Артур Бенджамин
Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Глава номер два
Магия алгебры

Вступление с чудесами

Первый раз я столкнулся с алгеброй еще в детстве – мой отец вдруг решил дать мне урок вычислений:

– Сын, – сказал он мне. – Алгебра – все равно что арифметика. За тем исключением, что вместо чисел ты пишешь буквы. Вот, смотри: 2х + 3х = 5х, а 3у + 6у = 9у. Понимаешь?

– Вроде, понимаю.

– Очень хорошо, – сказал он. – А сколько тогда будет 3β + 4β?

– 7β, – уверенно ответил я.

– Что-то я тебя не слышу, – посетовал папа. – Можешь погромче?

– СЕМЬБЕТА!!! – заорал я.

– И ни одного ответа! – с готовностью отозвался папа. Он всегда предпочитал каламбуры, шутки и забавные истории скучным вычислениям, так что такой исход я мог бы и предвидеть.

Второй раз алгебра улыбнулась мне, когда я пытался понять один магический трюк – сейчас расскажу, какой.

Шаг 1. Задумайте число от 1 до 10 (хотя, по большому счету, можно и большее).

Шаг 2. Умножьте это число на 2.

Шаг 3. Добавьте 10.

Шаг 4. Разделите на 2.

Шаг 5. Вычтите из результата изначально задуманное вами число.

Уверен, получилось 5. Правильно?

Хотите узнать, в чем кроется секрет волшебства? В алгебре. Разберем фокус еще раз, шаг за шагом, начиная с первого. Я понятия не имею, какое число вы загадали, поэтому давайте заменим его буквой N. Неизвестное число, обозначаемое буквой, называется переменной.

Шаг второй предлагает нам удвоить загаданное число, то есть мы, по сути, имеем 2N (знак умножения в алгебре принято опускать, в том числе и потому, что очень часто для обозначения переменной используется внешне похожая на него буква x). После третьего шага ваше число выглядит как 2N + 10. Четвертая операция предлагает нам упростить пример, разделив все его части на 2: N + 5. И, наконец, мы вычитаем загаданное число (то есть N): N + 5 – N = 5. Давайте соберем весь фокус в одну таблицу:

Правила алгебры

Начнем с загадки. Найдите число, которое становится в три раза больше, если к нему прибавить 5.

Чтобы ее решить, заменим неизвестное нам число буквой х. Добавление пятерки дает нам х + 5, утроение – 3х. Мы хотим, чтобы эти две записи были равными, поэтому нам придется решать уравнение

3x = x + 5

Уберем по одному х из обеих его частей и получим

2x = 5

(смотрите, откуда берется 2x: 3x – x – то же, что и 3x – 1x, то есть 2x). Разделим обе части уравнения на 2:

x = 5/2 = 2,5

Можем проверить правильность ответа: 2,5 + 5 = 7,5, Тот же ответ получаем, умножая 2,5 на 3.

Отступление

А вот еще один фокус, в сути которого можно легко разобраться с помощью алгебры. Запишите любое трехзначное число, цифры в котором идут по убывающей (например, 842 или 951). Затем запишите эти числа в обратном порядке и вычтите второе число из первого. Какой бы ответ у вас ни получился, запишите в обратном порядке и его, а затем сложите эти два числа. Вот пример с числом 853:

Попробуйте другое число. Что вышло? А то, что, если четко и правильно выполнять все инструкции, вы всегда будете получать 1089! Как так?

Алгебра, помоги! Итак, начинаем мы с трехзначного числа abc, в котором a > b > c. Точно так же, как и 853 = (8 × 100) + (5 × 10) + 3, число abc равняется 100a + 10b + c. Записав его справа налево, получим число cba, равное 100c + 10b + a. Вычитание дает нам

(100a + 10b + c) – (100c + 10b + a) = (100a – a) + (10b – 10b) + (c – 100c) = 99a – 99c = 99(a – c)

Другими словами, нам надо умножить полученную разность на 99. А раз в изначальном нашем числе цифры идут по убыванию, a – c даст нам как минимум 2: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9. Следовательно, выполнив вычитание, мы гарантированно получим

198, 297, 396, 495, 594, 693, 792 или 891.

