Андрей Владиславович Серегин
Физические основы теории роупджампинга
Формальное информационное моделирование
Составление компьютерной модели имеет дело с мгновенными характеристиками амортизации прыжка: силами, координатами, скоростями, углами. По трудоёмкости значительно, а по анализу сложно: нужно сравнивать большое множество получаемых данных, которые надо выводить в графической и цифровой форме одновременно.
Поэтому. Для оценки разнонаправленных неоднородных процессов, особенно в потенциальных полях сил (коими являются как сила тяжести, так и силы упругости) применяется энергетический метод. Суть его состоит в том, что, с некоторыми ограничениями, сумма потенциальной и кинетической энергии остаётся неизменной.
Итак, зафиксировав конструкцию системы, математически находят взаимно однозначное соответствие между растяжениями демпферов системы. Потом создают таблицу эксперимента, где для каждого набора упругих деформаций рассчитаны силы и работы, обеспечивающие данное состояние системы. А также рассчитана суммарная работа элементов и перегрузка в демпфере прыгуна.
Определив массу прыгуна и задав глубину падения, определяем скорость до начала торможения (здесь один раз, предварительно, составляется таблица методом математического моделирования: масса – глубина падения – скорость). Далее фиксируем значение кинетической энергии прыгуна в начале торможения. В таблице находим ближайшую строчку, где значение полной работы амортизации больше полной энергии прыгуна. Это процедура и есть испытание формального информационного эксперимента. Именно таким образом мы в нашей книге исследовали базовые структурные демпферы.
Строчка эксперимента сразу показывает деформации, силы и распределение энергий в элементах, которые образуются в точке остановки падения. Таким образом, становится ограниченным для исследователя диапазон изменения системы. А при допустимых значениях сил и перегрузки можно переходить к анализу фактора маятника.
Физическое моделирование
Кинематическая сложность траектории объектов при действии не постоянных во времени и по направлению сил ни у кого не вызывает сомнения. Поэтому создание компьютерной модели для оценки маятниковых движений обоснованно занимает значительный промежуток времени. Если рассматривать эффективность разработки системы, то, при полученных удовлетворительных результатах информационного моделирования, гораздо проще и быстрее воспользоваться методом физического моделирования. В нашем случае он состоит в эксперименте на уменьшенном оборудовании с последующим воспроизведением записанного процесса в, соответствующем уменьшению размеров, отмасштабированном временном виде. Задача состоит в том, чтобы наблюдать траекторию груза в модели как реальный процесс: временные рамки прохождения траектории в модели и оригинале должны совпадать. Уменьшив в модели высоту и жёсткость демпферов, следует соответственно уменьшить и массу груза модели. Вывод этого коэффициента преобразования разберём на примере.
Пусть моделирование проведём на тонкой одинарной верёвке диаметром 2 мм, эквивалентной сбросу тестового груза на одинарной верёвке диаметром 10 мм. Условно предположим для обеих верёвок одинаковые модули Юнга. Соотношение площадей сечения одной 10 мм верёвки и одной мм верёвки, в таком случае, будет равно коэффициенту уменьшения жёсткости Kж, пропорциональному уменьшению площадей сечения. Kж = (10*10) / (2*2) = 25. А масштаб уменьшения по высоте возьмем, для примера, Kh = 10.
По закону сохранения энергии, без учета сопротивления воздуха, приобретённая грузом кинетическая энергия равна потенциальной энергии запаса высоты до начала торможения:
Таким образом, приобретённая скорость V связана зависимостью квадратного корня от высоты пролёта груза h
Поэтому уменьшение высоты h в модели в Kh раз изменит приобретённую скорость Vмодели:
Итак, коэффициент уменьшения приобретённой скорости Kскорости составляет:
Система до начала торможения находится в покое и получает кинетическую энергию груза на амортизацию. Под её воздействием система деформируется, поглощая и её, и нарастающую потенциальную энергию груза до остановки. Уравнение закона сохранения энергии для системы выглядит так:
где Xполное – это глубина падения груза от начала взаимодействия до момента остановки падения;
Xмакс₁, Xмакс₂, … – максимальные деформации линейных фрагментов системы в момент остановки;
k₁, k₂, … – коэффициенты жесткости линейных фрагментов системы.
