Майкл Брукс
Искусство большего. Как математика создала цивилизацию
Поиск пути
“Вся навигация сводится к правильному треугольнику”, – сказал французский мореплаватель Гийом Дени в 1683 году[45]. Он имел в виду треугольник, который мы называем прямоугольным: по его словам, моряку достаточно изучить свойства этой фигуры. Эту истину установили много столетий назад, еще когда средиземноморские моряки начали использовать розы ветров. Роза ветров – это нанесенные на карту линии, соединяющие порты и другие примечательные места. Если карта верна, то угол наклона такой линии относительно севера позволяет проложить курс по компасу.
Моряки собирали розы ветров в портуланы – портовые книги, – которые широко использовались для навигации по Средиземному морю в XIII веке. Однако суда редко перемещались от порта к порту по прямой. Когда в ходе плавания они сбивались с курса – будь то из-за неблагоприятных ветров, из-за островов на пути или из-за встречи с пиратами, – математика треугольников, или тригонометрия, помогала морякам снова взять верный курс. Именно поэтому они всегда брали с собой либо таблицы синусов и косинусов, либо инструмент для их вычисления, например синусный квадрант.
Первое описание синусного квадранта было сделано в IX веке. Именно тогда аль-Хорезми, старший библиотекарь Дома мудрости в Багдаде (и человек, который познакомил нас с нулем в предыдущей главе), расчертил четверть круга на квадраты и прикрепил бечевку к точке в начале координат. Другой конец бечевки доходил до изогнутого края, поделенного на 90 градусов. Вдоль двух прямых сторон инструмента была нанесена шкала, поделенная на 60 единиц: с помощью одной из сторон вычисляли синус угла, с помощью другой – его косинус.
Синусный квадрант
Сегодня можно распечатать изображение синусного квадранта из интернета. Он поразительно прост в использовании: по сути, достаточно построить нужный угол с помощью бечевки и провести линию от края к шкале синусов или косинусов. Но будь вы моряком, которому нет дела до синусов и косинусов, на помощь вам пришла бы toleta de marteloio – тригонометрическая таблица, составленная специально для использования в мореходстве. По ней можно было определить, как скорректировать курс, если судно сошло с него из-за неблагоприятного ветра или по другой причине. Для этого достаточно было знать, сколько миль судно преодолело с отклонением от курса и насколько далеко от нужного курса оно идет. Toleta показывала, какое расстояние необходимо пройти по новому курсу, прежде чем судно вернется на изначальный курс.
При этом применялась другая диаграмма – роза румбов. Каждая ее четверть поделена на восемь румбов, соответствующих разным направлениям. В первой четверти, например, находятся румбы север-тень-восток, север-северо-восток, северо-восток-тень-север, северо-восток и так далее.
Роза ветров. Каждое из обозначенных на ней направлений – это румб
Давайте проверим, получится ли у нас рассуждать подобно моряку XIII века. Представьте, что вы хотите по морю дойти из Афин в Ираклион на Крите. Вам нужно преодолеть примерно 212 миль на юго-юго-восток, но ветер позволяет вам двигаться лишь в южном направлении. В ходе путешествия по Эгейскому морю вы сможете оценивать пройденное расстояние либо “счисляя координаты”, для чего вам придется определять скорость путем наблюдения за волнами за бортом, либо бросая в воду деревяшки и засекая время, за которое они преодолевают известное расстояние от носа до кормы. Допустим, вы прошли 75 миль и ветер сменился: теперь вы можете взять курс на восток-юго-восток. Но сколько вам нужно будет пройти в этом направлении, чтобы вернуться на изначально запланированный курс?
Как и сказал Дени, все сводится к прямоугольным треугольникам. С toleta de marteloio вам даже не придется заниматься тригонометрией. Если вы знаете, на сколько румбов от запланированного курса отстоял ваш изначальный курс и какое расстояние вы прошли, toleta покажет вам, сколько миль отделяет вас от нужного курса. Затем вы просто выбираете соответствующее количество румбов между изначально запланированным курсом и “обратным” курсом, который вы собираетесь взять, и узнаете, какое расстояние необходимо пройти по нему. Наконец, toleta показывает, сколько миль останется пройти по изначально запланированному курсу, когда вы на него вернетесь.
