Екатерина Кукина
Века сквозь математику, или Как математики раз за разом мир вертели
16.4
Янош Бойяи
Янош Бойяи считается венгерским математиком, хотя родился он на территории современной Румынии, но тогда это была часть Австрийской Империи. По профессии и основному роду деятельности Янош – кавалерийский офицер, математика для него всего лишь хобби. Вообще, он был очень талантливым человеком: играл на скрипке (выступал в Венской Опере!), знал девять языков (включая китайский и тибетский), был признан лучшим фехтовальщиком и лучшим танцором императорской австрийской армии. С математикой его познакомил отец (вот он как раз был профессиональным математиком).
Что сделал Янош в неевклидовой геометрии? Во-первых, он брал классические теоремы и исследовал, зависят они от пятого постулата или не зависят. Какие теоремы/утверждения равносильны пятому постулату. Во-вторых, он написал текст на 24 страницах (примерно тот же объем, что и у Лобачевского), где сделал похожие выкладки и получил ту же геометрию (геометрию Лобачевского).
Вообще, новой геометрией Янош загорелся с ранних лет. Но отец постоянно отговаривал его заниматься такой неблагодарной темой. Говорил, что "потратишь годы и ничего не добьешься, только разочаруешься".
Но Янош не бросил – он упорно изучал новую геометрию. В 1832 году (Бойяи было 29 лет) у него вышла единственная его математическая публикация (та самая статья на 24 страницах). Вышла она как приложение к книге его отца – поэтому вошла в историю математики под названием "Аппендикс". В своем тексте он исследовал, как изменятся теоремы, зависящие от пятого постулата, в новой геометрии. (Те, что не зависят от пятого постулата, очевидно, останутся прежними).
Рисунок 16.6: Янош Бойяи. 1802–1860
Как мы помним, доклад Лобачевского прозвучал раньше, в 1826 году. Но в России. Можно со 100%-ой вероятностью утверждать, что Янош не знал о трудах Лобачевского. А кроме того, хоть он и описал фактически ту же геометрию, но остальные теоремы у него другие. И упор в его статье на другие моменты. Поэтому статья Яноша, безусловно, вносит отдельный и независимый вклад в геометрию. Точнее, внесла бы, если бы была замечена научным сообществом.
В 1831 году отец, Фаркаш Бойяи (отец Яноша), перед публикацией послал эту статью своему доброму другу – Карлу Гауссу. Гаусс очень сухо ответил, что то, что написано у Яноша полностью совпадает с его собственными мыслями на протяжении последних 30 лет, поэтому похвалить Яноша он не может – ему не позволяет скромность.
Янош этим ответом разбит: оказывается, его опередили! И после этого забрасывает математику. Я бы сказала, на пике своей формы!44 В 1848 году Янош находит работу Лобачевского (опубликованную в 1829). Он видит "свои идеи". И подозревает, что это – проделки Гаусса. Что никакого Лобачевского не существовало, а Гаусс спер идеи Бойяи и опубликовал под псевдонимом. Янош в ярости! (И даже пишет Гауссу гневные письма) И этот эпизод окончательно его подломил – его душевное здоровье сильно ухудшается.
После смерти оказалось, что у Яноша в черновиках еще много доказанных теорем из геометрии Лобачевского. Его вклад в новую геометрию мог бы быть сравним по объему с вкладом Николая Ивановича.
Признание как выдающийся математик Бойяи получил лишь в 1945 году, когда румынский университет Бабеша переименовали в университет Бабеша-Бойяи (это именно в честь Яноша, а не его отца).
16.5
Карл Гаусс
Карл Гаусс – не просто математик. Его совершенно не зря называют "Королем математики", настолько много он сделал. Блестящие теоремы Гаусс доказал во всех современных ему отраслях математики: в геометрии классической и дифференциальной; в алгебре; в теории чисел; в математическом анализе; в механике; в астрономии; (и даже в теории вычислений, которой на тот момент практически не существовало) – во всех этих отраслях есть (и даже не по одной) теоремы его имени и методы, им разработанные.
