Litres Baner
Аппараты с перемешивающими устройствами

Константин Владимирович Ефанов
Аппараты с перемешивающими устройствами

Совместное действие поперечных и крутильных колебаний на вал

Тимошенко С.П. в работе [30,с.427] подробно рассмотрел проблему совместного действия изгибных и крутильных колебаний на балку. Для рассматриваемого им случая изгибные колебания проходили не в плоскости симметрии стержня, в результате чего возникают крутильные колебания. В нашем случае крутильные колебания возникают при вращении вала с мешалками. Однако, выводы полученные Тимошенко могут быть применены для анализа совместного действия поперечных и крутильных колебаний вала с мешалками.

Для вертикальной нагрузки кривая прогиба:


(w – интенсивность распределения поперечной нагрузки, за положительное направление принимается верх)

Нагрузку, распределенную вдоль центральной оси заменяют нагрузкой, проходящей через центр сдвига, и распределенный крутящий момент интенсивностью wc.

Крутящий момент:



R – крутильная жесткость, R1 – жесткость стесненного кручения.

Дифференцируя получается:



Уравнение показывает связь между изгибом и кручением при приложении статической нагрузки вдоль оси.

Интенсивность поперечных сил инерции

Интенсивность моментов инерции

Iп – центральный полярный момент инерции сечения вала.

Формулы для совместных изгибных и крутильных колебаний:




Вал колеблется в одной из собственных форм колебаний.



р – круговая частота колебаний,

Х, Х1 – нормальные функции, решения которых отыскиваются для удовлетворения граничным условиям.

После подстановки:



Тимошенко приводит пример стержня со свободно опертыми концами:



Функции Х и Х1 в этом случае:



Ci и Di – произвольные постоянные.

Вводятся обозначения:



После подстановки получается:



Решения для Ci и Di находятся в случае, если определитель уравнений равен нулю.

В этом случае частотное уравнение:



Из этой формулы:



Для случая совпадения центра тяжести с центром сдвига, то есть с = 0 и λ =0:



Из формулы получаются две системы значений частот:



Полученные частоты являются несвязанных друг с другом и независимых друг от друга частот изгибных (поперечных) и крутильных колебаний. Аналогичные результаты получаются для стержней с другими условиями закрепления концов.

Связанные изгибно-крутильные колебания можно найти методом Релея-Ритца [30,с.430].

__

Итак, по представленным данным Тимошенко возможен раздельный расчет на поперечные и крутильные колебания, либо расчет на изгибно-крутильные колебания методом Релея-Ритца.

Результат этого вывода может быть использован конструкторами для упрощения проблем проектирования валов с мешалками. То есть выполнять расчет поперечных колебаний и расчет крутильных колебаний по отдельности. Для определенных технических целей необходимо выполнение только одного из видов расчетов. Изложенная теория даст более глубокое понимание физики колебаний вала. Однако, правильно выполнять расчет на изгибно-крутильные колебания вала с мешалками.

Расчет изгибно-крутильных колебаний вала с мешалками по данным [32].

Рассмотрим шарнирно опертый стержень [32,с.200]. Система уравнений распадется на две независимые системы. Уравнение, описывающее только изгибные колебания в плоскости симметрии:



Уравнения, описывающие изгибно-крутильные колебания:



Граничные условия при x = 0 и x = l:



Граничные условия удовлетворяются при:



Собственные частоты определяются из формулы:



Частоты изгибных и крутильных колебаний :





Собственные частоты колебаний:



При a3 = 0 центр тяжести и центр изгиба совпадают,



__

Как видно, формулы Тимошенко и по справочнику [32] для определения поперечных и изгибных колебаний почти полностью совпадают.

Однако, Тимошенко указывает о независимости от и необходимости применения метода Релея-Ритца.

__

Таким образом, для вала с мешалками как для балки по приведенной выше теории должны быть рассчитаны поперечные колебания, например, для неразрезной балки на трех опорах.