И каждое из этих чисел, если мы прибавим его к его «зеркальному» двойнику, даст

198 + 891 = 297 + 792 = 396 + 693 = 495 + 594 = 1089

– пару, неизбежно дающую в сумме 1089.

Этот пример отлично иллюстрирует то, что я называю золотым правилом алгебры: совершайте с одной частью уравнения те же действия, что и с другой его частью.

Например, нам нужно найти x в уравнении

3(2x + 10) = 90.

Наша основная задача – изолировать х, и первый шаг на пути к этому – разделить обе части на 3, чтобы упростить решение:

2x + 10 = 30.

Второй шаг – избавиться от 10, которую надо вычесть и слева и справа, то есть

2x = 20.

Наконец делим все на 2, упрощая тем самым левую часть, в итоге получая

x = 10.

Ну и проверим ответ, конечно – это никогда не помешает: При x = 10 3(2x + 10) = 3(30) = 90, что верно. Интересно, есть ли у этого уравнения другое решение? Ответ – нет, потому что любое значение х должно удовлетворять не только этому, но и любому последующему уравнению, так что x = 10 – единственный верный ответ.

А вот алгебраическая задачка из реальной жизни: в 2014 г. газета New Tork Times рассказала читателям, что фильм «Интервью» (The Interview) компании «Сони Пикчерз» в первые четыре дня после релиза собрал в Интернете $15 млн. Но компания не уточнила, сколько из этой суммы принесли покупки фильма в Сети ($15), а сколько – платные просмотры ($6); зато мы знаем, что всего было совершено около 2 млн транзакций. Чтобы эту задачку решить, обозначим количество онлайн-продаж буквой S, количество платных просмотров – буквой R. Составим уравнение

S + R = 2 000 000.

А так как каждая транзакция по продаже – это $15 прибыли, а по просмотру – $6, уравнение преобразуется:

15S + 6R = 15 000 000

Возможность привести первое уравнение к виду R = 2 000 000 – S позволяет нам преобразовать и второе уравнение:

15S + 6(2 000 000 – S) = 15 000 000.

или 15S + 12 000 000 – 6S = 15 000 000, в котором у нас из неизвестных остается только S. Продолжаем упрощать:

9S + 12 000 000 = 15 000 000.

Вычтем из обеих частей 12 000 000:

9S = 3 000 000.

Значит, S примерно равняется трети миллиона: S ≈ 333 333, а R = 2 000 000 – S ≈ 1 666 667 (проверим: общий доход составил $15 × 333 333 + $6 × 1 666 667 ≈ $15 000 000).

Теперь самое время обсудить правило, которым мы в этой книге уже использовали и продолжим использовать, хотя до этого напрямую о нем не говорили. Называется оно «закон дистрибутивности» и работает тогда, когда у вас в одной задаче или одном уравнении есть одновременно сложение и умножение. Согласно этому закону, для любых чисел a, b и с верно следующее:

a(b + c) = ab + ac.

Это правило следует использовать при умножении однозначного числа на двузначное, например,

7 × 28 = 7 × (20 + 8) = (7 × 20) + (7 × 8) = 140 + 56 = 196.

Очень полезная штука, когда дело доходит до счета. Допустим, у нас есть 7 кошельков с монетами: по 20 золотых и 8 серебряных монет в каждом. Сколько у нас всего монет? С одной стороны, можно подойти к проблеме так: в каждом кошельке по 28 монет, значит, всего их 7 × 28. С другой стороны, можно посчитать отдельно монеты разного достоинства: 7 × 20 золотых и 7 × 8 серебряных, значит, всего: (7 × 20) + (7 × 8). Следовательно, 7 × 28 = (7 × 20) + (7 × 8).

Закон дистрибутивности можно выразить и геометрически, начертив прямоугольник и разбив его на два части, как на рисунке.

Как видим, площадь прямоугольника равна a(b + c). Однако левая часть выглядит как ab, правая – как ac, поэтому в итоге у нас получается ab + ac. Отличная иллюстрация к закону дистрибутивности при условии, что a, b и c – положительные величины.