Toleta de marteloio
Простая toleta de marteloio, помогающая морякам корректировать курс
Мы прошли 75 миль на юг, отклоняясь на два румба от идеального курса. С помощью toleta мы узнаем, что находимся в 75/100 × 38 = 28,5 мили в стороне от курса[46]. Мы пойдем обратно (на изначально запланированный курс), отклоняясь от идеального курса на 4 румба. Сколько миль нам нужно пройти в этом направлении? Ответ: 28,5 ÷ 10 × 14 = 40 миль. Так мы окажемся в точке, где сможем взять изначальный идеальный курс, чтобы преодолеть остаток расстояния до Ираклиона.
Прокладка маршрута из Афин в Ираклион с помощью румбов и toleta de marteloio
Итак, если теперь все хорошо, мы прошли 75 миль на юг, затем 40 миль на восток-юго-восток, после чего нам остается пройти 114,5 мили на юго-юго-восток. Если такой возможности нет, нам придется повторить процесс снова. Нам остается лишь следить за своими перемещениями по карте, остерегаться мелководий, где судно может сесть на мель, и стараться сделать так, чтобы путешествие не затянулось и на борту не исчерпались запасы продовольствия и пресной воды.
Составление карт
Эти тригонометрические трюки и таблицы занимали такое важное место в инструментарии мореходов, что стали прекрасным источником дохода для предприимчивых преподавателей, которые открывали школы для моряков или писали учебники. Самые ушлые занимались и тем, и другим: набирали учеников и обязывали каждого из них купить написанный учителем учебник. Французский математик Гийом Дени так умело монетизировал свое знание геометрии, что открыл школу навигации в Дьепе. У него учились новобранцы французского флота, независимые моряки и даже пираты. Королевская школа гидрографии Дени была лишь одним из многих подобных европейских институтов, работавших в XVI и XVII веках. Хотя за моряками закрепилась репутация безграмотных невежественных грубиянов, многие из них, несмотря на это, прекрасно разбирались в математике.
Впрочем, им стоило понимать, что их возможности были не безграничны. Геометрия плоских треугольников, подходящая для средиземноморских портуланов, не работала в более долгих путешествиях. Поскольку Земля имеет (приблизительно) сферическую форму, ее поверхность изгибается и треугольники меняются. Чтобы понять, как именно это происходит, прочертите на шкурке апельсина три прямые линии, формирующие треугольник, а затем почистите апельсин. Треугольник получился не совсем ровным, ведь так? Его стороны выгнулись, а если вычислить сумму трех его углов, она окажется больше 180°, характерных для плоского треугольника. Следовательно, если вы будете двигаться по океану, придерживаясь одного направления по компасу, на поверхности Земли ваш маршрут окажется вовсе не прямой линией. Вы будете перемещаться по так называемой локсодромии: спирали, которая закручивается вокруг земного шара, неизменно пересекая идущие с севера на юг меридианы под одинаковым углом.
Придерживаясь одного направления по компасу, вы будете огибать земной шар по локсодромии
Это значит, что даже если мне известно направление по компасу на Бристоль в Англии из Нью-Йорка в США, это не самый короткий морской путь от одного города к другому. Мне нужно выбрать кратчайшее расстояние между точками на сфере: окружности, на которой лежат обе точки и центр которой находится в центре земного шара. В навигации по поверхности Земли ее называют “большим кругом”.
Теперь представьте, что мы планируем пройти по большому кругу от Нью-Йорка до Бристоля и запасаемся провиантом для этого плавания[47]. Чтобы определить, какое расстояние нам необходимо преодолеть, нам нужно представить сферический треугольник, в одном из углов которого находится Нью-Йорк, во втором – Бристоль, а в третьем – Северный полюс. Если нам известно, на какой широте находятся Нью-Йорк и Бристоль (то есть насколько они выше или ниже экватора), мы можем вычислить расстояние между ними с помощью стандартной тригонометрии. Но это долгий и трудоемкий процесс. Для этого необходимо представить целый ряд треугольников, часть из которых будет торчать из центра Земли и выходить за пределы ее поверхности. Нам также придется произвести на этих треугольниках серию сложных тригонометрических расчетов, в каждом из которых можно допустить ошибку, что в итоге не доведет нас до добра. Но есть и другой вариант – отправиться в школу навигации, где преподаватели обучат нас полезным приемам.
