Петр Путенихин
Космологическое красное смещение – что это такое?
Относительно детальный вывод уравнений для определения скорости удаляющегося объекта по его красному смещению, по доплер-эффекту приведён в википедии:
"Если источник волн движется относительно среды, то расстояние между гребнями волн (длина волны λ) зависит от скорости и направления движения. Если источник движется по направлению к приёмнику, то есть догоняет испускаемую им волну, то длина волны уменьшается, если удаляется – длина волны увеличивается:
где угловая частота, с которой источник испускает волны, скорость распространения волн в среде, скорость источника волн относительно среды (положительная, если источник приближается к приёмнику и отрицательная, если удаляется). Частота, регистрируемая неподвижным приёмником
… В случае распространения электромагнитных волн (или других безмассовых частиц) в вакууме, формулу для частоты выводят из уравнений специальной теории относительности. Так как для распространения электромагнитных волн не требуется материальная среда, можно рассматривать только относительную скорость источника и наблюдателя …
где скорость света, скорость источника относительно приёмника (наблюдателя), угол между направлением на источник и вектором скорости в системе отсчёта приёмника. Если источник радиально удаляется от наблюдателя, то , если приближается, то . Если пренебречь малыми по v/c второго порядка, то релятивистская формула сводится к классическому эффекту Доплера" [8].
Из этого уравнения (4) можно вывести соотношение между скоростью и красным смещением. В цитате мы добавили номера к формулам (0), (1) и (4), которые в оригинале отсутствуют. Если взять левое равенство уравнения (1) из приведённой цитаты:
и использовать его для подстановки в уравнение (4), рассматривая движение света и объектов вдоль одной линии, при котором θ = π (источник и приёмник удаляется друг от друга), и традиционно приняв с = 1, получим:
После сокращения получаем:
Учитывая уравнение для красного смещения:
находим:
После сокращения получаем:
Строго говоря, это уравнение для красного смещения не должно иметь решений, поскольку при любой скорости величина смещения z оказывается отрицательной величиной:
Тем не менее, решая это уравнение, находим зависимость скорости от красного смещения:
Или в традиционной развёрнутой форме:
Странный знак минус с неясными обоснованиями следует отбросить. Из исправленного уравнения, отбрасывая величины высших порядков малости, можно получить традиционное уравнение приближенных значений скорости для z << 1
Нередко в литературе указывается, что такое приближение допустимо при красных смещениях до величины порядка z ~ 0,1 [7]. Однако такое приближение сделано "на глазок". Разумнее выяснить, как зависит погрешность вычисления скорости от красных смещений. Точное значение скорости определяется уравнением (7). Переход к приближённому уравнению связи красного смещения и скорости v = cz может быть произведён также отбрасыванием членов высшего порядка через разложение Тейлора, как это описано в [1, с.406]:
