел, мы применяем анализ (хотя большинство людей отнеслись бы к этому как к школьной арифметике).
Кстати, анализ – не единственный способ справиться с такой задачей. Мы могли бы использовать алгебру. Для этого нам нужно выяснить, где в произвольный момент времени t находится на трассе каждый из соперников. Пусть Ахиллес начинает в нулевой точке. Поскольку он бежит со скоростью 10 метров в секунду, а расстояние равно произведению скорости на время, то в момент t он пробежит 10 × t. Что касается черепахи, то она начинает двигаться в точке 10 и перемещается со скоростью 1 метр в секунду, поэтому в момент t она находится в точке 10 + 1 × t. Чтобы определить время, когда герой настигнет соперницу, нужно приравнять эти два выражения, поскольку с алгебраической точки зрения это означает, что Ахиллес и черепаха находятся в одной точке в один момент времени. Получаем уравнение
10t = 10 + t.
Чтобы решить его, вычитаем t из обеих частей и получаем 9t = 10. Делим обе части на 9 и получаем t = 10 / 9 секунды, то есть ровно тот же ответ, что нам дал анализ. Таким образом, с точки зрения анализа в ситуации с Ахиллесом и черепахой нет никакого парадокса. Если пространство и время непрерывны, все прекрасно работает.
Зенон в цифровом мире
В третьей апории под названием «Стрела» Зенон выступает против альтернативной идеи, что пространство и время дискретны[36], то есть состоят из крохотных неделимых частей вроде пикселей пространства и времени. Суть парадокса в следующем: если пространство и время дискретны, то летящая стрела не может двигаться, поскольку в каждый момент (пиксель времени) она занимает некоторое определенное положение в каком-то определенном месте (конкретном наборе «пикселей» в пространстве). Следовательно, в любой конкретный момент стрела не движется. Она также не перемещается между мгновениями, так как, по предположению, между ними нет времени. Поэтому стрела вообще никогда не движется.
На мой взгляд, это самый тонкий и интересный из парадоксов. Философы все еще продолжают его обсуждать, но мне кажется, что на две трети Зенон прав. В мире, где пространство и время дискретны, стрела в полете вела бы себя именно так, как указывает ученый. Она бы странным образом материализовывалась в одном месте за другим по мере того, как время двигалось бы дискретными шажками. И он прав также в том, что, исходя из наших ощущений, реальный мир не таков, во всяком случае не такой, как мы его обычно воспринимаем.
Но Зенон ошибался, полагая, что движение в подобном мире невозможно. Все мы знаем это по собственному опыту просмотра кино и видео на наших цифровых устройствах. Наши мобильные телефоны, цифровые видеорекордеры и компьютерные экраны разрезают все на отдельные пиксели, и тем не менее, вопреки утверждениям Зенона, движение в этих дискретных ландшафтах прекрасно происходит. Когда все «нарезано» достаточно мелко, мы не можем различить слитное движение и его цифровое представление. Если бы мы посмотрели видео с высоким разрешением стрелы в полете, мы бы фактически увидели пиксельную стрелку, которая появляется в одном кадре за другим. Однако из-за ограничений нашего восприятия это выглядит как гладкая траектория. Иногда наши чувства действительно нас обманывают.
Конечно, если нарезать слишком крупными блоками, то разница между непрерывным и дискретным будет заметна, и это нередко утомляет. Подумайте, чем старомодные аналоговые часы отличаются от современных цифровых/механических монстров. На аналоговых часах секундная стрелка перемещается по кругу красиво и равномерно, изображая текучее время, а на цифровых – рывками: тик, тик, тик, изображая скачущее время.
Бесконечность может построить мост между этими весьма различными концепциями времени. Представьте цифровые часы, которые вместо одного громкого «тика» дают триллионы крохотных «тиков» в секунду. Мы уже не сможем отличить такие часы от настоящих аналоговых. Точно так же и с фильмами и видеороликами: пока кадры меняются достаточно быстро – скажем, тридцать раз в секунду, – они создают впечатление плавного потока. А если бы в секунду менялось бесконечное количество кадров, то поток был бы действительно плавным.