Рисунок 16.7: Иоганн Карл Фридрих Гаусс. 1777–1855
Родился Гаусс в 1777 году. С юных лет он уже проявлял недюжинные математические способности. Например, формулу суммы арифметической прогрессии он открыл в 9 лет. В 13 лет Гаусс поступает в местный колледж – а там преподает Мартин Бартельс (да-да, тот самый учитель Лобачевского, но еще совсем молодой, Бартельсу 21 год). Сам Бартельс в математике знает не слишком много (только то, что вошло в его "общее образование", математиком Бартельс к тому моменту не был), но вместе с Гауссом он увлекается математикой, они вместе изучают математику по книгам – и позже Бартельс хлопочет о стипендии для Гаусса в Гёттингенский университет, куда Гаусс едет учиться студентом, а сам Бартельс – просто слушает лекции как вольный слушатель. Оба они занимаются у одного научного руководителя, Иоганна Пфаффа. Примерно в это же время в этом же университете учится и Фаркаш Бойяи. Таким образом, большой магии в близости идей Лобачевского, Бойяи и Гаусса, вообще-то нет.
В работах и черновиках Гаусса мы находим развитие геометрии Лобачевского. Ученые полагают, что примерно в 1818 году Гаусс открыл геометрию Лобачевского и в его черновиках, и в письмах есть свидетельства этого. Но никогда и ничего в своей жизни по поводу неевклидовой геометрии Гаусс не публиковал, боясь быть осмеянным. После того, как геометрию Лобачевского признали после открытия ее моделей, начали разбирать черновики Гаусса на эту тему. Объем – колоссальный! Гаусс сделал в геометрии Лобачевского намного больше, чем сам Лобачевский. Ведь он не тратил время и силы на то, чтобы биться за научное признание своей теории, а также на оформление статей и выступление на конференциях! Он сделал намного больше, чем Бойяи, ведь его не ждало разочарование. Работал и работал. А известность ему принесли его другие труды.
Рисунок 16.8: Портрет Гаусса
за авторством другого математика, Иоганна Листинга
В возрасте примерно 60 лет Гаусс изучает русский язык для того, чтобы читать в подлиннике труды Лобачевского. Вступает с ним в переписку, где восхищается его работами. Он не делает публичных заявлений на этот счет, однако именно по его рекомендации Лобачевского избирают иностранным членом-корреспондентом Гёттингенского королевского научного общества (в те времена Гёттинген был мировым центр математической жизни).
Заслуги Гаусса перед наукой невозможно представить. Например, он первым в мире показал, что планеты можно открывать "на кончике карандаша". В начале 19 века астроном Пиацци открыл первую малую планету – Цереру – и начал за ней наблюдать. Когда она скрылась за Солнцем, наблюдение стало невозможно. И астрономы не могли ее найти. Невооруженным взглядом ее едва ли видно – и надо очень точно целиться телескопом. Так вот, Гаусс по первоначальным наблюдениям рассчитал ее траекторию, и подсказал, куда направить телескоп. Там планета и оказалась.
Гаусс был невероятно плодовитым ученым. Первую свою теорему он опубликовал в 17 лет. Это была теорема, о том, какие правильные N-угольники можно построить циркулем и линейкой, а какие нельзя45. И до самой смерти в возрасте 77 лет продолжал и продолжал придумывать новые теоремы.
И несмотря на все величие Гаусса, и несмотря на огромное количество его трудов по геометрии Лобачевского, открыл миру новую геометрию все-таки Лобачевский. Без его трудов никто не стал бы изобретать модели для этой геометрии, и скорее всего никто не стал бы разбирать странный непонятный кусок черновиков Гаусса.
