Ингве Фогт
Математические трюки для быстрого счёта
Современную систему счисления можно во многих отношениях сравнить с изобретением алфавита. Финикийцы заимствовали свой алфавит у семитских народов Синайского полуострова, которые в свою очередь взяли за основу египетские иероглифы. Иероглифы представляют собой сочетание символов и 24 согласных. В основе еврейского и арабского алфавитов лежит финикийская письменность.
Поразительно, что в еврейском алфавите, как и в греческом, каждая буква имеет свое числовое значение. Если сложить числовые значения букв в слове «Яхве», то есть «Бог» 
получится 26 – число, ставшее для иудеев священным.
Как говорится во вступлении к этой главе, наша система счисления – позиционная. Значение цифры в ней определяется ее позицией в числе. До такого гениального изобретения люди умудрились додуматься всего четыре раза за всю свою историю. Первый раз это произошло в Вавилоне в начале второго тысячелетия до нашей эры, во второй – в Китае незадолго до начала нашей эры, в третий раз эта система появилась в майянской культуре в период между IV и IX в., а в четвертый ее открыли индийские математики.
Но самое великое открытие сделали в Индии. Именно там было изобретено число ноль в том виде, в каком мы знакомы с ним сегодня. Ноль обозначает отсутствие числа. Ни вавилонцы, ни майя воспользоваться нолем не смогли. Вавилонцы никогда не считали ноль числом, а майя не смогли правильно использовать ноль из-за сложности трехуровневой системы. Китайцы стали применять ноль с подачи индусов, которых нам остается лишь поблагодарить за это изобретение. Спасибо тебе, Индия! И еще одна огромная благодарность – арабам, ведь именно они донесли до нас изобретенный индусами ноль. Переход к современной системе счисления занял несколько сотен лет. За это время внешний вид цифр изменился.
В Европе арабские цифры вызвали смешанные чувства. Некоторые европейские математики воспротивились и даже называли пришедшие из арабского мира цифры дьявольским изобретением. Неудивительно, что европейским ученым приходилось в то время нелегко.
Древние египтяне тоже пользовались десятичной системой, но она была не позиционной, различные числа обозначались иероглифами, а способы умножения и деления вызывают восхищение и по сей день.
Для умножения египтяне записывали числа в две колонки. В первой колонке числа начинаются с единицы и удваиваются до тех пор, пока число не приблизится к одному из умножаемых чисел. Во второй колонке записывается второй множитель, который затем с каждой строчкой удваивается.
Допустим, нам надо умножить 38 на 17.
Следующий шаг – найти в левой колонке числа, которые в сумме дают 38.
32 + 4 + 2 = 38
Теперь надо сложить числа в правой колонке напротив чисел 32, 4 и 2.
544 + 68 + 34 = 646
Ну вот – мы с вами умножили числа так, как это было принято в эпоху фараонов: 38 умножить на 17 равно 646.
Деление осуществляется почти по тому же принципу, разве что немного сложнее.
Допустим, нам надо разделить 646 на 17.
Действовать будем так же, как и при умножении. В левой колонке начнем с 1 и будем удваивать числа. Во второй колонке начнем с 17 и будем удваивать числа, пока почти не доберемся до 646.
Теперь в правой колонке отыщем числа, сумма которых составляет 646. Это 544 + 68 + 34.
Далее посмотрим, какие числа в левой колонке стоят напротив этих трех чисел, и сложим их.
Вот что получится: 32 + 4 + 2 = 38.
Ну вот мы и совершили настоящий египетский математический подвиг!
646 разделить на 17 равно 38.
Если вас это не впечатлило, то не забывайте, что египтяне осуществляли все эти хитроумные вычисления в те времена, когда наши собственные предки жили в бронзовом веке, а до появления двух великих норвежских математиков – Нильса Абеля и Софуса Ли – оставалось еще много тысячелетий.
Индийские вычислительные методики, сложившиеся во времена, когда у нас в Норвегии только-только начался железный век, были еще эффективнее, а до Европы они добрались благодаря арабским математикам. Метод, который индусы применяли для сложения чисел, очень похож на тот, которому сейчас учат в наших школах. Единственное различие заключается в том, что индусы начинали с самых больших цифр, а числа, которые надо было держать в уме, добавлялись потом. Кроме того, счет велся снизу вверх. Их метод сложения очень похож на тот, которым пользуется мировой чемпион по быстрому счету из предыдущей главы.
В XIII в. арабы придумали сложный способ умножения – настолько красивый графически, что я посвятил ему отдельную главу этой книги. В главе 26 – «Прекраснее листопада» – я раскрою вам тайны этого метода. Когда в позднем Средневековье он добрался до Европы, его называли умножением ревнивцев, потому что вертикальные линии в клеточках напоминали щели в ставнях, через которые ревнивцы подглядывали за своими супругами.
Хотя сейчас мы не представляем себе жизни без калькулятора, на самом деле калькулятор у людей имелся всегда. Это наши руки. Многие использовали для счета собственные пальцы. В Индии, Индокитае и Китае для счета использовалась каждая фаланга пальца. Большой палец состоит из двух фаланг, а остальные – из трех. Значит, на одной руке у нас имеется 14 фаланг. Получается, с помощью пальцев одной руки можно посчитать не только до пяти. Пользуясь двумя руками, китайцы могли досчитать до десяти миллионов!