Затем должны быть рассчитаны крутильные колебания. Но в процессе перемешивания крутильных колебаний может и не возникать, в этом случае критические частоты будут строго соответсвовать поперечным частотам собственных колебаний. В случае наличия крутильных колебаний, их необходимо определить и проверку прочности выполнить для поперечных и крутильных колебаний.

Метод определения критической скорости по работе Тимошенко [31], где колебания связываются с эксцентриситетом необходимо считать некорректным. Колебания возникнут и при отсутсвиии эксцентриситета, однако, условия для статической балки и вращающегося вала с учетом эксцентриситета будут отличаться.

__

Тимошенко указывает о необходимости численного выполнения расчетов колебаний в работе [30]. То есть в том числе маститый специалист признает превосходство численных методов над ручными расчетами.

__

Итак, можно сделать следующий вывод: теорию колебаний можно применять для ручного расчета на практике, но она больше необходима для глубокого понимания физики процесса колебаний, а расчеты должны выполняться методом конечных элементов в специальном программном пакете, например, ANSYS.

Расчет валов методом конечных элементов

В динамической задаче воздействие внешних сил является функцией времени. Напряженно-деформированное состояние зависит от времени. Время является дополнительным параметром, усложняющим расчет по сравнению со статическими расчетами.

Уравнения движения динамической системы выводятся с применением принципа Даламбера, на основе принципа возможных перемещений, на основе вариационного принципа Гамильтона.

Метода Даламбера удобно применять для систем с небольшим числом степеней свободы [20,с.486], к которым относятся валы с мешалками. Но вариационный подход Гамильтона является обобщением методов. Поэтому расчет вала с мешалками методом конечных элементов приведем на основе вариационного подхода Гамильтона.

Принцип Гамильтона записывается в форме [20]:



(Т и П – кинетическая и потенциальная энергии, Wne – силы демпфирования).

Функционал Лагранжа [20]:





Функционал Лагранжа по принципу Гамильтона при возможных перемещениях удовлетворяет условиям совместности и граничным условиям на контуре в течении времени от t1 до t2 и имеет стационарное значение.

Начальное положение для вариационной формулировки МКЭ следует при Т = 0 и Wne = 0:



Введем зависимости для Т, П и Wne от обобщенных перемещений, скоростей и сил [20]:



После подстановки в интеграл и преобразований получим уравнение движения Лагранжа:

 


Для конечного элемента объема V [20]

– кинетическая энергия в матричной форме:



– потенциальная энергия (складывающаяся из внутренней энергии деформации, потенциальной энергии внешних объемных и внешних поверхностных сил):



В конечном элементе поле перемещений и деформаций записываются интерполяционными функциями:



Скорость связана с обобщенной скоростью:



Силы демпфирования пропорциональны скоростям (являются неконсервативными):



Обобщенные силы в узлах конечного элемента при допущении о равномерном распределении сил демпфирования в единице объема, записываются формулой:



Формулы для кинетической и потенциальной энергии можно записать после преобразований в виде:





После подстановки записанных формул в первую формулу вариационной формулировки, получается матричная формулировка конечного элемента [20]:



m – матрица масс, c – матрица демпфирования элемента, k – матрица жесткости, Qe – вектор обобщенных сил в узлах конечного элемента.

В результате составляется уравнение движения системы конечных элементов на основе уравнений движения одного (каждого) конечного элемента [20]:



М – матрица масс, С – матрица демпфирования, K – матрица жесткости, Q – вектор обобщённых сил.

__

Собственные колебания вала находят решением последней записанной системы дифференциальных уравнений. Для колебаний без затухания, система запишется в виде [20,с.500]:



Матричное уравнение запишется в виде т.к.:



Уравнение имеет решение при равном нулю детерминанте системы:

Матрица массы конечного элемента записывается формулой:



Для плоского линейного элемента перемещения описываются полиномами Гермита [20,с.491], матрица жесткости запишется:



После преобразований [20]:





Для конечного элемента, показанного на рисунке выше, с нагрузкой вдоль оси и с узлами на концах, с применением линейных интерполяционных функций, матрица масс записывается в виде [20,с.492]:



Запишем формулу для матрицы жесткости.