Изменение в модели приобретённой грузом скорости в Kскорости раз для сохранения равенства должно привести к изменению с одинаковым коэффициентом каждого слагаемого уравнения закона сохранения энергии:
Учтём уменьшение в модели жёсткости в Kж раз. Аналогично требуется деление каждого слагаемого уравнения системы этот коэффициент:
Параметры Vмодели, Xполное модели и все Xмакс модели все стали меньше с одинаковым коэффициентом:
Далее в получившемся уравнении сохранения энергии заменим массу груза на массу модели, используя коэффициент массы уменьшения Kмассы у слагаемого потенциальной энергии:
Для модели с такими параметрами запишем получившееся уравнение закона сохранения энергии:
Итак, в граничном положении остановки падения модель будет геометрически подобна первообразной системе, поскольку и деформации элементов подобны, и глубина падения, и потенциальная энергия в момент остановки падения подобны оригиналу. А вот кинетическая энергия модели в момент остановки будет для такой массы увеличена в Kскорости раз от подобного значения оригинала. Поэтому для анализа кинематики движения нужно уменьшение масштаба времени в соответствующее число Kскорости раз. Это можно выполнить либо увеличив массу в Kскорости раз – но такие растяжения не выдержат верёвки модели. Либо, записав на видео процесс, с помощью программ обработки видео, а затем воспроизвести его замедленно.
В нашем примере высота была уменьшена в Kh = 10 раз, соответственно, воспроизведение надо замедлить в Kскорости = 3,16 раза.
Также рассчитаем в примере коэффициент уменьшения массы Kмассы, который в соответствии с преобразованиями равен произведению коэффициента уменьшения жёсткости демпферов на коэффициент уменьшения скорости Kскорости:
Kмассы = 25* sqrt (10) = 79 раз. Это, для моделирования сброса нашего тестового груза 140 кг, дает массу груза модели Mмодели:
Mмодели = 140 / 79 = 1,77 кг.
Что касается значений сил упругости в модели, то, по закону Гука, они изменятся в соответствии с изменением коэффициента уменьшения жесткости Kж:
F модели = (k/Kж) * x = (k*x) / Kж = F / Kж.
В том числе должны быть изменены силы предварительного натяжения. Их в модели нашего примера следует уменьшить в Kж = 25 раз.
Послесловие
Мы – это команда единомышленников «PROПрыжки» (vk.com/prorj), осуществляющая прыжки с верёвкой в Санкт-Петербурге. Написание нами этой книги, в первую очередь, было направлено на популяризацию роупджампинга как технологичного вида спорта.
Здесь создание цельного понятия прыжковой системы объединяет базовые аспекты технического исполнения с положениями безопасности. Рассмотренный подход позволяет проанализировать как применяемые системы, так и создавать новые. Это, по нашему мнению, организует встречное движение доверия между прыгунами и организаторами, поскольку для одних снимается завеса непонятного, а для других возникает дополнительная возможность проверить и, возможно, исправить себя.
Выбор верёвок в примерах (тип, размер, длина) не является конкретным фрагментом какой-нибудь реально смонтированной системы, а определён последовательностью рассмотрения. Но их параметры для расчетов близки к настоящим значениям и получены были путём усреднения нескольких измерений. Что касается выбора оборудования, то заниматься проектированием и навеской прыжковой системы должны специалисты по работам на высоте с применением систем канатного доступа, которые, в соответствии с профессией, имеют необходимые навыки, а описанный подход предлагается для них комплектом универсальных инструментов.