Иногда, кстати, его можно применить одновременно и к числам, и переменным, например,

3(2x + 7) = 6x + 21

«Читать» это уравнение можно двумя способами: слева направо и справа налево. В первом случае мы видим 3, умноженное на 2x + 7. Во втором мы разлагаем 6x + 21 на сомножители, «вытягивая» тройку из 6x и 21.

Отступление

Почему «минус» на «минус» при умножении дают «плюс»? Иными словами, с чего бы вдруг (–5) × (–7) = 35? У учителей всегда наготове с десяток самых разных объяснений, начиная с аннулирования долгов и заканчивая железобетонным «ну, потому что вот так». Но настоящая причина – в том, что закон дистрибутивности работает по отношению ко всем числам, не только положительным. А раз уж мы применяем его и к отрицательным числам (и к нолю, кстати), будьте готовы столкнуться с последствиями. Давайте посмотрим, почему.

Допустим, мы примем тот факт, что –5 × 0 = 0, а –5 × 7 = –35. (Для этих примеров тоже имеются свои доказательства, очень близкие к тому, что мы выстраиваем сейчас, но большинство с радостью просто принимают эти утверждения на веру.) Взгляните-ка вот на что:

– 5 × (–7 + 7)

Чему это равно? С одной стороны, это все то же –5 × 0, равное, как нам хорошо известно, нолю. С другой стороны, использовав закон дистрибутивности, мы получим ((–5) × (–7)) + (–5 × 7). Следовательно,

((–5)) × ((–7)) + (–5 × 7) = ((–5) × (–7)) – 35 = 0

А если ((–5) × (–7)) – 35 = 0, мы вынуждены признать, что (–5) × (–7) = 35. Обобщая, можно сказать, что закон дистрибутивности утверждает, что для всех значений a и b будет верно следующее: (–a) × (–b) = ab.

Магия метода FOIL

Одним из самых важных и полезных следствий из закона дистрибутивности является алгебраическое правило FOIL^[3], согласно которому для любых переменных a, b, c, d верно следующее:

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Смотрите, как правило FOIL работает на практике: cначала мы перемножаем первые числа в (a + b)(c + d), то есть ac. Потом – внешние, то есть ad. Затем – внутренние: bc. И наконец – последние: bd.

Давайте проиллюстрируем все это примером с конкретными числами:

23 × 45 = (20 + 3)(40 + 5) = (20 × 40) + (20 × 5) + (3 × 40) + (3 × 5) = 800 + 100 + 120 + 15 = 1035

Отступление

Почему работает правило FOIL? Согласно закону дистрибутивности (по отношению к части со сложением, идущей на первом месте),

(a + b)e = ae + be

А теперь вместо e подставим c + d, что даст нам

(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd

Последняя часть становится возможной благодаря повторному применению закона дистрибутивности. Если вы предпочитаете геометрически визуализированное доказательство (при условии, что a, b, c, d – положительные величины), то вот вам прямоугольник, площадь которого можно найти двумя различными способами.

С одной стороны, площадь можно высчитать с помощью (a + b)(c + d). С другой – мы можем разбить большой прямоугольник на четыре с площадями ac, ad, bc и bd. Значит, общая площадь будет равна ac + ad + bc + bd. Знак равенства между двумя этими подходами обеспечивает правило FOIL.

А теперь давайте посмотрим, как работает магия правила FOIL. Бросьте две игральные кости и посмотрите таблицу, которая приведена чуть ниже. Допустим, вы выкинули 6 и 3. На обратных сторонах костей будет, соответственно, 1 и 4.

В нашем примере результат будет равен 49. И сколько бы вы ни бросали обычные шестигранные кости, результат будет тот же. Дело в том, что сумма чисел на противоположных сторонах стандартной игральной кости всегда равна 7. То есть если обозначить выпавшие числа буквами x и y, их парами будут 7 – x и 7 – y. Алгебра переделывает нашу таблицу таким вот образом:

Обратите внимание на подсчет в третьей строке (–x и – y при умножении дают xy со знаком плюс). К результату 49 можно прийти и другим, менее алгебраическим, способом: достаточно просто посмотреть на второй столбец таблицы и увидеть там те самые четыре числа, которые нужны нам для «запуска» FOIL: (x + (7 – x))(y + (7 – y)) = 7 × 7 = 49.