Подумайте, как записывается и воспроизводится музыка. Моя дочка недавно получила на 15-летие старомодный проигрыватель Victrola. Теперь она может слушать Эллу Фицджеральд на виниле. Это квинтэссенция аналогового опыта. Все ноты и скеты[37] Эллы текут так же плавно, как и тогда, когда она их пела; громкость меняется непрерывно между тихими и громкими звуками, захватывая весь диапазон между ними, и точно так же плавно меняется высота ее тона. В то же время, когда вы слушаете ее в цифровом формате, все нюансы ее музыки раздроблены на крошечные дискретные шажки и преобразованы в строки из 0 и 1. Но хотя концептуальные различия огромны, наши уши не в состоянии их уловить.
Таким образом, в обычной жизни пропасть между дискретным и непрерывным вполне преодолима, по крайней мере при хорошем приближении. Для многих практических целей дискретное может заменять непрерывное при достаточно мелком разбиении вещей. В идеальном мире анализа мы можем пойти еще дальше. Все непрерывное можно точно (а не приблизительно) нарезать на бесконечно тонкие бесконечно малые части. Это принцип бесконечности. С пределами и бесконечностью дискретное и непрерывное становятся единым целым.
Зенон встречает кванты
Принцип бесконечности просит нас притвориться, что все можно резать и дробить до бесконечности. Мы уже видели, насколько полезными бывают такие представления. Идея пиццы, которую можно разрезать на произвольно тонкие ломтики, помогла нам найти площадь круга. Естественно, возникает вопрос: существуют ли такие бесконечно малые вещи в реальном мире?
Квантовой механике есть что сказать по этому поводу[38]. Этот раздел современной физики описывает поведение природы в самых малых масштабах. Это самая точная физическая теория из когда-либо созданных, и она знаменита своею странностью. Ее терминология – со всеми лептонами, кварками и нейтрино – словно позаимствована у Льюиса Кэрролла. Поведение, которое она описывает, тоже часто бывает необычным. В атомном масштабе могут происходить вещи, которые никогда не случатся в макроскопическом мире.
Рассмотрим, например, с точки зрения квантовой механики загадку стены. Если бы нашим путешественником был электрон, он мог бы с некоторой вероятностью пройти сквозь стену. Сработал бы так называемый туннельный эффект. Такое действительно происходит. В классических терминах этому трудно придать смысл, но с точки зрения квантовой механики объяснение состоит в том, что электроны описываются волнами вероятности, которые, в свою очередь, описываются уравнением, предложенным в 1925 году австрийским физиком Эрвином Шрёдингером. Решение уравнения Шрёдингера[39] показывает, что небольшая часть волны вероятности существует и по другую сторону непроницаемого барьера. Это означает наличие маленькой, но ненулевой вероятности, что электрон будет обнаружен по ту сторону барьера, как если бы он туннелировал сквозь стену. С помощью анализа мы можем рассчитать частоту, с которой происходят такие события, и эксперименты подтвердили прогнозы. Туннельный эффект реален. Альфа-частицы туннелируют, выходя из ядер урана с предсказанной квантовой механикой частотой – это альфа-распад. Туннельный эффект также играет важную роль в процессах ядерного синтеза, которые заставляют Солнце светить, поэтому жизнь на Земле частично зависит и от него. Этот эффект имеет и практические применения: на нем основана работа сканирующих туннельных микроскопов, которые позволяют ученым строить изображения отдельных атомов и манипулировать ими.
У нас нет интуитивного представления о таких событиях на атомном уровне, потому что мы – колоссальные создания, состоящие из триллионов триллионов атомов. К счастью, интуицию может заменить анализ. Вкупе с квантовой механикой он помог физикам открыть теоретическое окно в микромир. Плодами их исследований стали лазеры и транзисторы, микросхемы в компьютерах и светодиоды в телевизорах с плоским экраном.