16.6
Геометрия Римана
Работы Лобачевского и других ученых, которые "легализовали" его геометрию, проложили путь для открытия бесконечного множества других геометрий.
Рисунок 16.9: Бернхард Риман, 1826–1866
Второй (ну, или как считать) стала геометрия Римана. Бернхард Риман родился в 1826 году, в том же году, когда появилась геометрия Лобачевского. В 1846 поступает в Гёттингенский университет. В этом университете учились и работали блестящие математики: Гаусс, Дирихле, Мебиус....
Но по совету отца Риман поступает на факультет теологии. Впрочем, ему на теологии становится скучно – и он переводится на философский факультет (где изучается и математика). И тут встречает Гаусса, Дирихле, Мёбиуса… Докторскую степень в итоге Риман получает под руководством Гаусса, и докторская диссертация у него по теории функции комплексного переменного (ТФКП, он же комплексный анализ).
Однажды для конференции нужно было выбрать студента, который сделает доклад. И Риман сделал такую краткую аннотацию своего будущего доклада: "Евклид утверждал, что через точку вне данной прямой можно провести только одну параллельную ей линию. Лобачевский писал, что параллельных линий можно провести сколько угодно. А я говорю, что нельзя провести ни одной".
И в своем докладе Риман описывает геометрию … сферы46. Да-да, самой простой сферы. Ведь на сфере тоже можно строить кратчайшие (именно они на сфере будут носить гордое звание "прямых") между любыми двумя точками. Это примерно 1848 год.
В геометрии Римана вообще нет параллельных прямых, все прямые пересекаются. Сумма углов в треугольнике больше 180 градусов (может быть любым числом в промежутке (2π;3π)). Как и в геометрии Лобачевского есть признак равенства треугольников по трем углам. Прямоугольник с четырьмя углами не бывает, а бывает с тремя (треугольник, у которого все три угла прямые! Как тебе такое, Илон Маск?) В геометрии Римана не работает не только пятый постулат геометрии Евклида, но на самом деле и с третьим проблема. Из любого центра, но не любым радиусом можно провести окружность (окружностей радиусом больше, чем половина экватора сферы, очевидно, на сфере нет). Поэтому отрицанием только пятого постулата геометрию Римана не построишь!
Кстати, на эллипсоиде качественно все то же самое, что и на сфере (нет параллельных, сумма углов больше 180 градусов и т.д.), но просто все вычисления труднее.
Позже, в Римановой геометрии47 Риман рассматривает совершенно произвольные поверхности. Для вычисления расстояний там используются интегралы, а для записи – дифференциальные уравнения. Фактически, Риман стирает грань между геометрией и математическим анализом.
В итоге геометрии условно разделили на три типа. Геометрия Лобачевского, она же "геометрия отрицательной кривизны", она же "гиперболическая геометрия". Геометрия Римана, она же "геометрия положительной кривизны", она же "эллиптическая геометрия". И Евклидова геометрия, она же "параболическая геометрия".
16.7
А бывают ли другие геометрии?
А бывают! Ну, во-первых, сферическая геометрия – это геометрия постоянной кривизны. Все точки в ней равны между собой (движением можно любую точку подвинуть до любой). Но геометрия эллипсоида – уже геометрия непостоянной кривизны. И не все точки в ней равны друг другу. Аналогично, и в геометрии Лобачевского тоже любые точки можно совместить движением, она постоянной кривизны. А можно аналогично построить геометрию более сложной поверхности с непостоянной кривизной (и там точки будут не равны друг другу! – это ужас какой-то, но так бывает).
Или вот, например, геометрия совсем другого типа – геометрия Минковского, а еще она называется "геометрия такси".