На уроках алгебры правило FOIL обычно применяют для решения таких, например, задач:

(x + 3)(x + 4) = x²+ 4x + 3x +12 = x² + 7x + 12

В крайней правой части число 7 (которое в этом случае называется коэффициентом числа х) есть сумма 3 и 4; 12 же (здесь он будет постоянным членом) – их произведение. Ну а получить ответ с нашим-то опытом – дело элементарное: так как 5 + 7 = 12, а 5 × 7 = 35, получаем

(x + 5)(x + 7) = x² + 12x + 35

С отрицательными величинами это тоже отлично работает, и вот тому подтверждение: в нашем первом примере мы начинаем с того, что 6 + (–2) = 4, а 6 × (–2) = –12.

(x + 6)(x – 2) = x² + 4x – 12

(x + 1)(x – 8) = x² – 7x – 8

(x – 5)(x – 7) = x² – 12x + 35

А вот примеры, когда известные числа у нас одинаковые:

(x + 5)² = (x + 5)(x + 5) = x² + 10x + 25

(x – 5)² = (x – 5)(x – 5) = x² – 10x + 25

Обратите внимание, кстати, что (x + 5)² ≠ x² + 25: ошибку эту делают почти все, кто только начинает познавать азы алгебры. Но куда интереснее обстоят дела, когда у нас есть два одинаковых числа с разными знаками. Например, так как 5 + (–5) = 0,

(x + 5) (x – 5) = x² + 5x – 5x – 25 = x² – 25

Главное, что нужно запомнить – формула разности квадратов двух переменных:

(x + y)(x – y) = x² – y²

Мы уже пользовались ей в главе 1, в примере, когда учились в уме возводить в квадрат числа. Способ этот основан на алгебраической формуле:

A² = (A + d)(A – d) + d²

Сначала давайте удостоверимся в правильности этой формулы. В отличие от формулы квадратов здесь мы имеем [(A + d)(A – d)] + d² = [A² – d²] + d² = A². Стало быть, это действительно для всего диапазона значений A и d. На практике буквой A обозначается число, возводимое в квадрат, а d – его разность с ближайшим круглым числом. Например, чтобы возвести в квадрат 97, мы принимаем d за 3, чтобы получить

97² = (97 + 3) (97 – 3) + 3² = (100 × 94) + 9 = 9409

Отступление

А вот несколько рисунков, доказывающих закон квадратичной зависимости. На них показано, как геометрическая фигура с площадью x² – y² может быть преобразована в прямоугольник с площадью (x + y)(x – y).

В главе 1 мы научились перемножать между собой близкие по значению числа. Но если там мы оперировали числами, близкими к сотне и начинающимися с одной и той же цифры, то здесь, используя элементы алгебры, мы можем поговорить и о более интересных примерах. Скажем, вот алгебраическая интерпретация метода сближения:

(z + a)(z + b) = z(z + a + b) + ab

Это становится возможным, потому что (z + a)(z + b) = z² + zb + za + ab, а значит, мы можем вынести за скобки из первых трех элементов сомножитель z. Формула эта работает для любых значений, хотя обычно под z мы понимаем число, заканчивающееся на ноль. Чтобы перемножить, например, 43 × 48, мы берем за z число 40, соответственно, a = 3, b = 8. И тогда наша формула говорит нам, что

43×48 = (40 + 3) (40 + 8) = 40(40 + 3 + 8) + (3 × 8) = (40 × 51) + (3 × 8) = 2040 + 24 = 2064