Сферическая форма Земли – главная проблема картографии. Геометры давно поняли, что земной рельеф невозможно прямо перенести на плоскую поверхность, такую как карта, не столкнувшись с различного рода искажениями. Многие тысячи лет картографы искали способ “проецировать” сферическую поверхность таким образом, чтобы минимизировать расхождения карт с реальностью. При проецировании над широтой и долготой производятся математические операции, чтобы при изображении рельефа на плоской поверхности углы и расстояния между различными точками обретали смысл. Эта математика подразумевает комбинацию геометрии сфер и тригонометрии (а ныне еще и математического анализа, к которому мы обратимся через пару глав).
Создание первой из известных нам картографических проекций приписывается Агатодемону Александрийскому, который (как считается) жил во II веке нашей эры. Древнегреческий математик Птолемей, живший в Александрии примерно тогда же, опубликовал составленную в этой проекции карту в своей книге “География”. Это проекция с линиями широт и долгот, которая в свое время была революционной, но прочерченные Агатодемоном параллели изогнуты, а меридианы не параллельны и расходятся лучами из самой северной точки.
Примерно в ту же эпоху картограф Марин Тирский предложил “равнопромежуточную проекцию” для составления карт местности. В этой проекции на плоскость широты пролегают горизонтально, а долготы – вертикально, и расстояния между всеми линиями равны. Этого – с небольшими изменениями и дополнениями – оказалось достаточно, чтобы мореплаватели более тысячи лет не испытывали проблем с навигацией.
Христофор Колумб тоже был картографом и славился составлением исключительно точных карт в своих плаваниях. К концу XV века испанский и португальский королевские дворы поняли, что того, кто сможет беспрепятственно плавать в Ост-Индию или в Америку, ждет огромное богатство. Для этого необходимо было создать такие геометрические построения, которые позволили бы картографам давать мореплавателям четкие инструкции. В дневнике Колумба от 1492 года, адресованном его покровителям, выражено его намерение осуществить нечто грандиозное:
Я решил <…> составить новую морскую карту, на которой на надлежащих местах были бы показаны под их ветром все моря и земли моря-океана, и еще завести книгу и в ней помещать все подобным же образом в рисунках с пометками экваториальной широты и западной долготы. И настолько обременил я себя всем этим, что позабыл о сне; и многое испытал я в плаванье, выполняя предначертанное, и совершение всего потребовало великих трудов[48].
Однако в силу принципов сферической геометрии никакая плоская двумерная карта сферы не может быть совершенной. Возьмем, к примеру, карту мира, которая, наверное, знакома вам лучше всего: в ее основе лежит проекция Герарда Меркатора. Она появилась в 1569 году и получила широчайшее распространение, поскольку была очень удобна для моряков. Руководствуясь своим подходом к сферической тригонометрии, Меркатор на своей карте сохранил углы между двумя любыми точками точно такими же, как на сферической поверхности Земли, благодаря чему компасный азимут по карте стал совпадать с компасным азимутом при прокладке курса корабля. Не обошлось и без недостатков: континентальные массивы – а следовательно, и расстояния – далеко от экватора оказались существенно увеличены. Мир на самом деле не совсем такой, как на проекции Меркатора: так, Аляска на деле в пять раз меньше Бразилии, но у Меркатора их размеры кажутся примерно одинаковыми. Гренландия у него сравнима по размерам с Африкой, хотя Африка на самом деле в 14 раз больше. Но разве это важно, когда вы просто плаваете по морям и океанам, не заходя слишком далеко на север и на юг?
Проекция Меркатора. Strebe, CC BY-SA 3.0, via Wikimedia Commons
Сегодня карты, конечно, выглядят совсем иначе. Они стали “динамическими”: их характеристики можно менять в зависимости от собственных нужд, как с GPS-картами в телефоне. Их польза в том, что корректность отображения мира на них может меняться на усмотрение пользователя. С точки зрения математики это весьма непросто: лучшие ученые NASA не один десяток лет не могли понять, какие математические хитрости нужно применить, чтобы этого добиться.