Представьте, что вы находитесь в городе (см.картинку 16.10). И вам надо из точки А попасть в точку В (длину квартала для простоты примем за единицу). Конечно, в евклидовой геометрии расстояние от точки А до точки В равно , но что толку? Все равно вы не можете двигаться по прямой! Вы будете двигаться по улицам города, и для вас расстояние от точки А до точки В будет равно 6. Кстати, кратчайших здесь от точки А до точки В – не одна, а множество (а именно аж 15 разных траекторий будут иметь ту же длину 6). А число 2 5 никакого отношения к действительности не имеет.
Геометрия? Геометрия! Потому что наука об измерении расстояний. В отличие от евклидова расстояния, которое измеряется по формуле , расстояние в геометрии Минковского измеряется по формуле и называется "манхэттенским расстоянием" – думаю, понятно, в честь чего?
Рисунок 16.10: Геометрия такси
На рисунке 16.11 изображены окружности. Окружность в геометрии Евклида и окружность того же радиуса в геометрии Минковского. Окружность – это совокупность всех точек, находящихся на расстоянии
r
от заданного центра. В геометрии Лобачевского и Римана окружности выглядят как окружности, поэтому я их не рисовала.
В геометрии такси работает неравенство треугольника (сумма двух сторон треугольника больше либо равна третьей стороне). Но не работает куча других теорем, и не идет речь об измерении углов.
Но тем не менее, геометрия очень наглядная и очень повседневная.
Первый пример реализации геометрии Минковского – спроектированный архитектором Ильдефонсе Серда район Эштампле в Барселоне, четко разделенный на квадраты. И хотя этот район спроектировали и начали строить еще до смерти Лобачевского, никому и в голову не могло прийти, что они строят модель новой неевклидовой геометрии.
Минковский, кстати, еще раз отличился в неевклидовой геометрии. В 1907 году именно он первый понял, что специальная теория относительности Эйнштейна может быть лучше выражена в терминах геометрии четырехмерного пространства. Это пространство с тех пор называется в науке пространство Минковского (у него, в соответствии со Специальной Теорией Относительности строится специфическая метрика48), а в научно-фантастических фильмах его же зовут "пространственно-временной континуум". И именно на языке геометрии Минковского Эйнштейн далее описывал свою Общую теорию относительности498. В пространстве Минковского очень хорошо и наглядно показаны разные парадоксы Теории Относительности Эйнштейна. Например, "неодновременность одновременных событий" и прочие.
16.8
Так какая же из геометрий все-таки правильная?
Когда мы путешествуем по поверхности сферы и выполняем на ней какие-то измерения (например, когда прокладываем маршруты для авиаперелетов) – мы находимся во Вселенной, где работает геометрия Римана. Если мы двигаемся со скоростями близкими к скорости света, нам придется воспользоваться геометрией пространства Минковского. Если мы наблюдаем мир из неподвижной точки, геометрия нашего Космоса – геометрия Лобачевского.
Если же мы в чистом поле строим дом – мы, конечно, пользуемся геометрией Евклида и получаем точные правильные результаты. Но если нам надо добраться из точки А в точку В на Манхэттене или в районе Барселоны Эштампле – то придется воспользоваться геометрией такси!
Правильная математика найдется на любой случай жизни.
Какие книги можно еще почитать
К главе 16 про неевклидову геометрию.
[56]
Жуан Гомес, Когда прямые искривляются. мир неевклидовой геометрии. – М.: "ДеАгостини", 2014.
/*Популярно про неевклидовы геометрии. Отличная книжка.*/
[57]
С.Г. Гиндикин, Рассказы о физиках и математиках. – М.: МЦНМО, НМУ, 2001.
/*Для этой главы нас интересует главы про Карла Гаусса и Феликса Клейна. Но я уверена, что стоит вам прочитать главу про Гаусса, вы не сможете оторваться и прочитаете всю книжку.*/
[58]
В.Д. Чистяков, Рассказы о математиках. – М.:
Высшая школа,
1966.
/*У Гиндикина рассказы длинные и обстоятельные, но зато всего про 14 математиков. У Чистякова математиков больше, а рассказы – коротенькие. Можно познакомиться с разными математиками.*/
[59]
Айзек Азимов, Бильярдный шар (рассказ).