Обратите внимание, что при сложении наши множители дают 43 + 48 = 91 – тот же результат, что и менее сложные для подсчетов 40 + 51 = 91. Это совсем не случайно, ведь алгебра говорит нам, что сумма изначальных множителей представляет собой (z + a) + (z + b) = 2z + a + b, что является в то же время суммой более простых чисел z и z + a + b. А значит, мы можем легко округлять изначальные числа до удобных нам при подсчетах. Последнее вычисление, например, может быть сведено к z = 50, a = –7 и b = –2, и умножать мы будем 50 на 41. (Легко понять, откуда взялось 41: 43 + 48 = 91 = 50 + 41.) Следовательно,

43 × 48 = (50 – 7)(50 – 2) = (50 × 41) + (–7 × –2) = 2050 + 14 = 2064

Отступление

В главе 1 мы использовали этот метод для чисел больше 100. Но он отлично работает и с меньшими величинами, например,

96 × 97 = (100 – 4)(100 – 3) = (100 × 93) + (–4 × –3) = 9300 + 12 = 9312

Обратите внимание, что 96 + 97 = 193 = 100 + 93 (на деле я всего лишь сложил две последние цифры, 6 и 7, чтобы узнать, что сотню нужно умножать на число, заканчивающееся на 3 и, скорее всего, равное 93). Со временем, получив опыт, вы научитесь не обращать внимания на минусы и умножать не отрицательные числа, а их положительные «отражения». То есть

 

97 × 87 = (100 – 3)(100 – 13) = (100 × 84) + (3 × 13) = 8400 + 39 = 8439

Этот же метод можно применить к парам чисел, одно из которых чуть меньше, а другое – чуть больше 100, только в конце вместо сложения вам нужно произвести вычитание. Например,

109 × 93 = (100 + 9) (100 – 7) = (100 × 102) – (9 × 7) = 10 200 – 63 = 10 137

И опять же, число 102 можно получить двумя способами: либо из 109 – 7, либо из 93 + 9, либо из 109 + 93 – 100 (ну и четвертый вариант – сложить последние цифры начальных чисел: 9 + 3 скажут нам, что число будет заканчиваться на 2, и этой информации может быть вполне достаточно). Практикуясь, вы научитесь легко перемножать близкие друг к другу числа. Посмотрите на несколько несложных примеров с трехзначными числами. Имейте в виду, что a и b здесь числа, в которых больше одного знака.

218 × 211 = (200 + 18)(200 + 11) = (200 × 229) + (18 × 11) = 45 800 + 198 = 45 998

985 × 978 = (1000 – 15) (1000 – 22) = (1000 × 963) + (15 × 22) = 963 000 + 330 = 963 330

Поиски x

Чуть выше мы видели несколько примеров решения уравнений с помощью золотого правила алгебры. Если уравнение содержит только одно неизвестное (скажем, x) и обе его части – линейные (что значит, что в них есть х или кратные ему величины, но при этом это единственная их сложность – никаких x²), найти x несложно. Например, чтобы решить уравнение

9x – 7 = 47

мы можем к его левой и правой части сначала добавить 7 и получить 9x = 54, а потом разделить обе части на 9 и получить искомое: x = 6.

Или вот другой пример, чуточку сложнее:

5x + 11 = 2x + 18

Сначала мы упростим его, убрав из обеих частей 2x, а потом (ну или вместе с первым шагом, если хотите) 11, что приводит нас к

3x = 7

решением же будет x = 7/3. В конечном итоге любое уравнение можно свести к ax = b (или ax – b = 0) и его решению x = b/a (исходя из того, что a ≠ 0).

Ситуация немного запутывается, если мы имеем дело с квадратным уравнением (в котором на авансцене появляется x²). Самый простой вариант квадратного уравнения:

x² = 9

которое имеет два решения: x = 3 и x = –3. И даже когда правая сторона уравнения не является квадратом простого числа, вроде

x² = 10

у нас все еще есть два решения: x = √10 = 3,16… и x = – √10 = –3,16… В принципе, если n > 0, число √n – квадратный корень из n – обозначает положительное число с квадратом n. Если n не является квадратом целого числа, √n легче всего посчитать на калькуляторе.

