Теория расчета нефтяных аппаратов высокого давления

Константин Владимирович Ефанов
Теория расчета нефтяных аппаратов высокого давления

Трехмерная задача теории упругости для полого цилиндра

Трехмерная задача для оболочек цилиндра (задача Ламе) и сферы подробно решена в работе член.-корр. Лурье А.И. [6,с.387].

Лурье А.И. записал краевые условия (давления приняты одинаковыми) [6]:


По краевым условиям находятся постоянные интегрирования уравнений [6]:



Эти уравнения выведены из уравнений перемещения точек упругого тела в осесимметричной задаче, записанного в цилиндрических координатах (как было написано выше, оболочка рассматривается в виде твердого тела и к ней непосредственно прикладываются нагрузки и изучаются деформации и напряжения) [6]:



U – радиальное перемещение, w – осевое перемещение. Расшифровка остальных членов – см. работу [6,с.384].

Для напряжений по закону Гука, Лурье записал [6]:



После выполнения выкладок по краевым условиям, записанным выше, Лурье получает уравнения для цилиндра в задаче Ламе для деформаций (перемещений) и напряжений.

Для деформаций цилиндра без продольного перемещения торцов [6]:



Для напряжений цилиндра без продольного перемещения торцов [6]:



Для деформаций цилиндра со свободным перемещения торцов [6]:



Для напряжений цилиндра со свободным перемещения торцов [6]:



Для деформаций цилиндра под наружным давлением со свободным перемещения торцов [6]:



Для напряжений цилиндра под наружным давлением со свободным перемещения торцов [6]:



На основании приведенных выше формул можно выполнять расчет аппаратов высокого давления до 130МПа по трехмерной задаче теории упругости.

В настоящее время расчет оболочек аппаратов в виде трехмерного твердого тела с определением напряжений и деформаций выполняется методом конечных элементов (МКЭ) в специальных программных пакетах, например, ANSYS

Осесимметричная задача теории упругости для полого цилиндра

Повторно процитируем графику из работы Безухова [2,с.143]:



Уравнения равновесия [2]:



После преобразований [2]:



Уравнения для деформаций [2]:



Уравнения для напряжений [2]:



Объемное расширение тела [2]:



Перемещения должны описываться уравнениями [2]:



Для поиска напряжений, уравнения напряжений теории упругости преобразуют из прямоугольных (декартовых) в цилиндрические координаты.

Записывают уравнение [2]:



После выкладок получается [2]:



При подстановки записанных уравнений для напряжений в записанные выше уравнения статического равновесия выделенного элемента, последние обращаются в тождества [2].

Безухов [2,с.180] при рассмотрении задачи Ламе записывает граничные условия и ссылается на формулы для плоской задачи теории упругости [2,с.138], полученные для напряжений, распределенных симметрично относительно оси. Процитируем графику для плоской задачи [2,с.136]:



Для этой графики Безухов некорректно указывает, что касательные напряжения по определенным граням равны нулю. На некорректность этого утверждения для случая осесимметричной задачи аргументы были приведены выше автором настоящей работы.

Безухов записывает формулы для напряжений [2]:



Из этих уравнений, приняв В = 0, получается [2,с.180]:



Из граничных условий



получается:





Результат в виде формул получился таким же как и в литературе по сопротивлению материалов, например, в учебниках Беляева Н.М. [6,с.609] и Ильюшина [7,с.176]. Но в сопротивлении материалов формулы выводятся по-другому. Особенностью изложения Беляевым является подчеркивание универсальности теории упругости и применение полученных формул для толстостенных сосудов к расчету тонкостенных сосудов.

Процитируем графику из работы Ильюшина [7,с.177]:



Ильюшин записывает известные уравнения [7,с.178]:



Уравнение равновесия [7,с.178]:



И затем после промежуточных выкладок находит три напряжения [7,с.179]:



Как видно, формулы совпадают с полученными Безуховым, однако выведены другим путем.

Для случая пластического состояния материала стенки уравнение равновесия при внутреннем давлении Ильюшин записал [7,с.182]:



Формулы для деформаций и напряжений полой трубы при пластической деформации имеют более сложный вид, выводятся по-другому и приведены подробно в работе Ильюшина [8,с.144].

Папкович в работе [9] указывает, что для длинного цилиндра посередине будет плоское напряженное состояние. На этом основании, по-видимому, в литературе по теории упругости, например [2], при рассмотрении задачи Ламе производится рассмотрение плоской задачи и вывод формул по соответствующему пути. Несмотря на то, что в этой же литературе приведены формулы для осесимметричной задачи.

Такой подход является по существу некорректным. Необходимо применять трехмерную задачу, лишенную, по-видимому, указанных недостатков.

Рейтинг@Mail.ru