/*Рассказ, который я рекомендую прочитать всем студентам просто для понимания в голове Общей теории относительности. Без цифр, без физики. Просто детективно-фантастический рассказ. И в конце концов, это Айзек Азимов! Я была бы не я, если бы рекомендовала кому-то какие-то книжки на почитать, и ни разу бы не упомянула там Азимова. Я его очень люблю.*/
[60]
В.В. Прасолов, Геометрия Лобачевского. – М.: МЦНМО, 2004.
/*Хороший учебник по геометрии Лобачевского. Будет полностью доступен студентам, освоившим конформные преобразования комплексной плоскости, но при адаптации можно использовать и для школьников.*/
Лекция 17.
Откуда появились компьютеры и когда искусственный
интеллект захватит мир?
Современный мир невозможно представить без компьютеров. Компьютер, превосходящий по мощности то, что еще невозможно было представить 20 лет назад, сейчас есть у каждого человека в кармане. В вашей микроволновке, стиральной машинке, в вашем пылесосе скорее всего есть небольшой компьютер. Компьютеры помогают управлять автомобилями (или даже полностью ими управляют), не говоря уже о менее повседневной технике: подводных лодках, самолетах, ракетах… Современный мир – мир компьютеров. А вот для того, чтобы давать компьютерам указания, существуют программисты и программирование. Программирование родилось и некоторое время развивалось как новая отрасль математической науки. И хотя сейчас уже отделилась в полноценную самостоятельную науку, мне кажется, в рамках историй про историю математики можно поговорить и об этом.
17.1
Древнейшая предыстория
Уже в древности перед людьми стояли задачи вида: "придумать алгоритм того-то и того-то". В «Началах» Евклида подобные задачи – сплошь и рядом. Особенно, как мы знаем, очень нравились Евклиду задачи вида: "придумать алгоритм построения с помощью циркуля и линейки". И вот тут-то люди (точнее, математики) наткнулись интуитивно на такую штуку как отсутствие алгоритма. (Помните три классические задачи на построение, которые, как оказалось, не решаются с помощью циркуля и линейки?)
Или вот еще хорошая задача. Мы с вами обсуждали в главе про Древний Египет, насколько тяжелые были простые арифметические операции. Для выполнения этих операций, очевидно, нужны были алгоритмы.
Рисунок 17.1: Первая страница трактата аль-Хорезми "Краткая книга о восполнении и противопоставлении"
В IX веке нашей эры арабский математик Мухаммед ибн Муса альХорезми публикует трактат, который специалисты знали под названием "Аль-китаб аль мухтасар фи хисаб аль-джебр ва-ль-мукабаля" (в переводе "Краткая книга восполнения и противопоставления"), а все простые смертные кратко называли "аль-джебр" (отсюда и произошло слово "алгебра"). В этом трактате Аль-Хорезми (который на древней благородной латыни был озвучен как Алгоризмус – и от его имени произошло, соответственно, слово "алгоритм") изложил, во-первых, алгоритмы арифметических действий в десятичной позиционной системе счисления (научил всех складывать, вычитать, умножать и делить в столбик!), во-вторых, алгоритмы решения уравнений первой и второй степени; ну и еще некоторые другие.
Кроме того, безусловно, известны из древности и более частные задачи на алгоритмы. Например, древнерусская задача о волке, козе и капусте50, которая возникает примерно в X веке.
Итак, алгоритмы люди искали издревле. И, конечно, первых искателей алгоритмов (например, аль-Хорезми) можно считать праотцами программирования.