В конце концов с задачей справился Джон Парр Снайдер. Возможно, вы слышали прежде о Птолемее и Меркаторе, но я сильно удивлюсь, если вам знакомо имя Снайдера. И это печально, ведь, как отметили в The New York Times, он “вполне мог бы тягаться с любым другим великим картографом прошлого, включая Герарда Меркатора”[49]. Несомненно, было бы непросто найти человека, который оказал бы более непосредственное влияние на вашу жизнь благодаря своим способностям к геометрии.
Снайдер был настоящим чудаком – в лучшем смысле этого слова. В 1942 году, когда ему было всего шестнадцать, он завел первую записную книжку и стал собирать интересные факты из сфер географии, астрономии и математики[50]. Среди многого другого в его записях были сведения о треугольниках, а также мысли и догадки о геометрии плоских поверхностей и твердых тел. Эти размышления быстро пробудили в нем интерес к картографическим проекциям. Снайдера восхищало, как с помощью математических уравнений точки с поверхности земного шара преобразуются в точки на плоской поверхности и как математика влияет на геометрические взаимосвязи между ними. Однако он никогда не изучал этот предмет. В университете он специализировался на химической инженерии, которая сначала и стала его профессией. Лишь несколько десятилетий спустя, в 1970-х годах, он профессионально занялся картографией.
В 1972 году NASA запустило Landsat 1 – первый спутник, созданный для изучения географии Земли. Посвященным было понятно, что с помощью этого спутника можно будет составить принципиально новую карту мира, и два года спустя руководитель картографического отдела Геологической службы США (USGS) опубликовал статью с описанием подходящей математической проекции. Олден Колвокорессис – для друзей просто Колво – представил карту, которая учитывала бы перемещения сканера спутника, орбиту спутника, вращение Земли и изменение угла наклона оси этого вращения в ходе 26-тысячелетнего цикла “прецессии”. Чтобы избежать искажений, нужно было сделать карту в форме цилиндра, поверхность которого колебалась бы вдоль его длинной оси. Таким образом не возникало бы никаких катастрофических искажений при перенесении данных со спутника на карту. Эта идея казалась очень смелой. Вот только ни в NASA, ни в USGS не нашлось ни одного человека, способного провести необходимый геометрический анализ, чтобы сконструировать требуемую проекцию.
Снайдер услышал об этой проблеме в 1976 году, когда жена вручила ему на день рождения подарок для настоящего умника: билет на картографическую конференцию “Меняющийся мир геодезической науки”, которая проходила в Колумбусе (штат Огайо). Колво выступил там и описал трудности, с которыми столкнулся. Снайдер заинтересовался. На протяжении пяти месяцев он ломал голову над этой задачей, превратив гостевую спальню в рабочий кабинет и не используя никаких технических средств помимо программируемого карманного калькулятора TI-56, выпущенного компанией Texas Instruments. USGS почти сразу предложила Снайдеру работу.
Проекция Снайдера называется космической косой проекцией Меркатора. По мнению одного специалиста, это “одна из самых сложных проекций, разработанных человеком”. Среди прочего она предполагает применение 82 уравнений к каждой единице информации. В результате получается проекция Меркатора, построенная с движущейся наблюдательной точки и допускающая лишь минимальное искажение при изображении области, находящейся прямо под спутником. Нам очень сложно понять, как именно работает эта система, но любопытно отметить, что статья Снайдера с описанием лежащих в ее основе идей пестрит синусами, косинусами и тангенсами. Прошло несколько тысяч лет с тех пор, как мы постигли свойства треугольника, а они по-прежнему служат нам верой и правдой.
Космическая косая проекция Меркатора стала важнейшим шагом на пути к созданию спутниковых карт нашей планеты. Они жизненно необходимы для всех аспектов цивилизации XXI века, от проведения военных операций и осуществления навигации до прогнозирования погоды, защиты окружающей среды и мониторинга климата. Проекция Снайдера дала нам карты Google и Apple, спутниковую навигацию в автомобилях и все остальные технологии цифровой навигации. Наконец-то мы увидели Землю глазами бога. Мы добились этого за шестьсот лет – если вести отсчет от того момента, когда Генрих Мореплаватель приступил к упорным поискам пресвитера Иоанна.
Пи и круг
Учитывая, сколько внимания я уделил треугольникам, мне не было бы прощения, если бы я лишь по касательной прошелся по свойствам кругов. Они тоже сыграли весьма важную роль в нашей истории.