Хотя квантовая механика во многих отношениях оперирует радикально новыми концепциями, она сохраняет традиционное предположение о непрерывности пространства и времени. Максвелл делал аналогичное предположение в своей теории электромагнитных волн, Ньютон – в теории тяготения, Эйнштейн – в теории относительности. Весь анализ, а следовательно, и вся теоретическая физика опираются на предположение о непрерывности пространства и времени. До сих пор оно приводило к ошеломляющим успехам.
Однако есть основания полагать, что в масштабах гораздо ниже атомных пространство и время теряют непрерывный характер. Мы не знаем, что действительно происходит на этом уровне, но можем строить догадки. Может оказаться, что пространство и время так же «пикселизированы», как в парадоксе Зенона «Стрела», хотя более вероятно, что из-за квантовой неопределенности они вырождаются в беспорядочный хаос. В таких малых масштабах пространство и время могут случайным образом бурлить и волноваться. Они могут меняться, как пузырящаяся пена.
Хотя в вопросе, как представлять пространство и время в этих масштабах, пока согласия нет, есть консенсус в отношении самих этих масштабов. Они определяются тремя фундаментальными константами природы, одна из которых – гравитационная постоянная G Она измеряет силу тяготения во Вселенной. Сначала эта константа появилась в ньютоновском законе всемирного тяготения, а затем в общей теории относительности Эйнштейна. Она будет и в любой теории, которая их заменит. Вторая постоянная ħ (читается «h с чертой») отражает силу квантовых эффектов[40]. Она появляется, например, в принципе неопределенности Гейзенберга и в волновом уравнении Шрёдингера, использующемся в квантовой механике. Третья константа – это скорость света c Это максимальная скорость во Вселенной. Никакой сигнал не может распространяться со скоростью, превышающей c. Эта скорость должна обязательно входить в любую теорию пространства и времени, поскольку связывает их: расстояние равно произведению скорости и времени. В 1899 году отец квантовой теории немецкий физик Макс Планк понял, что есть единственный способ объединить эти фундаментальные константы для получения единицы длины. Он пришел к выводу, что такая единица – естественная «мера длины» во Вселенной. В его честь она именуется планковской длиной[41] и определяется следующим соотношением:
Если подставить измеренные значения ħ, G и c, то планковская длина оказывается равной около 10–35 метра – ошеломительно малое расстояние, которое примерно в сто миллионов триллионов раз меньше диаметра протона. Соответствующее планковское время – это время, за которое свет проходит такое расстояние, и оно приблизительно равно 10–43 секунды. При меньших величинах пространство и время теряют смысл.
Эти числа ограничивают наши возможности деления пространства и времени. Чтобы ощутить уровень точности, о котором мы говорим, посмотрим, сколько цифр нам понадобится для проведения одного из самых экстремальных сравнений. Возьмем самое большое возможное расстояние – оцениваемый диаметр Вселенной, и разделим его на самое маленькое возможное расстояние – планковскую длину. Это невообразимо огромное отношение расстояний выражается числом, состоящим всего лишь из шестидесяти цифр. Хочу подчеркнуть – всего шестидесяти. И это самое большое число, которое понадобится, чтобы выразить одно расстояние через другое. Использование большего количества – скажем, сотни цифр, не говоря уже о еще больших числах – было бы колоссальным излишеством, не требующимся для описания каких-либо реальных расстояний в материальном мире[42].
И все же в анализе мы постоянно используем бесконечно много цифр. Уже в школе учеников просят думать о числах наподобие 0,333…, причем десятичное разложение продолжается бесконечно. Мы называем эти числа действительными, хотя в них нет ничего действительного. Определение такого числа с помощью бесконечного количества знаков после запятой не имеет ничего общего с реальностью, по крайней мере в том ее понимании, которое бытует в современной физике.