В древности были разные штуки, помогающие считать. Например, счетные палочки. Помогают считать? Безусловно. А счеты51 помогают? Еще как! А у индейцев майя для счета были разработаны специальные узелковые алгоритмы. И тоже: это, безусловно, помогает считать, да! Или вот, например, считается, что Архимед создал механизм, который умел моделировать движение Солнца, Луны и известных на то время планет, а потому с помощью него можно было рассчитывать солнечные и лунные затмения. И вообще, была куча помогающих в вычислении штук. Еще в поколении моих родителей во всю пользовались логарифмическими линейками!
Можно ли считать такие приборы "праотцами" компьютеров? Ну, только при богатой фантазии. Лично я, при всем восхищении от таких приборов и от идей их создателей, никак не могу относиться к ним именно так.
17.2
Первые счетные машины
Рисунок 17.2: Счетная машина Паскаля.
Пожалуй, первое, что я готова определить, как "прапрадедушку" персонального компьютера – это суммирующая машина Паскаля (по-французски она красиво называется "паскалина").
В 1642 году Паскаль (ему еще не было и 20 лет! – тинэйджеры исторически сильнее тянулись к компам, в этом история не меняется) изобрел то, что в последствие стали считать первым в мире калькулятором. Что умела машина Паскаля? Поворотом колесиков вводилось два числа (на шестеренках были числа от 0 до 9). Сначала машина умела работать с 5-разрядными числами, позже – с 8разрядными. И машина автоматически выдавала ответ: результат сложения этих двух чисел. Техническая сложность была в том, чтобы придумать, как будет "перескакивать единичка" через разряд – и грубо говоря, именно этот механизм и придумал Паскаль. Как заставить шестеренки крутиться именно так. Автоматически машина умела только складывать, но Паскаль изобрел алгоритм, как можно с помощью машины вычитать, а также умножать и делить – с помощью нескольких сложений подряд.
Приблизительно на протяжении 300 лет практически все считающие машины были тем или иным усовершенствованием машины Паскаля.
Паскаль лично собрал около 50 суммирующих машин. Их можно теперь найти в разных музеях мира.
Рисунок 17.3: Счетная машина Лейбница.
Одно из первых успешных усовершенствований машины Паскаля – арифмометр Лейбница, созданный Г.В.Лейбницем в 1673 году. Лейбниц продемонстрировал свое изобретение в Английской Академии наук, где его тут же признали величайшим умом, и присвоили ему членство в этой Академии (в возрасте 27 лет!)
Что умела машина Лейбница? Без всякого программирования (пользователь просто вводил два числа) машина умела складывать, вычитать, умножать и делить числа. Те операции, что можно было выполнить на машине Паскаля последовательными сложениями, теперь выполнялись автоматически.
Лейбниц построил всего 2 экземпляра своей машины. Один сохранился до сих пор. Второй Лейбниц подарил Петру Первому (который, как мы помним, встретился с ним в своих путешествиях по Европе), а Петр Первый в свою очередь передарил диковинку китайскому императору. Отношения России и Китая улучшились, а вот следы счетной машины затерялись на бескрайних просторах Поднебесной.
Некоторые инженерные решения и механизмы Лейбница использовались в разных "счетных машинах" аж до 1970-х годов!
Далее арифмометры развиваются и развиваются. Постепенно они умеют делать все больше действий. Иногда различного рода "компьютеризацию" в докомпьютерный век мы видим вовсе не у счетных, а у других промышленных машин. Например, в 1804 году изобретен Жаккардов станок – ткацкий станок, работающий на перфокартах. На картоне в нужных местах либо есть отверстие, либо нет отверстия. В зависимости от этого (грубо говоря) крючок либо проходит в отверстие, либо нет – и кладет нитку либо поверх остальных ниток, либо снизу. Один из ярчайших примеров не вычислительной, но программируемой машины.
Перфокарты (вот такие картоны с дырочками) потом долгое время служили способом ввода информации в компьютер.
Знания и умения накапливались, и, конечно, количество по законам диалектики, рано или поздно переросло в качество. Произошел по-настоящему качественный скачок.