Один из самых интересных способов умножать с помощью собственных пальцев – перемножать числа от 6 до 10. Этот способ проще некуда. Числу 6 соответствует один палец, числу 7 – два пальца, а числу 8 – три. Умножим 7 на 8. Для этого придется загнуть два пальца на одной руке и три – на другой. Всего получится пять загнутых пальцев. Каждый из этих пяти пальцев соответствует десяти. Итого 50. Теперь надо перемножить не загнутые пальцы на каждой руке. На одной руке их три, а на другой – два.
3 × 2 = 6
Это количество – единицы. При умножении 7 на 8 мы складываем получившиеся десятки с единицами: 50 плюс 6 равно 56.
Ну а теперь пора приступать к быстрому счету и восхищаться возможностями, которые дарит нам наша удивительная система счисления. В следующей главе вы увидите, как перемножать двузначные числа, близкие к сотне. Почувствуйте скорость!
5
Счет на раз-два-три
Умножение двузначных чисел, близких к 100
Наверняка вы часто ловили себя на мысли, что перемножать двузначные числа смертельно скучно. Но я готов подсказать вам новый, приятный способ подступить гораздо ближе к числовой нирване и умножать в два счета. Этой восхитительной хитрости меня научил один друг-врач, пока мы тащились по грязной, слякотной тропинке в Нурмарке. Он так увлек меня задачками на умножение, что мы считали до хрипоты. Уже несколько сотен примеров спустя мне в голову пришла идея написать эту главу. Пускай предложенную здесь технику и удобнее всего использовать для умножения чисел, близких к сотне, в принципе, она подойдет и для любых других.
Ну что ж, начнем.
Допустим, нам надо умножить 93 на 97. Привычный тягомотный способ, которому учили еще в начальной школе, вызывает зевоту.
Тоска зеленая! Сначала на 93 умножается 7, а потом 9, и промежуточные вычисления со сдвигом влево записываются одно под другим и складываются. Но больше никакой траты времени впустую! Одна хитрость – и все станет проще и веселее.
Вернемся к тому, с чего мы начали.
Итак, умножаем 93 на 97. Запишем числа 93 и 97 в столбик слева, а справа – сколько каждому из них не хватает до 100.
Числу 93 не хватает 7, чтобы превратиться в 100.
Числу 97 не хватает 3, чтобы превратиться в 100.
Запишем это так:
Ответ уже почти у нас в руках.
Теперь крест-накрест вычтите число в левом столбце из числа в правом столбце. Какую бы пару вы ни выбрали, ответ будет один и тот же. Можете вычесть 3 из 93 или 7 из 97 – как вам больше нравится.
93 ‒ 3 или 97 ‒ 7 равно 90. Это первые две цифры финального ответа.
А теперь перемножьте между собой числа из правого столбца:
7 × 3 = 21
Это вторые две цифры финального ответа.
Вот мы его и посчитали:
93 × 97 = 9021
Волшебно, правда?
Можно посоревноваться с самим собой и проверить, сколько времени занимает решить пример старым и новым способом. После непродолжительной тренировки скорость вычислений возрастет весьма существенно. А если потренироваться еще, то считать вы будете уже в уме.
Небольшое уточнение: вы, наверное, уже справедливо заметили недостаток этой техники. Да, ей удобно пользоваться, когда перемножение чисел из левого столбца дает двузначный ответ. Но давайте добавим к результату первой операции два ноля и пересчитаем все полностью корректно.
Числу 93 не хватает 7, чтобы превратиться в 100.
Числу 97 не хватает 3, чтобы превратиться в 100.
Запишем это так:
Вычтем 3 из 93 или 7 из 97 и получим 90.
А теперь умножим полученное число на 100 (для этого достаточно написать после 90 два ноля). У нас получится 9000.
Теперь осталось перемножить числа из правого столбца – 7 × 3 = 21, прибавить 21 к 9000 и получить 9021.
Задача выполнена. Вуаля!
Удостоверимся, что вы усвоили этот метод, и разберем еще пару примеров.
Предположим, вы хотите умножить 97 на 98.
Числу 97 не хватает 3, чтобы превратиться в 100.
Числу 98 не хватает 2, чтобы превратиться в 100.
Запишите эти числа в два столбца:
Крест-накрест вычтите число в левом столбце из числа в правом столбце. Какую бы пару вы ни выбрали, 97 и 2 или 98 и 3, ответ все равно будет 95. В результате умножения 95 на 100 получится 9500.
Затем перемножьте числа из правого столбца – 2 и 3. Получится 6. Наконец прибавьте 6 к 9500:
9500 + 6 = 9506
Это значит, что 97 × 98 = 9506.
Проще некуда, правда?
И еще один пример.
На этот раз вы хотите умножить 88 на 88. Числу 88 не хватает 12, чтобы превратиться в 100. Снова запишите эти числа в два столбца:
Теперь вычитание: 88 минус 12 равно 76. Допишите два ноля – получится 7600. Теперь настала очередь чисел из правого столбца. 12 раз по 12 – это 12 в квадрате. Если вам кажется, что возвести число в квадрат сложно, то глава 12 вас переубедит: там я рассказываю о способе вычислять квадрат числа в два счета.
А пока: 12 раз по 12 будет 144.
Прибавьте 144 к 7600. Получится 7744.
Значит, 88 × 88 = 7744.
Нравится? Меня самого так увлекло, что с тех пор я витаю в (вычислительных) облаках. Техника из следующей главы способна вызвать не меньшую эйфорию. Перелистывайте страницу и не спускайтесь с небес, дорогие читатели.