Но если действительные числа недействительны, то почему математики так их любят? И почему школьники вынуждены их изучать? Потому что они нужны в анализе. С самого начала анализ упорно настаивал, что все – пространство и время, вещество и энергия, все объекты, которые когда-либо были или будут, – должно считаться непрерывным. Соответственно, все это можно и нужно выражать действительными числами. В этом идеализированном воображаемом мире мы делаем вид, что все можно без конца делить на все более мелкие кусочки. На этом предположении построена вся теория анализа. Без него нельзя вычислить пределы, а без пределов анализ бы остановился. Если бы мы использовали только десятичные дроби с не больше чем 60 цифрами после запятой, то числовая прямая была бы испещрена дырками. Дыры были бы на месте числа π, квадратного корня из 2 и многих других чисел, для выражения которых требуется бесконечное число цифр после запятой. Отсутствовала бы даже такая простая дробь, как 1/3, потому что для выражения ее местоположения на цифровой прямой тоже требуется бесконечное число цифр (0,333…). Если мы хотим думать о всей совокупности чисел, образующих прямую, эти числа тоже должны быть действительными. Возможно, они только приближение к реальности, но они изумительно работают. Как и везде в анализе, бесконечность все упрощает и в случае бесконечных десятичных знаков после запятой.
Глава 2. Человек, который обуздал бесконечность
Примерно через двести лет после того, как Зенон задумался о природе пространства, времени, движения и бесконечности, еще один мыслитель счел бесконечность неотразимой. Его звали Архимед[43]. Мы уже встречались с ним, когда говорили о площади круга, но он легендарен и по многим другим причинам.
Начнем с того, что о нем ходит много забавных историй[44]. В некоторых он предстает этаким чудаком-математиком. Например, историк Плутарх рассказывает[45], что Архимед настолько увлекался геометрией, что «забывал о пище и уходе за телом»[46],[47]. (Это определенно верно. Для многих из нас, математиков, еда и личная гигиена не входят в список приоритетов.) Из-за этого, как говорит Плутарх, ученого даже насильно заставляли принимать ванну[48]. Забавно, что он занимался этим с такой неохотой, учитывая, что именно с купанием связана история, которую знают все. По словам римского архитектора Витрувия[49], Архимед был настолько возбужден внезапным озарением во время купания, что выскочил из ванны и побежал голышом по улице, крича: «Эврика!» («Нашел!»).
Другие истории рисуют его магом военного искусства, воином-ученым – настоящим отрядом смерти из одного человека. Согласно этим легендам, когда его родной город Сиракузы в 212 году до нашей эры осадили римляне, Архимед – к тому времени уже почти 70-летний старик – помогал защищать город, применяя свои знания о рычагах и блоках для создания фантастического оружия – «боевых машин», таких как крюки и гигантские краны, которые поднимали римские корабли из воды и стряхивали с них моряков, как вытряхивают песок из обуви. Плутарх описывал эту ужасающую сцену так: «Нередко взору открывалось ужасное зрелище: поднятый высоко над морем корабль раскачивался в разные стороны до тех пор, пока все до последнего человека не оказывались сброшенными за борт или разнесенными в клочья, а опустевшее судно разбивалось о стену или снова падало на воду, когда железные челюсти разжимались»[50],[51].
Если говорить о более серьезных вещах, то все школьники и инженеры помнят закон Архимеда (на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости) и закон рычага (предметы на противоположных плечах рычага уравновешиваются, если их массы обратно пропорциональны расстояниям от точки опоры). Обе идеи имеют бесчисленные практические приложения. Закон Архимеда объясняет, почему одни объекты плавают, а другие – нет. Он также лежит в основе теории кораблестроения, теории остойчивости судов и проектирования морских нефтебуровых платформ. А принцип рычага вы, сами того не сознавая, применяете каждый раз, когда используете ножницы для ногтей или лом.