На рисунке показан стержневой элемент под действием изгиба [20,с.69]:



Вектор параметров перемещений в узлах элемента имеет два перемещения и два вращения:



Перемещение выражается в виде полинома с четырьмя суммированными координатами. Можно записать:



Угол

Перемещения и вращения на концах стержня:



Матрица С [20,с.70]:








Матрица интерполяционных функций, посредством которой вводится связь между перемещениями на краях и для любой точки по оси стержневого элемента:



Делитация связана с перемещением:



Для вектора деформации:



(составляющие деформации в зависимости от составляющих перемещений находятся применением матрицы оператора над матрицей интерполяционных функций).







L – матрица-оператор, для плоских задач

Ar – матрица интерполяции

Для матрицы интерполяции могут быть приняты функции вида:



По уравнению :









Пропуская математические выкладки, получается:



Для конечного элемента так как перемещения на концах равны нулю, матрица жесткости записывается в виде [20,с.505]:





Теперь, подставив в уравнение матрицы получится:



Вводится обозначение:



Характеристическое уравнение:



В виде многочлена (см. о решении уравнений в программе MathCAD):







Для случая б), т.е. для второй части на рисунке выше, перемещение в узле 1 и вращение в узле 2 равны 0. С учетом этого матрицы k и m уменьшаются:



Характеристическое уравнение:



В виде многочлена:







Эпюра собственных колебаний вала:



__

Итак, в разделе показаны теоретические основы расчета методом конечных элементов валов на свободные колебания.

Теорию можно сравнить с теорией ручного расчета по теории колебаний. Можно сделать вывод о том, что по теории колебаний применяется принцип Даламбера, для приближенного исследования колебаний используется метод Релея, а в расчетах по МКЭ используется вариационная формулировка по принцип Гамильтона с составлением и решением матриц.

Расчет по методу МКЭ является более обоснованным теоретически и позволяет выполнять расчет валов с мешалками и опорными узлами любой конфигурации.

Можно сделать вывод о том, что квалификации расчетчиков для расчетов ручным методом по теории колебаний и расчетов МКЭ являются приблизительно одинаковыми на основании сравнения сложности расчетных методик.

Нормативная методика по РТМ не выглядит обоснованной по сравнению с расчетами МКЭ и ручными расчетами по теории колебаний.

Мешалки

В настоящее время эффективность перемешивания определяется помещением индикатора в перемешиваемый объем аппарата (или лабораторной установки) и фиксацией времени и наличия установления равномерного распределения (окрашивания) индикатора по объему.

Такой подход нельзя считать полностью корректным. Определяются неоднородность перемешивания, распределение твердой фазы в жидком объеме др. параметры, определяющие качество перемешивания.

В вытяжной трубе при аэродинамических испытаниях автомобилей или авиационной техники, конструкцию обдувают окрашенной струей и фиксируют реакцию струи в части обтекания в зависимости от геометрической формы (конфигурации) конструкции.

Для мешалок необходимо объединить два указанных подхода.

То есть наметить структуру потоков в аппарате в зависимости от его геометрических параметров, затем выбрать мешалку, которая отбрасыванием потока жидкости от лопастей создает намеченную структуру потока. И по введению индикатора можно установить степень полноты распределения индикатора, как эффективность перемешивания.

__

Приведем структуры потоков для распространенных типов мешалок по данным Ф. Стренка [27,с.46]:



Также Ф. Стренк приводит направление тока для различных положений пропелерной мешалки [27,с.60]:



Стренк приводит изменение линий тока в зависимости от высоты установки мешалки в аппарате [27,с.104]:



Для шнековой мешалки Ф. Стренк также приводит линии тока [27,с.65]:



Используя данные и направлении токов для различных мешалок в зависимости от геометрических параметров применяемого аппарата должен выполняться подбор мешалки.