Как и треугольники, круги всегда интересовали людей из практических соображений. Вычисляя площадь треугольников и прямоугольников, древние правители понимали, какой налог взимать с землевладельца, поскольку любое поле, какой бы формы оно ни было, можно грубо поделить на треугольники и прямоугольники. Благодаря этому становится проще определить общую площадь поля, и налоговый инспектор понимает, какой налог подлежит уплате в казну. Умение вычислять объем цилиндрических сосудов и силосных зернохранилищ (или даже конических горок специй) также важно для обложения налогом собранного урожая, а также купленных или произведенных товаров. А эти объемы не вычислить, не зная, какими свойствами обладает круг.
Первым делом необходимо получить достаточно точное значение отношения длины окружности к диаметру круга. Это отношение обозначается греческой буквой π (пи), и длина окружности круга равняется его диаметру, умноженному на π. Многие древние культуры не стремились к точности. Вавилоняне и первые китайские геометры приравнивали значение π к 3,0, а древние египтяне около 1500 года до нашей эры – к 3,16. Архимед вычислил число π, вписав в круг многоугольник и разделив его на треугольники, основаниями которых служили стороны многоугольника (а другими сторонами – радиусы круга). Если вычислить площадь каждого из этих равнобедренных треугольников, можно узнать площадь многоугольника. Чем больше треугольников вы построите, тем ближе площадь многоугольника станет к площади круга и тем точнее окажется полученное значение числа π. Площадь всех этих треугольников примерно соответствует площади круга, равной πr2. Поскольку вам известен радиус круга, вы можете вычислить значение π. К 240 году до нашей эры, изучая свойства колес, Архимед поместил значение π в диапазоне от 3,140 до 3,142 (используя 96-угольник).
Метод Архимеда для вычисления π с помощью треугольников, вписанных в круг
Около 450 года нашей эры китайский геометр Цзу Чунчжи построил 24576-угольник и получил значение π в диапазоне от 3,1415926 до 3,1415927. Сегодня мы знаем, что π равняется 3,14159265358979…, и определили многие следующие триллионы его десятичных знаков.
Если бы на Землю высадились инопланетяне, их поразило бы, насколько мы неравнодушны к числу π. Ни одно другое число не изучалось нами с таким же рвением. О нем снимают художественные и документальные фильмы, ему посвящают песни, оно даже стало объектом искусства. Может, я слишком люблю треугольники, но мне сложно понять, что такого в числе π. Неужели дело в том, что у него нет конца, а цифры в нем располагаются без четкой закономерности? Это довольно любопытно, ведь у круга тоже нет конца, но так ли это отличается от бесконечного хвоста квадратного корня из 2, который дают нам треугольники?
Стоит признать, что число π действительно полезно. Оно всплывает буквально всюду – например, в математике, физике, финансах, архитектуре, искусстве, музыке и инженерии. Это объясняется тем, что без него не обходится ни одно математическое описание повторяющегося явления. Если вас интересует математика волн – где бы они ни распространялись, будь то в звуке, в воде, в электромагнитной среде, в биржевых данных или в любых других средах, – вы, по сути, имеете дело с явлением, свойства которого цикличны, а следовательно, вам нужно число π. Однако, поскольку мы рассматриваем влияние математики на нашу цивилизацию, не будем забывать о той сфере применения π, которую часто обходят вниманием: об архитектуре.
Строительство по цифрам
Если вы бывали в Софийском соборе в Стамбуле в современной Турции, вы, вероятно, были так очарованы его красотой, что даже не думали о математике, лежащей в основе этого сооружения. И зря, ведь собор спроектировали два математика: Исидор Милетский и Анфимий Тралльский[51].
Император Юстиниан обратился к Исидору и Анфимию, поскольку хотел возвести новый каменный храм на месте храма, разрушенного бунтовщиками. Десятки тысяч людей погибли в ходе восстания, поднявшегося в том числе из-за налогового гнета (из-за чего же еще бунтовать?). Юстиниану нужно было величественное сооружение, чтобы продемонстрировать, что власть в городе принадлежит ему.