Возможно, Архимед был потрясающим конструктором боевых машин и, несомненно, блестящим ученым и инженером, но по-настоящему в пантеон великих его вводят достижения в математике. Он проложил путь к интегральному исчислению. Глубочайшие идеи, содержащиеся в его работах, больше не встречались почти два тысячелетия. Сказать, что он опередил свое время, – значит ничего не сказать. Кто-нибудь опережал свое время настолько?
В работах ученого постоянно появляются две стратегии. Первая – активное использование принципа бесконечности. Чтобы изучать загадки кругов, сфер и прочих криволинейных форм, Архимед всегда аппроксимировал их с помощью прямолинейных форм, состоящих из прямых и кусков плоскостей, похожих на грани драгоценных камней. Воображая все большее количество частей и делая их все меньше по размеру, он подгонял свои приближения все ближе к истине, подходя к пределу с бесконечным количеством частей. Такая стратегия требовала филигранного обращения с суммами и головоломками, поскольку для получения своих выводов ему приходилось складывать множество чисел и частей.
Вторая примечательная стратегия – сочетание математики с физикой, идеального с реальным. В частности, он объединял геометрию, науку о формах, с механикой, изучающей движение и силы. Иногда он использовал геометрию, чтобы пролить свет на механику; иногда ход мыслей бывал обратным – механические соображения рождали идеи для чистых форм. Искусно используя обе стратегии, Архимед смог глубоко проникнуть в тайну кривых.
Поимка числа π
Когда я иду на работу или гуляю вечером с собакой, шагомер в моем iPhone отслеживает пройденное расстояние. Вычисления просты: приложение оценивает длину шага, исходя из моего роста, считает количество сделанных шагов, а затем перемножает эти два числа. Пройденное расстояние равно длине шага, умноженной на количество шагов.
Архимед использовал аналогичную идею для вычисления длины окружности и оценки числа π[52]. Представьте, что окружность – это дорожка для ходьбы. Путь будет выглядеть примерно так:
Каждый шаг представлен коротким отрезком. Умножив число шагов на длину одного отрезка, мы можем оценить длину пути. Конечно, это всего лишь оценка, потому что окружность на самом деле состоит не из прямых отрезков, а из дуг. Заменяя каждую дугу отрезком, мы слегка сокращаем путь. Поэтому такое приближение занижает реальную длину круговой дорожки. Но, по крайней мере теоретически, сделав достаточно большое количество достаточно маленьких шагов, мы можем приблизить длину дорожки с желаемой точностью.
Архимед проделал ряд подобных вычислений, начав с пути из шести шагов, то есть с правильного шестиугольника[53].
Это был удобный базовый лагерь перед штурмом более сложных вычислений. Преимущество шестиугольника в том, что его периметр – сумму длин всех шести сторон – вычислить очень просто. Он в шесть раз больше радиуса круга. Почему? Потому что шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников, длина сторон которых равна радиусу круга.
Шесть сторон таких треугольников образуют периметр шестиугольника.
Получается, периметр в шесть раз больше радиуса, то есть p = 6r. Тогда, поскольку длина окружности C больше, чем периметр шестиугольника p, должно выполняться C > 6r.
Это рассуждение дало Архимеду нижнюю границу для числа, которое мы называем пи, обозначаем греческой буквой π и определяем как отношение длины окружности к ее диаметру. Так как диаметр d равен 2r, то из неравенства C > 6r следует:
Таким образом, с помощью шестиугольника можно определить, что π > 3.
Конечно, шесть – это смехотворно малое число шагов, и получившийся шестиугольник – очень грубая карикатура на окружность, но для Архимеда он был всего лишь началом. Выяснив все, что мог дать ему шестиугольник, он уменьшил длину шагов, но увеличил их количество. Он добавил средние точки всех дуг и вместо одного шага стал делать два.
Он, как одержимый, продолжал делать так снова и снова, перейдя от шести шагов к 12, потом к 24, 48 и 96, вычисляя периметр получающихся многоугольников с точностью, вызывающей мигрень.