Перечень конструкций корпусов аппаратов, в которых устанавливаются мешалки, приводит Стренк [27,с.68]:




Траектория после пропеллерного устройства по данным работы Прандтля [33,с.304]:



Лопасти мешалки вступают в контакт с жидкостью поочередно. На границе лопасти происходит образование поверхности раздела. Вода между лопастями имеет скорость равную скорости лопаток, затем после выхода перемешиваясь в объеме аппарата, скорость снижается. В практике изучение перемешивающих устройств анализировалось распределение и перемешивание потоков, но не выход с лопаток мешалки. Анализ направления выхода потоков струй с лопасти позволит создавать траектории потока с заданной геометрией, а не фиксировать завихрения после той или иной мешалки.

 

Теория гребного винта отличается от теории крыла тем, что лопасти винта описывают винтовые линии при движении вперед, а крыло движется только вперед.

В случае гребного винта вращение снижает КПД, но в случае мешалки, вращение необходимо для перемешивания. И возникает проблема эффективного рассеяния энергии в объеме аппарата. Та энергия, которая теряется для винта, для мешалки не теряется и должна использоваться для интенсификации процесса. Однако, решение о возможности перемешивания соосными мешалками противоположного вращения без закручивания будет представлено ниже.

Васильцов [1,с.82] приводит эпюру поля скоростей для лопастной мешалки и аппарата без отражательных перегородок:




Также Васильцов приводит [1,с.100] эпюру поля скоростей для турбинной мешалки и аппарата с отражательными перегородками:




Для оценки гидродинамического режима перемешивания анализируется профиль скорости.

В работе [28,с.22] рекомендуется подбирать мешалки в зависимости от режима движения жидкости при перемешивании. В этой же работе [28,с.23] отмечается, что различие в условиях перемешивания между мешалками может быть скомпенсировано частотой вращения и диаметром мешалки. Авторы приводят пример, по которому для трёхлопастной и турбинной мешалки равного диаметра для одинакового режима движения взвешенных частиц, скорость вращения турбинной мешалки должна быть ниже. Результат авторов можно объяснить траекторией линий воздействия лопастей мешалок на жидкость.

__

Мешалки выбираются по АТК 24.201.17-90 или изготавливаются с нестандартными размерами.

Мешалки конструктивно состоят из втулки и установленных на ней лопастей. Поэтому объект мешалки можно рассматривать как базовое устройство с рядом исполнений, получаемых внесением изменений в базовую конструкцию. Например, из лопастной мешалки скручиванием лопастей получается пропеллерная мешалка, открытое пропеллерное насосное колесо, введением дисков и разнесением лопастей получаются турбинные мешалки.

Такая попытка объединить конструкции мешалок позволяет лучше подбирать геометрию мешалки под намеченную структуру потока в аппарате, определяемую направлением отбрасывания жидкости от лопастей мешалки.

– лопастная мешалка с параллельными лопастями оси [20,с.254]:



– трехлопастная (или шести) мешалка с лопастями под углом 30° (получается изменением угла установки лопасти):



– пропеллерная мешалка с лопастью постоянного шага [20,с.256] (получается изменением шага лопасти):



изменение геометрии пропеллеров по Прандлю [33] (воздушный винт, тихоходный гребной винт, быстроходный гребной винт):



Как можно видеть, пропеллерная мешалка из винтов, представленных Прандтлем, занимает промежуточную конфигурацию между тихоходным и быстроходным гребными винтами.

– якорная, рамная и листовая мешалки с увеличенными лопастями (получается увеличением размеров лопасти):




– турбинная мешалка [20,с.257] (получается разнесением лопастей от втулки и введением диска):



– зубчатая мешалка (получается введением вместо лопастей диска с загнутыми зубьями, выполняющими роль лопастей):



Рабочие колеса насосов [29,с.19]:




Колеса насосов по данным [29,с.328]:



Геометрия колес насосов отличается в зависимости от коэффициента быстроходности, определяемого по формуле [29,с.328]:



Для колес насосов с изменением направления подачи жидкости с радиального на осевое и изменением коэффициента быстроходности видно изменение геометрических размеров колес.

Прандтль отмечает [33], что в осевых насосах рабочие колеса схожи с гребными винтами, а, следовательно, и с пропеллерными и лопастными мешалками. Центробежные колеса имеют существенные отличия по геометрии.

Рейтинг@Mail.ru