Отступление

А как насчет уравнения x² = –9? Пока мы вынуждены сказать, что оно не имеет решения: ведь не существует действительного числа, которое при возведении в квадрат давало бы –9. Но в главе 10 мы увидим, что на самом деле существуют целых два ответа: x = 3i и x = –3i, где i – это так называемое мнимое число с квадратом, равным –1. Пусть пока это кажется вам странным и нелепым. Когда-то нам отрицательные числа казались невозможными. (Что это за количество такое – меньше ноля?) А ведь достаточно просто посмотреть на них под правильным углом, чтобы ухватить суть.

Уравнение вроде

x² + 4x = 12

выглядит немного сложнее из-за этого 4x, зато у нас есть несколько способов его решить – ну, к этому мы привыкли, когда считали в уме.

Первый метод, который я обычно применяю в таких случаях, – метод разложения на множители. Сначала перенесем все в левую часть уравнения, чтобы справа остался только 0. Соответственно, наше уравнение превращается в

x² + 4x – 12 = 0

И что теперь? А теперь вспоминаем последний раздел, где мы говорили о FOIL и где мы уже видели, что x² + 4x – 12 = (x + 6)(x – 2). А это значит, что наше уравнение преобразуется в

(x + 6)(x – 2) = 0

Единственная возможная ситуация, в которой произведение двух сложных множителей равно 0, – это когда один из них равен 0. Следовательно, у нас либо x + 6 = 0, либо x – 2 = 0, то есть

x = –6 или x = 2

что и является ответом (не забудьте проверить).

Применяя метод FOIL, получаем (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab. Что превращает разложение на множители в непростую, в общем-то, задачку. Например, в последнем примере нам нужно найти два числа: a и b – с суммой 4 и произведением –12. Ответ – a = 6, b = –2 – позволяет нам достичь желаемого и разложить на множители. Давайте попрактикуемся и используем метод разложения на множители x² + 11x + 24. Другими словами, перед нами стоит задача найти два числа, которые в сумме давали бы 11, а при умножении – 24. Подходят 3 и 8, а значит x² + 11x + 24 = (x + 3)(x + 8).

А теперь взгляните на x² + 9x = –13. Найти множители для x² + 9x + 13 не так-то и просто. Но не отчаивайтесь. В таких случаях на помощь нам придет формула корней квадратного уравнения. Пользу ее переоценить невозможно – вот, смотрите сами:

ax² + bx+ c = 0

имеет решение

Символ ± означает «плюс» или «минус». Для примера: в уравнении

x² + 4x – 12 = 0

a = 1, b = 4, c = –12.

Значит, наша формула утверждает, что

Поэтому x = –2 + 4 = 2 или x = –2 – 4 = –6, что и требовалось доказать. Думаю, вы не станете спорить, что для решения этого примера более уместен был бы метод разложения на множители.

Отступление

Еще одним забавным способом решения квадратных уравнений является метод дополнения до полного квадрата. Например, чтобы решить уравнение x² + 4x = 12, добавим 4 в обе его части, чтобы получить

x² + 4x + 4 = 16

Сделать это нужно для того, чтобы преобразовать левую часть в (x + 2)(x + 2). Так наша задачка превращается в

(x + 2)² = 16

Другими словами, (x + 2)² = 42. Значит,

x + 2 = 4 или x + 2 = –4

что дает нам x = 2 или x = –6, как мы уже выяснили чуть выше.

Но для уравнения

x² + 9x + 13 = 0

наш выбор очевиден – и это формула корней. У нас получается, что a = 1, b = 9, а c = 13. То есть

Согласитесь – в общем-то, не самый очевидный случай. По большому счету, в математике очень немного формул, которые действительно надо помнить, но формула корней квадратного уравнения – одна из них. Достаточно немного попрактиковаться, и вы легко обнаружите, что использовать эту формулу просто, как… дважды два.

Отступление

Почему работает формула корней квадратного уравнения? Давайте запишем уравнение ax² + bx + c = 0 как

ax² + bx= –c

а потом разделим обе части на a (которое не равно 0), чтобы получить

Извлечем квадратный корень из левой и правой частей уравнения:

и в результате получим

Что и требовалось доказать.