К сожалению, по мере уменьшения длины отрезков стало все труднее вычислять их длину, поскольку ему приходилось постоянно применять теорему Пифагора, а для этого требовалось находить квадратные корни – чертовски сложная вещь, когда приходится считать вручную. Кроме того, чтобы получить не только оценку снизу, но и сверху, Архимед использовал второй многоугольник – описанный вокруг окружности; его периметр был больше, чем длина окружности.
Я хочу сказать, что вычисление Архимедом числа π было героическим подвигом – и с логической, и с арифметической точки зрения. В итоге, использовав 96-угольник, вписанный в круг, и 96-угольник, описанный около круга, он доказал, что число π больше, чем 3 + 10/71, и меньше, чем 3 + 10/70.
Забудьте на минуту о математике. Просто насладитесь этим результатом на визуальном уровне:
Неизвестное и вечно непостижимое число π оказалось зажато в тиски между двумя почти одинаковыми числами, отличающимися только знаменателями 70 и 71. Одно из полученных граничных значений – число 3 + 10/70 = 22/7 – стало знаменитым приближением для π, знакомым всем школьникам; к сожалению, многие ошибочно считают его самим числом π.
Метод, который использовал Архимед (он основывается на более ранних работах греческого математика Евдокса), сегодня известен как метод исчерпывания, когда неизвестное число π оказывается зажатым между двумя известными числами. С каждым удвоением границы сближаются, оставляя числу π все меньше места.
Окружности – это простейшие кривые в геометрии. Тем удивительнее, что определение их количественных характеристик выходит за ее рамки. Например, вы не найдете упоминания о числе π в «Началах» Евклида, написанных за одно-два поколения до Архимеда. Вы найдете там доказательство (методом исчерпывания), что отношение площади круга к квадрату его радиуса одинаково для всех кругов, но ни малейшего намека на то, что это универсальное число близко к 3,14. Такое упущение Евклида было сигналом, что тут нужно что-то более глубокое. Чтобы разобраться с числовым значением π, потребовалась новая математика, которая бы могла работать с криволинейными формами. Как измерить длину кривой, площадь криволинейной фигуры или объем криволинейного тела? Эти актуальные вопросы увлекли Архимеда и позволили сделать первые шаги по направлению к тому, что мы сейчас именуем интегральным исчислением. Число π было его первым триумфом.
Дао числа π
Современным умам может показаться странным, что число π не появляется в формуле Архимеда для площади круга, A = rC / 2 и что он никогда не записывал уравнения типа C = πd для выражения длины окружности через диаметр. Он избегал это делать, поскольку π не было для него числом. Это было просто отношение двух длин, длины окружности и ее диаметра. Это была какая-то величина, а не число.
Сегодня мы не проводим различия между величиной и числом, но в древнегреческой математике оно было важным. По-видимому, оно возникло из-за напряженности между дискретным (представляемым целыми числами) и непрерывным (представляемым формами). Исторические подробности неясны, но, похоже, что где-то между Пифагором и Евдоксом, между VI и IV веками до нашей эры, кто-то доказал, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной[54], то есть отношение этих двух длин нельзя выразить как отношение двух целых чисел. Говоря современным языком, этот кто-то обнаружил существование иррациональных чисел[55]. Есть подозрение, что это открытие потрясло и разочаровало греков, поскольку противоречило убеждениям пифагорейцев. Если целые числа и их отношения не могут измерить даже такую несложную вещь, как диагональ квадрата, то утверждение «все есть число» оказывалось ложным. Столь обескураживающее разочарование может объяснить, почему поздние греческие математики всегда ставили геометрию выше арифметики. Числам больше нельзя было доверять. Они не годились для фундамента математики.
Древнегреческие математики поняли, что, для того чтобы описывать непрерывные величины и рассуждать о них, им нужно нечто более мощное, чем целые числа. Поэтому они разработали систему, основанную на формах и их отношениях. Она опиралась на измерение геометрических объектов – длины отрезков, площади квадратов, объемы кубов. Все это греки называли величинами. Они считали их отличными от чисел и превосходящими их.