Спроектированный собор идеально подходил для этой задачи. Геометрически он представляет собой впечатляющее и сложное сочетание 82-метровой прямоугольной базилики с центральным кубическим объемом, который венчает купол высотой 56 метров. Таких грандиозных проектов прежде не воплощали. Софийский собор был возведен к 537 году нашей эры и оказался на тот момент крупнейшим зданием на планете. Он сразу стал гордостью Константинополя, и вскоре его признали одним из архитектурных чудес света. Как архитекторы добились таких впечатляющих результатов всего за шесть лет? Они использовали примерные значения π и квадратного корня из 2 и применяли геометрические хитрости Герона Александрийского.
Собор Святой Софии. Изображение из открытого источника, получено в отделе плакатов и фотографий Библиотеки Конгресса США, Вашингтон, 20540
Герон родился около 10 года нашей эры и зарекомендовал себя как прекрасный математик и изобретатель. Среди прочего он нашел способы качать воду и вычислять площадь треугольника, а также спроектировал паровой двигатель. Его справочник “Стереометрика” был, несомненно, хорошо знаком Исидору и Анфимию, которые преподавали в университетах Александрии и Константинополя. “Стереометрика” – это практическое руководство, в котором автор учит читателя работать с объемами и площадями различных архитектурных сооружений, чтобы составлять бюджет и планировать приобретение и доставку необходимых строительных материалов. Кроме того, в книге объясняется, как вести проект с начала и до самого конца.
В самых эффектных архитектурных сооружениях задействуются кривые, круги и сферическая геометрия. А это значит, что применяется и число π. Однако π – одно из иррациональных чисел, которых, как мы уже поняли, для древних греков не существовало. Они не могли его записать и уж точно не могли передать его каменщику. Неудивительно, что Герон предложил примерное значение π, лишь отметив, что “такие числа плохо поддаются измерению”. Он принял его за 22/7, а затем привел примеры, в которых радиус или диаметр делились без остатка на 7, чтобы проще было сокращать знаменатель (нижнюю часть) дроби при расчете различных параметров свода или купола. Герон мастерски использовал геометрию, чтобы облегчить архитекторам жизнь. “Парусный” купол, как у Софийского собора, состоит из двух элементов. Сверху находится полусфера, поддерживаемая чуть более широким сводом, составленным из изогнутых треугольных секций. Герон поясняет, как произвести расчеты для таких сферических треугольников: нужно отнять четыре сферических секции от полусферы, вписав в нее половину куба. Благодаря этому несложно вычислить объем (а следовательно, и массу) и площадь поверхности купола (а следовательно, и требуемое количество штукатурки). Более того, в конце этого раздела своего руководства Герон предложил “стандартные решения” для строительства, в результате чего работа с цифрами, которую прорабам приходилось совершать в уме, свелась к минимуму.
Купол Софийского собора образован половиной куба, вырезанной из полусферы
Изначально считалось, что купол Софийского собора покоится на квадратном основании, длина стороны которого составляет 100 византийских футов – прекрасное круглое число. Мы точно не знаем, чему равнялся византийский фут, но современные измерения показывают, что длина стороны равна 31 метру, а это дает допустимый диапазон для византийского фута, если размер квадрата действительно был 100 на 100 футов. Однако если длина стороны квадрата составляет приятные 100 футов, то длина его диагонали – расстояния от одного угла квадрата до противоположного ему угла – покажет, что половина этого квадрата представляет собой увеличенную вариацию треугольника, который так досаждал пифагорейцам. Иными словами, придется смириться с тем, что диагональ такого квадрата кратна квадратному корню из 2. В результате диаметр купола, стоящего на этом основании, как в Софийском соборе, может оказаться равен 141,421356237… фута. У византийцев не было ни одного маркшейдерского инструмента, который позволил бы оперировать таким числом.
Давайте поставим себя на место Герона и приступим к расчетам параметров круга. Если мы хотим облегчить себе жизнь, будет гораздо логичнее приравнять диагональ, а следовательно, и диаметр купола к 140 футам. Число 140 делится на 7 и потому совместимо с примерным значением π, которое составляет 22/7.
Коль скоро диагональ должна была равняться 140 футам, Исидор и Анфимий должны были сообщить прорабу требуемую длину сторон квадрата, после чего тот смог бы приступить к строительству. Вероятно, для этого они применили пифагорейскую хитрость, называемую последовательностью длин сторон и диагоналей и дающую нам приблизительное значение √2.
Сначала возьмем квадрат со стороной 1 и условимся, что его диагональ равна 1. Разумеется, это очень грубая оценка. Чтобы уточнить ее, берем квадрат побольше и приблизительно оцениваем длину его диагонали. Сторона каждого следующего квадрата в последовательности равна сумме стороны и диагонали предыдущего квадрата (в этом случае – 2). Чтобы получить следующую диагональ, нужно прибавить предыдущую диагональ к предыдущей стороне, умноженной на 2 (получим 3).
Представьте отношение этой следующей диагонали к следующей стороне в виде дроби, и получится 3/2, или 1,5, что уже немного ближе к √2. По мере увеличения квадратов вы получите 7/5, 17/12, 41/29, 99/70 и так далее, и эти числа будут постепенно становиться все ближе к точному значению √2. Например, 99/70 – это 1,41428…, и это весьма неплохо (как мы помним, √2 равен 1,41421…).
Далее Исидору и Анфимию предстояло выбрать из этих дробей ту, с которой легче всего было бы работать и им самим, и их прорабу. Так у них появилась S, длина стороны квадрата с известной им диагональю. Этот треугольник подобен тому, стороны которого равны 1, 1 и 2, следовательно, 1 относится к 2 так же, как S относится к 140. Заменим 2 на 99/70 и получим равенство:
Решив его по правилу трех, мы получим значение S чуть меньше 99. В наших обстоятельствах длину стороны вполне можно округлить до 99 футов, и строителям Софийского собора не составит труда разметить соответствующий квадрат. Поскольку диагональ квадрата, на котором покоится купол, кратна π, возвести купол будет относительно просто.
Возможно, Исидору и Анфимию даже не пришлось производить все описанные расчеты. Вероятно, Герон просто составил таблицы, в которых можно было по диаметру купола узнать размеры остальных его элементов. Ни одна из них не сохранилась, но до нас дошли его книги, в которых он приводит подобные таблицы для других целей. Кроме того, он создавал чертежи в помощь архитекторам, и эти чертежи подозрительно напоминают купол и некоторые своды Софийского собора.
Скорее всего, Исидор и Анфимий пользовались его приемами. До нас дошло несколько текстов, в которых упоминаются (к несчастью, утраченные) комментарии Исидора к расчетам Герона о проектировании и строительстве сводов. Не стоит также забывать, что Герон гордо стоял на плечах других математиков, в частности Архимеда, ведь в мире существует и множество других примеров того, как на практике применялись древние геометрические пропорции. При постройке Даремского собора на северо-востоке Англии явно учитывалось примерное отношение стороны квадрата к его диагонали. Инженеры, проектировавшие Миланский собор в конце XIV века, обратились за помощью к математику Габриэлю Сторнолоко, чтобы обсудить, какой должна быть постройка – ad quadratic или ad triangulum, – то есть что предпочтительнее положить в ее основу, отношение диагонали к квадрату или отношение высоты к стороне равностороннего треугольника[52]. Сторнолоко выбрал треугольники – в сочетании с квадратами, прямоугольниками и шестиугольниками. Ученые не сходятся во мнении относительно того, как именно он вычислил отношение высоты равностороннего треугольника к его стороне, которое равно √3/2:1. Как и при постройке Софийского собора, ни один каменщик не смог бы произвести необходимые расчеты, но складывается впечатление, что Сторнолоко дал ремесленникам всего три конкретных размера: ширину нефа и четырех приделов; высоту треугольника, указывающего на высшую точку свода нефа; а также расстояние между осями опор нефа – и отношение 26/30. В других средневековых европейских постройках, например в соборах в Реймсе, Праге и Нюрнберге, использовалось отношение стороны к диагонали правильного пятиугольника[53], а значит, применялись известные приблизительные значения числа (√5 + 1)/2. Вот так просто все и делалось, зачем изобретать велосипед? В конце концов, когда основные расчеты произведены, остальное труда не представляет.
Луч света
Софийский собор – признанное чудо древнего мира, одна из множества архитектурных жемчужин, построенных в незапамятные времена. Почему же картины, которые принято считать мировыми шедеврами, начали появляться лишь тысячу лет спустя, в XV и XVI веках? И почему эта революция в живописи совпала с покорением океанов и составлением европейцами первых карт мира? Случайно ли так произошло? Нет. И живописи, и картографии пошло на пользу возрождение математических знаний, утраченных за столетия религиозных войн.